직접적분

수학 및 기능 분석에서 직접적분(direct integrity)은 직접합(direct sum) 개념의 일반화다. 이 이론은 힐버트 공간의 직접 통합과 폰 노이만 알헤브라의 직접 통합을 위해 가장 많이 개발되었다. 이 개념은 1949년 존 폰 노이만이 On Rings of Operators 시리즈 중 한 논문에서 소개한 것이다. 본 논문에서 폰 노이만의 목표 중 하나는 분리 가능한 힐베르트 공간에 대한 폰 노이만 알헤브라의 분류를 소위 요인의 분류로 줄이는 것이었다. 인자는 들판 위의 풀 매트릭스 알헤브라와 유사하며, 폰 노이만은 아르틴--의 연속적인 아날로그를 증명하기를 원했다.반단순 고리를 분류하는 웨더번 정리.

직접 통합에 대한 결과는 행렬의 유한 차원 C*-알게브라에 대한 결과의 일반화로 볼 수 있다. 이 경우 결과는 직접 입증하기 쉽다. 무한대의 경우는 측정이론적 기술성에 의해 복잡하다.

직접 적분 이론은 또한 조지 맥키에 의해 부정의 시스템 분석과 지역적으로 콤팩트한 분리 집단의 유도 표현에 대한 그의 일반적인 이론에 사용되었다.

힐버트 공간의 직접 통합

직접 적분량의 가장 간단한 예는 측정 가능한 공간 X에서 계수 가능한 첨가 측정 μ에 연결된 L 공간이다². 다소 일반적으로는 분리 가능한 힐버트 공간 H와 사각 통합형 H 값 함수의 공간을 고려할 수 있다.

${\displaystyle L_{\mu }^{2}(X,H).}$

터미네이션 노트 이 주제에 관한 문헌에 의해 채택된 용어는 여기에서 따르며, 이에 따라 측정 가능한 공간 X를 보렐 공간이라고 하고, 보렐이 설정한 X의 구별되는 al-알지브라 요소들을 토폴로지 공간(대부분의 예에서 그러함)에서 왔는지 여부에 관계없이, 여기에 따른다. 보렐 공간은 폴란드 공간의 기초 보렐 공간과 이형화된 경우에만 표준이다. 주어진 카디널리티의 모든 폴란드 공간은 서로 이형화된 공간(보렐 공간)이다. X에 대해 계산 가능한 부가 측정 μs가 주어진 경우, 측정 가능한 집합은 null 집합에 의해 설정된 보렐과 다른 집합이다. X에 대한 측정 μ는 X - E를 보완하는 표준 보렐 공간인 null set E가 있는 경우에만 표준 측정값이다.^{[clarification needed]} 여기서 고려한 모든 조치는 fin-finite이다.

정의. X는 계산 가능한 첨가 측정 μ가 장착된 보렐 공간이다. (X, μ)에 있는 힐버트 공간의 측정 가능한 패밀리는 {H_x}_{x∈ X} 패밀리로, 로컬로 다음과 같은 의미에서 사소한 패밀리와 동등하다. 셀 수 있는 파티션이 있다.

${\displaystyle \{X_{n}\}_{1\leq n\leq \omega}}}$

다음과 같은 X의 측정 가능한 하위 집합에 의해.

${\displaystyle H_{x}=\mathbf {H} _{n}\quad x\in X_{n}}}$

여기서 H는_n 표준 n차원 힐버트 공간, 즉

${\displaystyle \mathbf {H} _{n}=\left\{\begin{matrix}\mathb {C} ^{n}&{\mbox{{n<\omega \\\ell ^{2}&}}{nbox{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{mbox{{}}}}}}}}}\rigmbox{{{{{}}}}}}}}}$^{[필요하다]}

{H_x}_{x∈ X}의 단면은 모든 x ∈ X에 대해_x s ∈ H를_x 나타내는 패밀리_{x x ∈ X}{s}이다. 단면은 각 파티션 요소 X에_n 대한 제한이 측정 가능한 경우에만 측정할 수 있다. 우리는 거의 모든 곳에서 동일한 측정 가능한 단면들을 확인할 것이다. 힐베르트 공간의 측정 가능한 가족이 주어지고, 직접적 일체형인

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu(x)}$

측정 가능한 {H_x}_{x∈ X}의 정사각형 통합형 횡단면의 동등성 등급(대부분의 평등에 관한)으로 구성된다. 이것은 내부 제품 아래의 힐버트 공간이다.

${\dmathrm \langles t\rangle =\int _{X}\langles s(x) t(x)\angle \,\mathrm {d} \mu(x)}$

우리 정의의 지역적 특성을 고려할 때, 힐버트 공간의 측정 가능한 가족에게도 단일 힐버트 공간에 적용할 수 있는 많은 정의가 적용된다.

