동등성(측정 이론)

수학, 특히 측정 이론에서 등가성은 두 측정치가 질적으로 유사하다는 개념이다. 구체적으로 어떤 사건이 0을 측정하는지에 대해 두 측정치가 일치한다.

정의

$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$과$\nu {\displaystyle }$ {\$displaystyle$\nu $}$을(를) 측정 가능한 공간$({\displaystyle X}$ , ${\displaystyle A}$)$displaystyle(X,{\mathcal {A})$에 대해 두 가지 측정값으로$$ 하고$,$ μ(\displaystylement \mu })로 한다.

${\displaystyle {\mathcal {{N}_{\mu }:=\{A\in {\mathcal {A}\mid \mute \mu(A)=0\}}$

그리고

${\displaystyle {\mathcal{N}_{\nu }:=\{A\in {\mathcal {A}\mid \nu(A)=0\}}$

각각 $\mu s{\displaystyle }$ 집합$[\displaystyle \mu }$ -mu$$ 집합과 $\mu s{\displaystyle }$ 집합$[\displaystyle \nu }$ -missions$$ 집합이다. 그 다음 $\mu s{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$${\$$displaystyle \$$nu$$}$ 측정치는$$ $\mu s{\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$$displaystyle$${\$n}}{\$mathcal {N}_{\mu$에 대해 절대적으로 연속적이라고 한다$$. 이것은 $\nu {\displaystyle \mu }$ μ ${\displaystyle \nu \ll \mu }$로 표시된다$.$

The two measures are called equivalent iff ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ and ${\displaystyle \nu \ll \mu }$,^[1] which is denoted as ${\displaystyle \mu \sim \nu }$. That is, two measures are equivalent if they satisfy ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }={\mathcal {N}}_{\nu }}$.

예

실선으로

실제 라인의 두 가지 측정값을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \mu(A)=\int _{A}\mathbf {1} _{[0,1](x)\mathrm {d}x}$

${\displaystyle \nu(A)=\int _{A}x^{2}\mathb {1} _{[0,1](x)\mathrm {d}x}$

for all Borel sets ${\displaystyle A}$. Then ${\displaystyle \mu }$ and ${\displaystyle \nu }$ are equivalent, since all sets outside of ${\displaystyle [0,1]}$ have ${\displaystyle \mu }$ and ${\displaystyle \nu }$ measure zero, and a set inside ${\displaystyle [0,1]}$ is a $$$[\displaystyle \mu \}$ -null$$ 세트 또는$$μ {\$displaystyle \nu$} -null$$ 세트 정확히 르베그 측도와 관련하여 null 세트인 $경우{\displaystyle }$.

추상 측정 공간

몇 가지 측정 가능한 공간$({\displaystyle X\mathcal{}}$, A${\displaystyle }$) ${\displaystyle(X,{\mathcal{A}})$을 보고 $\mu {\displaystyle }${\$displaystyle \mu}$을(를) 카운트 측정값으로 두십시오.

${\displaystyle \mu }$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ $displaystyle \mu (A)=$ A$\},$

여기서 ${\displaystyle A}$ $displaystyle A}$은(는) 집합 a의 카디널리티다. 그래서 셈법은 빈 집합인 null 집합 하나만 가지고 있다. 즉, $N{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {\mathcal {N}_{\mu }=\\\misseset$ $\backslash \}\}.$ 따라서 두 번째 정의에 따르면 다른 $측정치{\displaystyle }$ $has{\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$}은(는) 빈$$세트만 $display$ {\displaystyption \$nu \$nu \null$$ 집합으로 되어 있다면 카운트 측정치와 동일하다$$.

지원조치

$측정{\displaystyle }$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$mu$$$$}$인 경우$$ 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\$$nu$$\}$^[2]을(를$)$ 뒷받침하는 측정값이라고 $한다$.

참조