연속 기하학

Continuous geometry

수학에서 연속 기하학은 폰 노이만(1936년, 1998년)이 도입한 복잡한 투영 기하학의 아날로그로, 여기서 분리된 집합 0, 1, ..., n에 있는 아공간 치수가 아니라 단위 간격의 요소가 될 수 있다[0,1]. 폰 노이만은 연속적인 치수의 범위를 취하는 치수 함수를 가진 폰 노이만 알헤브라를 발견함으로써 동기부여를 받았으며, 투영 공간 이외의 연속 기하학의 첫 번째 예는 하이퍼피나이트 타입 2 인자의 투영이었다.

정의

Menger와 Birkhoff는 투사 공간의 선형 하위 공간의 격자 관점에서 투사 기하학에 대한 공리를 제공했다. 폰 노이만의 연속 기하학에 대한 공리는 이러한 공리의 약화된 형태다.

연속형 지오메트리는 다음과 같은 특성을 가진 격자 L이다.

  • L은 모듈형이다.
  • L이 완성되었다.
  • 격자 연산 ∧, ∨은 일정한 연속성 속성을 만족시킨다.
    , where A is a directed set and if α < β then aα < aβ, and the same condition with ∧ and ∨ reversed.
  • L의 모든 요소에는 보어(필수적으로 고유한 것은 아님)가 있다. 원소 a의 보어는 ∧ b = 0, ∨ b = 1을 갖는 원소 b이다. 여기서 0과 1은 L의 최소 및 최대 원소다.
  • L은 다시 설명할 수 없다: 이것은 독특한 보완을 가진 유일한 요소가 0과 1이라는 것을 의미한다.

예

  • 유한 차원 복합 투영 공간 또는 그 선형 서브스페이스 집합은 연속 기하학이며, 치수가 이산형 집합 {0, 1/n, 2/n, ..., 1}의 값을 취한다.
  • 유한 형식 II 폰 노이만 대수학의 투영은 단위 간격에서 값을 취하면서 치수를 갖는 연속 기하학을 형성한다[0,1].
  • 카플란스키(1955)는 정형화된 완전한 모듈형 격자가 연속 기하학이라는 것을 보여주었다.
  • V가 필드(또는 디비전 링) F 위의 벡터 공간인 경우, V의 서브스페이스의 격자 PG(V)에서 V의 서브스페이스의 격자로부터 V byF의2 서브스페이스의 격자까지 자연지도가 있어 치수를 2배 증가시킨다. 그래서 우리는 직접적인 한계를 가질 수 있다.
이것은 0과 1 사이의 모든 디아디드 합리성을 갖는 치수 함수를 가지고 있다. 그것의 완성은 [0,1]의 모든 차원의 요소들을 포함하는 연속 기하학이다. 이 기하학은 von Neumann(1936b) ()에 의해 구성되었으며 "F" 위에 있는 연속 기하학이라고 불린다.

치수

본 절에서는 폰 노이만(1998, Part I) 의 일부 결과를 다음과 같이 요약한다:( 이러한 결과는 폰 노이만의 폰 노이만의 폰 노이만 알헤브라스에서의 투영 작업과 유사하고 동기부여가 되었다.

L의 두 요소 a와 b를 원근법이라고 하는데, 공통의 보어가 있으면 a ~ b라고 쓴다. 이것은 L에 대한 동등성 관계다; 그것이 타동적이라는 증거는 꽤 어렵다.

L의 등가 등급 A, B, ...는 A와 B에 A가 있고 B에 B가 있는 경우 A ≤ B로 정의된다. (이것은 A와 B의 모든 A에 대해 보유할 필요는 없다.)

L에서 단위 간격까지의 치수 함수 D는 다음과 같이 정의된다.