비고. 이 정의는 명백히 폰 노이만이 주었고 폰 노이만 알헤브라에 대한 딕스미어의 고전적인 논문에서 논한 것보다 더 제한적이다. 좀 더 일반적인 정의에서 힐버트 우주 섬유_x H는 국소적인 사소한 요건(측량-이론적 의미에서 국소적)을 갖추지 않고 지점마다 차이가 날 수 있도록 허용된다. 폰 노이만 이론의 주요 이론 중 하나는 사실 더 일반적인 정의가 여기서 주어진 더 단순한 정의로 축소될 수 있다는 것을 보여주는 것이다.

힐버트 공간의 측정 가능한 패밀리의 직접 적분은 측정 μ의 측정 등급에만 의존한다는 점에 유의하십시오. 보다 정확하게는 다음과 같다.

정리. μ, μ는 X에 동일한 측정값 0 집합을 갖는 μ-마인 측정값으로 카운트다운할 수 있다. 그럼 지도는

${\displaystyle s\mapsto \left\frac {\mathrm {d} \mathrm {d}{{\nu }\right)^{1/2}s}$

단일 운영자

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d}\mu(x)\mu(x)\mu(x)\rightarrow \int \int_{X}^{X}^{\oplus }\,\mathrmatrmatrmatrum {d} \nu}\nu(x) \nu(x) \nu(x) \nu}$

예

기술적으로 가장 간단한 예는 X가 계수 가능한 집합이고 μ는 이산형 측정일 때 이다. 기사에서 X = N 및 μ가 N에 대한 측정값을 계산하는 다음과 같은 실행 예를 고려한다. 이 경우 분리 가능한 힐버트 공간의 모든 시퀀스 {H_k}은(는) 측정 가능한 패밀리로 간주할 수 있다. 게다가

${\displaystyle \int _{X}^{}H_{x}\,\mathrm {d} \mu(x)\cong \bigoplus _{k\in \mathb {}{N}H_{k}}}}}}}}}\mathrmatrmatrmiss {d}$

분해 가능한 연산자

실행 예제에서 경계 선형 연산자 T on

${\displaystyle H=\bigoplus _{k\in \mathb{{N}}H_{k}}}$

무한행렬에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\bmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}&\cdots \\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}&\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

블록 대각선 연산자, 즉 대각선을 벗어난 모든 항목이 0인 연산자를 고려하십시오. 우리는 이 운영자들을 분해할 수 있다고 부른다. 이러한 운영자는 대각 행렬로 통근하는 운영자로 특징지어질 수 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0&\cdots \\0&\lambda _{2}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\cdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}&\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

이제 일반적인 정의로 넘어가자. T_x ∈ L(H_x)을 가진 경계 연산자 {T_x}_{x∈ X} 계열은 각 X에_n 대한 제한이 강하게 측정 가능한 경우에만 강하게 측정할 수 있다고 한다. 이것은_x H가 X에_n 일정하기 때문에 말이 된다.

기본적으로 한정된 규범을 가진 측정 가능한 연산자 패밀리, 즉

${\displaystyle \operatorname {ess-sup} _{x\in X}\ T_{x}\<\infully }$

경계 선형 연산자 정의

${\displaystyle \int _{X}^{X}^{Oplus }\\T_{x}d\mu(x)\in \operatorname {L}{\bigg(}\int _{X}^) {\oplus }H_{x}\mu (x){\big )}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

점잖게 행동하는 것, 즉,

${\displaystyle {\bigg [}\int _{X}^{\oplus }\ T_{x}d\mu (x){\bigg ]}{\bigg (}\int _{X}^{\oplus }\ s_{x}d\mu (x){\bigg )}=\int _{X}^{\oplus }\ T_{x}(s_{x})d\mu (x).}$

그러한 운영자들은 분해될 수 있다고 한다.

분해 가능한 연산자의 예로는 X의 λ에 대해 스칼라 값(즉, C 값) 측정 가능한 함수에 의해 정의되는 연산자를 들 수 있다. 실은.

정리. 맵핑

${\displaystyle \phi :L_{\mu }^{\inful }^{\inful }(X)\오른쪽 화살표 \operatorname {L} {\bigg(}\int _{X}^{\oplus }}}}H_{x}\mu(x){\bigg )}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

에 의해 주어지는.

${\displaystyle \lambda \mapsto \int_{X}^{\oplus }\lambda _{x}d\mu (x)}$

그것의 이미지에 대한 비자발적 대수적 이형성이다.

이러한 이유로 우리는^∞_μ (의 이미지와 함께 L(X)을 식별할 것이다.

