숫자 범위

선형대수학 및 볼록 분석의 수학적 분야에서는 복합 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ 행렬$$ A의 수치 범위 또는 값 필드가 설정된다.

${\displaystyle W(A)=\left\{{\frac {\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{*}\mathbf {x} }}\mid \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n},\ \mathbf {x} \not =0\right\}}$

여기서 $∗{\$은 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ x$${\$displaystyle \mathbf {x}$의 결합 전이를 나타낸다$$$.$

공학에서 수치 범위는 A의 고유값의 대략적인 추정치로 사용된다.최근에는 양자 컴퓨팅을 연구하는 데 숫자 범위의 일반화가 이용되고 있다.

관련 개념은 숫자 범위 내 숫자의 절대값 중 가장 큰 절대값인 숫자 반지름이다.

${\displaystyle r(A)=\supp\{ \lambda :\lambda \in W(A)\}=\supp_{\ x\ =1} \langle Ax,x\angle .}$

특성.

1. 수치 범위는 Rayleigh 지수 범위다.
2. (하우스도르프–)토우플리츠 정리)수적 범위는 볼록하고 좁다.
3. ${\displaystyle W(\alpha A+\beta I)=\alpha W(A)+\{\beta \}}$ for all square matrix ${\displaystyle A}$ and complex numbers ${\displaystyle \alpha }$ and ${\displaystyle \beta }$. Here ${\displaystyle I}$ is the identity matrix.
4. ${\displaystyle W}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle W(A)}$은(는) $A{\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$이 양수인 경우에만 닫힌 우측 하프 평면의 하위 집합이다$$.
5. 숫자 범위 $W{\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle$ W$(\cdot )}$는 (2), (3) 및 (4)를 만족하는 제곱 행렬 집합에서 유일한 함수다$$.
6. (하위첨가) ${\displaystyle W}$(${\displaystyle A}$+ ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle \subseteq }$ W${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$+ W ${\displaystyle (B}$) ${\displaystyle W(A+B)\subseteq W(A)+W(B$ 여기서 우측의 합은 합계를 나타낸다.
7. ${\displaystyle W}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle W(A)}$에는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 모든 고유값이 포함되어$$ 있다$.$
8. $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ 행렬의$$ 숫자 범위는 채워진 타원이다.
9. ${\displaystyle }$$W$${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle W$${\displaystyle (}$$A)}$은(는) A${\displaystyle$ $[\alpha,\beta ]}$의 최소$$ 및 최대 고유값이 $\alpha {\displaystyle }$ {\$displaystyle$\alpha $}$이고 β$$ ${\displaystyle \beta }$인 경우에만 실제 라인 세그먼트다$.$
10. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 정상 행렬이면 $W{\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle W(A)}$은 고유값의 볼록한 선체가 된다$$.
11. $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이${\displaystyle (가)}$ ${\displaystyle W(A$의 경계에 대한 뾰족한 점이라면, $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은$($가$) A의$정상적인 $고유값$이다.
12. ${\displaystyle r}$ (${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle r(\cdot )}$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\property$ n$}$ 행렬의$$ 공간에 대한 표준이다$$.
13. ${\displaystyle r}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle 2}$ 2${\displaystyle 2}$ 2 r${\displaystyle }$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ r$(A$)\$leq \leq 2r(A$ $여기$서 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ‖ ‖ ${ \$ {\$displaystyle$\cdot$$\ \$cdot$\}은 연산자 규범을 나타낸다$$.
14. ${\displaystyle r(A^{n})\leq r(A)^{n}}$

일반화

• C-숫자 범위
• 상위수치범위
• 관절 수치 범위
• 제품 수치 범위
• 다항식 수치선체

참고 항목

• 스펙트럼 이론
• 레일리 지수
• 수치 범위 및 수치 반지름에 관한 워크숍

참고 문헌 목록

• Choi, M.D.; Kribs, D.W.; Życzkowski (2006), "Quantum error correcting codes from the compression formalism", Rep. Math. Phys., 58 (1): 77–91, arXiv:quant-ph/0511101, Bibcode:2006RpMP...58...77C, doi:10.1016/S0034-4877(06)80041-8, S2CID 119427312.
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• Bonsall, F.F.; Duncan, J. (1971), Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-07988-4.
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