바우어-파이크 정리

수학에서 Bauer-Fike 정리는 복잡한 값의 대각선 가능 행렬의 고유값 섭동 이론의 표준 결과물이다.그 실질에서, 그것은 정확한 행렬의 적절하게 선택된 고유값에서 한 변곡된 행렬 고유값의 편차에 대한 절대 상한을 명시한다.비공식적으로 말하면, 고유값의 민감도는 고유 벡터 행렬의 조건 번호에 의해 추정된다는 것이다.

그 정리는 프리드리히 L. 바우어와 C에 의해 증명되었다.1960년 T. Fike.

설정

다음의 내용에서 우리는 다음과 같이 가정한다.

• A^n,n diagonal C는 대각선이 가능한 행렬이다.
• V ∈ C는^n,n A = VλV, 여기서 λ은 대각 행렬과 같은 비음속 고유 벡터 행렬이다.
• X ∈ C가^n,n 변위불능인 경우, p-norm의 조건 번호는 κ_p(X)로 표시되고 다음에 의해 정의된다.

$\displaystyle \kappa _{p}(X)=\X\ _{p}\{p}\{p}\{p}\*^{-1}\오른쪽\ _{p}.}$

바우어-파이크 정리

바우어-파이크 정리μ는 A + ΔA의 고유값으로 한다.그 다음에 다음과 같은 λ ( a(A)가 존재한다.

$\displaystyle \lambda -\mu \leq \kappa _{p}(V)\delta A\ _{p}}$

증명. μ μ ∉(A)를 가정해 볼 수 있다. 그렇지 않으면 μ = μ를 복용하고 μ_p(V) ≥ 1 이후부터 그 결과는 사소한 사실로 나타난다. μ는 A + ΔA의 고유값이기 때문에 det(A + ΔA - μI) = 0이 된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\det(A+\delta A-\mu I)\\&=\det(V^{-1})\det(A+\delta A-\mu I)\det(V)\\&=\det \left(V^{-1}(A+\delta A-\mu I)V\right)\\&=\det \left(V^{-1}AV+V^{-1}\delta AV-V^{-1}\mu IV\right)\\&=\det \left(\Lambda +V^{-1}\delta AV-\mu I\right)\\&=\det(\Lambda -\mu I)\det \left(\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV+I\right)\\\end{aigned}}$

그러나 우리의 가정인 μ μ μ μ μ a(A)는 다음과 같이 함축하고 있다: DET(DET) - μI ≠ 0이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \det \left(\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV+나는 옳다=0.}$

이를 통해 -1이 고유값임을 알 수 있다.

${\displaystyle (\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV.}$

모든 p-표준은 일관된 행렬 규범이기 때문에 λ ≤ A가 있는데 여기서 where은 A의 고유값이다.이 경우 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle 1= -1 \leq \left\ (\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV\right\ _{p}\leq \left\ (\Lambda -\mu I)^{-1}\right\ _{p}\left\ V^{-1}\right\ _{p}\ V\ _{p}\ \delta A\ _{p}=\left\ (\Lambda -\mu I)^{-1}\right\ _{p}\ \kappa _{p}(V)\ \delta A\ _{p}}$

그러나 (μI - μI)⁻¹는 대각선 행렬로, p-orm은 쉽게 계산된다.

${\displaystyle \left\ \left(\Lambda -\mu I\right)^{-1}\right\ _{p}\ =\max _{\ {\boldsymbol {x}}\ _{p}\neq 0}{\frac {\left\ \left(\Lambda -\mu I\right)^{-1}{\boldsymbol {x}}\right\ _{p}}{\ {\boldsymbol {x}}\ _{p}}}=\max _{\lambda \in \Lambda (A)}{\frac {1}{ \lambda -\mu }}\ ={\frac {1}{\min _{\lambda \in \Lambda (A)} \lambda -\mu }}}$

시간:

$\displaystyle \min _{\lambda \in \lambda (A)} \lambda -\mu \leq \\kappa _{p}(V)\delta A\ _{p}.}$

대체 공식

그 정리는 또한 수치적 방법에 더 잘 맞도록 재구성될 수 있다.실제로 실제 eigensystem 문제를 다루면서, 정확한 행렬 A를 가지는 경우가 많지만, 대략적인 eigenvalue-eigenvector 부부, (1955^a, v^a )만을 알고 있기 때문에 오류를 구속할 필요가 있다.다음과 같은 버전이 도움이 된다.

바우어-파이크 정리(대체 공식).(λ^a, v )는^a 대략적인 고유값-유겐벡터 부부로서, r = Av^a - λv이다^aa.그 다음에 다음과 같은 λ ( a(A)가 존재한다.