정리^[1] 분해 연산자는 정확히 아벨 대수 L^∞_μ(X)에 해당하는 연산자에 있는 연산자다.

아벨리안 폰 노이만 알헤브라의 분해

스펙트럼 정리는 많은 변형을 가지고 있다. 특히 강력한 버전은 다음과 같다.

정리. 분리 가능한 힐버트 공간 H에 대한 아벨리안 폰 노이만 대수 A에 대해서는 표준 보렐 공간 X와 힐버트 공간의 직접 적분으로 작용하는 L^∞_μ(X)과 단위적으로 동등한 측정 μ가 X에 존재한다.

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x)\cHB }$

연산자 대수로서 A를 단위로 L^∞_μ(X)과 동등하다고 주장하는 것은 단수체가 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle U:H\rightarrow \int_{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x)}$

U*가 대각선 연산자 L^∞_μ(X)의 대수인 경우. 이는 대각선 연산자의 대수적 A와 A의 대수적 등가성만을 주장하지 않는다는 점에 유의한다.

그러나 이 버전은 기본 표준 Borel 공간 X를 얻는 방법을 명시적으로 기술하지 않는다. 위의 분해에 대한 고유성 결과가 있다.

정리. 아벨리안 폰 노이만 대수 A가 직접 적분 공간에 작용하는 L^∞_μ(X)과 L^∞_ν(Y) 둘 다와 단위적으로 동일하다면

${\displaystyle \int _{X}^{}H_{x}d\mu(x),\quad \int _{Y}^{\oplus }K_{y}d\nu(y)}$

그리고 μ, μ는 표준 측정값이고, 그 다음에는 보렐 이소모르프(Borel Isomorphism)가 있다.

${\displaystyle \varphi :X-E\오른쪽 화살표 Y-F}$

여기서 E, F는 다음과 같은 null 집합이다.

${\displaystyle K_{\pi(x)}=H_{x}\quad {\mbox{almost ally here}}}}$

φ는 측정계급 이형성, 즉 φ과 그 역보존계 측정계 0 집합이다.

이 이전의 두 가지 이론은 분리 가능한 힐버트 공간에 대한 아벨리안 폰 노이만 알헤브라의 완전한 분류를 제공한다. 이 분류는 실제로 연산자의 대수로서 폰 노이만 대수학의 실현을 고려한다는 점에 유의한다. 만약 우리가 폰 노이만 대수학으로서 그것의 실현과는 독립적으로 본 노이만 대수학을 고려한다면, 그 구조는 매우 단순한 측정-이론적 불변제에 의해 결정된다.

폰 노이만 알헤브라의 직접 통합

{H_x}_{x ∈ X}을(를) 힐버트 공간의 측정 가능한 가족이 되게 하라. 폰 노이만 알헤브라의 가족 {A_x}_{x ∈ X}과(와)

${\displaystyle A_{x}\subseteq \operatorname {L}(H_{x})$

다음과 같은 의미에서 포인트(pointwise)가 von Neumann 대수로서 {A}을_x(를) 생성하는 측정 가능한 연산자 패밀리의 카운트 가능한 집합 D가 있는 경우에만 측정할 수 있다. 거의 모든 x x x X에 대해,

${\displaystyle \operatorname {W^{*}}(\{S_{x}):S\in D\}=A_{x}}$

여기서 W*(S)는 세트 S에 의해 생성된 폰 노이만 대수학을 나타낸다. {A_x}_{x ∈ X}이(가) 폰 노이만 알헤브라의 직접적 통합인 폰 노이만 알헤브라의 측정 가능한 계열이라면

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu(x)}$

양식의 모든 운영자로 구성된다.

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }T_{x}d\mu(x)}$

T_x ∈ A를_x 위하여

폰 노이만과 머레이의 초기 논문 시리즈에서 가장 중요한 이론 중 하나는 분해 정리의 증거다. 어떤 폰 노이만 대수학도 인자의 직접적인 적분이다. 우리는 이것을 정확히 아래에 기술한다.

정리. {A_x}_{x ∈ X}이(가) 폰 노이만 알헤브라의 측정 가능한 계열이고 μ가 표준이라면, 연산자 정류자 제품군도 측정 가능하고

${\displaystyle {\bigg[}\int _{X}^{}A_{x}d\mu(x){\bigg ]}={X}^{X}^{x'_{x}d\mu(x)=\int _{X}^{x'_{x}d\mu(x)}$

중앙 분해

A가 폰 노이만 대수라고 가정하자. Z(A)를 A의 중심, 즉 A의 모든 연산자와 통근하는 연산자 집합, 즉 A의 중심이 되게 한다.