  • 등가 등급 A와 B가 ∧ b = 0인 원소 a와 b를 포함하는 경우, 이들의 합 A + B는 ∨ b의 등가 등급으로 정의된다. 그렇지 않으면 합계 A + B가 정의되지 않는다. 양의 정수 n의 경우, 제품 nA는 A의 n개의 복사본의 합으로 정의된다.
  • {0}이 아닌 A를 가진 동등성 클래스 A와 B의 경우, 정수 [B : A]는 고유한 정수 n defined 0으로 정의되며, B = nA + C를 C < B로 정의한다.
  • {0}이 아닌 A를 가진 동등성 등급 A와 B의 경우, C가 최소 시퀀스를 통과함에 따라 실수(B : A)는 [B : C]의 한계로 정의된다. 즉, 최소 0이 아닌 원소를 포함하는 C 또는 0이 아닌 원소의 무한 시퀀스(각각각의 절반)를 의미한다.
  • D(a)는 ({a} : {1}(으)로 정의되며, 여기서 {a} 및 {1}은(는) 및 1을 포함하는 동등성 클래스다.

D의 이미지는 전체 단위 간격 또는 일부 양의 정수 n에 대한 숫자 0, 1/n, 2/n, ..., 1이 될 수 있다. L의 두 요소는 원근일 경우에만 D에서 동일한 이미지를 가지므로 등가 등급에서 단위 간격의 하위 집합으로 주사를 놓는다. 치수 함수 D에는 다음 속성이 있다.

  • < b>일 경우 D(a) < D(b)
  • D(a ∨ b) + D(a ∧ b) = D(a) + D(b)
  • D(a) = 0이면 0, a = 1이면 D(a) = 1
  • 0 ≤ D(a) ≤ 1

코디네이션 정리

투영 기하학에서 베블렌-젊은 정리는 최소 3차원 투영 기하학이 분할 링 위에 놓인 벡터 공간의 투영 기하학과는 이형체라고 말한다. 이것은 투영 기하학의 서브 스페이스가 분할 링 위에 있는 행렬 대수학의 주요한 권리 이상과 일치한다고 말하는 것으로 다시 말해질 수 있다.

Neumann은 이것을 연속적인 기하학적 구조로 일반화하였고, 보다 일반적으로 다음과 같이 모듈형 격자를 보완하였다(Neumann 1998, Part II). 그의 정리는 보완된 모듈형 격자 L이 적어도 4를 가지고[when defined as?] 있다면, L의 원소는 폰 노이만 정규반지의 주된 권리 이상에 해당한다고 명시하고 있다. 좀 더 정확히 말하면, 격자가 n을 주문할 경우, 폰 노이만 정규 링은 다른 폰 노이만 정규 링 R에 대해 n 매트릭스 링 Mn(R)에 의해 n으로 간주될 수 있다. 여기에서 보완된 모듈형 격자는 n 원소의 균일한 기초가 있는 경우 n 순서를 가지며, 여기서 기본은 n 원소1 a, ...이고n, ifij a = i j j이면 0, 그리고1 ∨ ...이다. ∨ an = 1이며, 두 원소가 원근일 경우 그 근거를 동질이라고 한다. 격자의 순서는 고유할 필요는 없다. 예를 들어, 모든 격자의 순서는 순서 1이 있다. 격자가 최소 4의 순서를 갖는 조건은 베블렌-에서 치수가 최소 3이라는 조건에 해당한다.젊은 정리, 투사적 공간은 최소 4개의 독립점 세트를 가지고 있는 경우에만 최소 3개의 차원을 가지고 있다.

반대로 폰 노이만 일반 링의 주요 권리 이상은 보완된 모듈 격자를 형성한다(Neumann 1998, Part II 정리 2.4).

R이 폰 노이만(Von Neumann)의 일반 고리이고 L이 주된 권리 이상을 격자로 하는 격자이므로 L이 보완된 모듈형 격자라고 가정하자. Neumann은 R이 회복 불가능한 완전한 순위 고리인 경우에만 L이 연속 기하학임을 보여주었다.

참조