${\displaystyle \lambda -\lambda ^{a}\오른쪽 \leq \kappa _{p}{p}{\frac {\\\boldsymbol{r}\{p}}}}{p}}}}{\boldsymbol{a}^\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

증거. suppose^a ∉ ((A)를 가정할 수 있다. 그렇지 않으면 λ = λ을^a 취하고 그 결과는 κ_p(V) ≥ 1. 따라서 (A - λI^a)⁻¹가 존재하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {v}^{a}=\왼쪽(A-\lambda ^{a})I\right)^{-1}{{\boldsymbol{r}=V\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}V^{-1}{\boldsymbol{r}}$

A는 대각선이 가능하기 때문에, 양쪽의 p-norm을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\displaystyle \left\{v}^{a}\right\ _{p}=\left\V\left(D-\lambda ^{a})I\right)^{-1}V^{-1}{{\boldsymbol{r}\right\ _{p}\{p}\leq \V\ \{p}\{p}\left\\\\\\\left(D-\lambda ^{a})I\right)^{-1}\right\ _{p}\{p}\{-1}\right\ _{p}\\\boldsymbol{r}\{p}=\kappa _{p}(V)\left\lambda ^{a}I\right)^{-1}^{1}\right\ _{p}\{p}\\\boldsymbol{r}\{p}.}$

그러나

$왼쪽(D-\lambda ^{a})I\right)^{-11}$

대각 행렬이며, 그 p-norm은 쉽게 계산된다.

$\displaystyle \left\\ \left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}\오른쪽\ _{p}=\max _{\boldsymbol{x}\{p}\neq 0}{\fract\\\\\\\\\left(D-\lambda ^{a})I\right)^{-1}{\boldsymbol {x}}\right\ _{p}}{\ {\boldsymbol {x}}\ _{p}}}=\max _{\lambda \in \sigma (A)}{\frac {1}{\left \lambda -\lambda ^{a}\right }}={\frac {1}{\min _{\lambda \in \sigma (A)}\left \lambda -\lambda ^{a}\right }}}$

시간:

${\displaystyle \min _{\lambda \in \lambda (A)}\left \lambda -\lambda ^{a}\right \leq \kappa _{p}(V){\frac {\ {\boldsymbol {r}}\ _{p}}{\left\ {\boldsymbol {v}}^{a}\right\ _{p}}}.}$

상대적 경계

바우어-파이크 정리의 두 공식 모두 절대적 한계를 산출한다.다음 코롤라리는 상대적 한계가 필요할 때마다 유용하다.

코롤러리.A가 변위불능이고 그 μ가 A + ΔA의 고유값이라고 가정하자.그 다음에 다음과 같은 λ ( a(A)가 존재한다.

${\displaystyle {\lambda -\mu }{{\lambda }}}\leq \leappa _{p}(V)\left\A^{-1}\delta A\right\ _{p}}}$

참고. A−1δA 공식적으로 A의 상대적인 변화,.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록에로 보여질 수 있고, line-height:1em, mar.진:00.1em}λ의 .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}λ − μ/λ은 상대적인 변화.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output.

증명. μ는 A + ΔA와 det(A) ≠ 0의 고유값이므로, 왼쪽에서 -A를⁻¹ 곱하여 다음과 같이 한다.

${\displaystyle -A^{-1}(A+\delta A){\boldsymbol{v}=-\mu A^{-1}{\boldsymbol {v}.}$

설정되는 경우:

${\displaystyle A^{a}=\mu A^{-1},\qquad(\delta A)^{a}=-A^{-1}\delta A}$

다음이 있음:

${\displaystyle \left(A^{a}+(\delta A)^{a}-I\right){\boldsymbol{v}={\boldsymbol{0}}}}$

즉, 1은 A^a + (ΔA)의 고유값이며,^a v는 고유 벡터로 한다.현재 A의^a 고유값은 μ/㎥인_i 반면, A와 동일한 고유벡터 행렬을 가지고 있다.고유값 1이 있는 A^a + (ΔA)^a에 바우어-파이크 정리를 적용하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \min _{\lambda \in \Lambda (A)}\left {\frac {\mu }{\lambda }}-1\right =\min _{\lambda \in \Lambda (A)}{\frac { \lambda -\mu }{ \lambda }}\leq \kappa _{p}(V)\left\ A^{-1}\delta A\right\ _{p}}$

일반 행렬의 사례

A가 정상인 경우 V는 단일 행렬이므로 다음과 같다.

${\displaystyle \ V\ _{2}=\left\V^{-1}\right\ _{2}$

그래서 κ₂(V) = 1. Bauer-Fike의 정리는 다음과 같이 된다.

$\displaystyle \exists \lambda \in \Lambda(A):\quad \lambda -\mu \leq \delta A\ _{2}}:$

또는 대체 공식으로:

$\displaystyle \exists \lambda \in \Lambda(A):\cHB 왼쪽 \lambda -\lambda ^{a}\오른쪽 \leq {\frac{\\\\\\\\\\\\\{2}}:{{}}}{{v}^{a}\오른쪽\{2}}:}$

A가 은둔자 행렬이라면 그것은 분명히 사실로 남아 있다.그러나 이 경우 훨씬 더 강한 결과가 유지되는데, 이는 바이엘의 고유값 정리라고 알려져 있다.은둔자의 경우, 매트릭스를 그 스펙트럼에 매핑하는 지도 A ↦ ↦(A)가 C의 콤팩트 서브셋의 하우스도르프 거리와 관련하여 비확장 함수인 형태로 바우어-파이크 정리도 다시 작성할 수 있다.

참조

• Bauer, F. L.; Fike, C. T. (1960). "Norms and Exclusion Theorems". Numer. Math. 2 (1): 137–141. doi:10.1007/BF01386217.
• Eisenstat, S. C.; Ipsen, I. C. F. (1998). "Three absolute perturbation bounds for matrix eigenvalues imply relative bounds". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 20 (1): 149–158. CiteSeerX 10.1.1.45.3999. doi:10.1137/S0895479897323282.