${\displaystyle \mathbf {Z}(A)=A\cap A'}$

Z(A)는 아벨리아 폰 노이만 대수학이다.

예. L(H)의 중심은 1차원이다. 일반적으로 A가 폰 노이만 대수라면, 중심이 1차원이라면 우리는 A가 하나의 요인이라고 말한다.

이제 A가 폰 노이만 대수라고 가정해 봅시다. 중심에는 다음과 같은 최소 쌍방향 직교 비 영점 투영법{E_i}_{i ∈ N}의 시퀀스가 포함되어 있다.

${\displaystyle 1=\sum _{i\in \mathb {N} }E_{i}}}$

그렇다면 A E는_i E의_i 범위 H에_i 있는 폰 노이만 대수학이다. A E가_i 하나의 요소라는 것을 쉽게 알 수 있다. 따라서 이 특별한 경우에는

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathb {N}}AE_{i}}}$

A를 인자의 직접적인 합으로 나타낸다. 이것은 폰 노이만의 중앙 분해 정리의 특수한 경우다.

일반적으로 스칼라 대각선 연산자의 대수로서 Z(A)를 나타내는 아벨리안 폰 노이만 알헤브라의 구조 정리를 적용할 수 있다. 그러한 어떤 표현에서도, A의 모든 사업자는 분해할 수 있는 사업자들이다. 사실, 우리는 이것을 어떤 폰 노이만 대수학이라도 인자로 분해되는 것을 인정하는 폰 노이만의 기본적인 결과를 증명하는데 사용할 수 있다.

정리. 가정하다

${\displaystyle H=\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu(x)}$

H의 직접 적분 분해이며, A는 H에 대한 폰 노이만 대수로서, X가 표준 보렐 공간인 스칼라 대각선 연산자 L^∞_μ(X)의 대수로서 Z(A)가 표현된다. 그러면

${\displaystyle \mathbf {A} =\int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu(x)}$

여기서 거의 모든 x X에 대해 A는_x 요소인 폰 노이만 대수학이다.

측정 가능한 대표 가족

A가 분리 가능한 C*-알지브라라면, 우리는 A의 비감소 *-표현들의 측정 가능한 가족을 고려할 수 있다; A가 단위를 가지고 있는 경우, 비감소성은 단위를 보존하는 것과 같다는 것을 상기하라. 국소 소형 그룹 G의 강력한 연속적 단일 표현과 비 분해형 * C*-알제브라 C*(G) 그룹 사이에 존재하는 일반적인 일치에 의해, C*-알제브라에 대한 이론은 즉시 분리 가능한 국소 소형 그룹의 표현에 대한 분해 이론을 제공한다.

정리. A를 분리 가능한 C*-알제브라로 하고 π 분리 가능한 Hilbert 공간 H에 대한 A의 비 소멸 비자발적 표현으로 한다. W*(π)는 운용자 π(a)에 의해 π(a)에 의해 생성된 폰 노이만 대수로 한다. 그 다음 표준 측정 공간(X, μ)에 대한 W*(수치)의 중앙 분해에 대응한다(수치 이론적 의미에서 고유함), 측정 가능한 인자 표현 계열이 있다.

${\displaystyle \{\pi_{x}\}_{x\in X}}$

A과 같은

${\displaystyle \pi=\int _{X}^{\oplus }\pi _{x}(a)d\mu(x),\quad \all \in A.}$

더욱이 X의 부분집합 N은 μ_xy 측정값 0으로 X의 부분집합 N이 있는데, X, Y - X - N은 서로 얽혀 있는 연산자가 없는 경우에만 표시해제한다고 한다.

A의 인자표현의 준등분 등급으로 구성된 A의 소위 준정분 Q에 직접적분을 지수화할 수 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 Q에 대한 표준 측정 μ와 Q에 지수화된 측정 가능한 인자 표현 계열이 있어 π은_x x의 등급에 속한다. 이 분해는 본질적으로 독특하다. 이 결과는 집단표현론의 근본이다.

참조

• J. 딕스미어, 본 노이만 알헤브라스, ISBN 0-444-86308-7
• J. 딕스미어, C*알헤브라스 ISBN 0-7204-0762-1
• G. W. Mackey, Theory of Unitaritical Group Presentations, The University of Chicago Press, 1976.
• J. 폰 노이만, 오퍼레이터의 반지에. 축소 이론 수학 연보 제2 장 제50권 제2호 (1949년 4월), 페이지 401-485.
• 다케사키 마사미치 알헤브라스 1세, II세 연산자 이론III"는 수학 과학 백과사전인 Springer-Verlag, 2001–2003 (제1권은 1979년 1년에 출판되었다. 에디션) ISBN 3-540-42248-X