비자발적 세미그룹

수학에서, 특히 추상 대수학에서, 비자발적 또는 *-세미그룹을 가진 세미그룹(semigroup)은 비자발적 반자동화(noomorphism)를 탑재한 세미그룹으로, 이는 (거의) 단일 연산자로 간주되는 이 비자발성이 숲에서 역행하는 연산의 어떤 근본적인 특성을 나타내기 때문에 그룹에 더 가깝다고 말할 수 있다.up: 고유성, 이중 적용 "취소 자체" 및 이항 연산과의 상호 작용 법칙과 그룹 역행의 경우.그러므로 어떤 집단이든 비자발적인 세미그룹이라는 것은 놀라운 일이 아니다.그러나, 그룹이 아닌 비자발적인 세미그룹에 대한 유의적인 자연적인 예가 있다.

선형대수의 예로는 n 순서의 실제 제곱 행렬의 승수 단원형(전체 선형 단원형이라고 함)이 있다.전치 행렬을 전치(transpose)로 보내는 지도는 전치(transpose)가 모든 행렬에 대해 잘 정의되어 있고, 일반 선형 그룹(완전 선형 모노이드의 부분군)에 있는 것과 같은 형태의 곱셈과의 상호작용을 갖는 법칙(AB)^T = BA를^T^T 준수하기 때문에 비자발적이다.그러나 임의 행렬의 경우 AA는^T ID 요소(명칭 대각 행렬)와 같지 않다.또 다른 예로는, 공식 언어 이론에서 나온 것으로, 비어 있지 않은 집합(문자)에 의해 생성되는 자유 세미그룹으로, 이진 연산으로서 문자열의 결합을 가지고 있으며, 비자발성이 문자열의 문자의 선형 순서를 역전시키는 지도가 된다.세 번째 예로는, 기본 집합 이론으로부터, 집합과 그 자체 사이의 모든 이항 관계의 집합으로, 비자발성이 역관계로 되어 있고, 통상적인 관계의 구성에 의해 주어지는 곱셈이 있다.

비자발적인 세미그룹들은 빅토르 바그너(러시아어)의 1953년 논문에서 세미그룹 이론과 세미히프의 이론을 연결시키려는 그의 시도로 인해 명시적으로 명명되었다.^[1]

형식 정의

S는 2진법으로 복수형으로 표기된 세미그룹으로 하자.S에서의 비자발성은 다음 조건을 만족하는 * S에 대한 (또는 변환 * : S → S, x ↦ x*) 단항작용이다.

모든 x in S에 대해, (x*)* = x.
모든 x, y의 경우 S에 (xy)* = y*x*가 있다.

비자발적 *이 있는 세미그룹 S를 비자발적 세미그룹이라고 한다.

이러한 공리 중 첫 번째 공리만을 만족시키는 세미그룹들은 더 큰 등급의 U-세미그룹에 속한다.

일부 응용 프로그램에서는 이러한 공리 중 두 번째 공리를 반분산이라고 부른다.^[2]H.S.M. Coxeter는 이러한 공리의 자연철학에 대해 "각각 양말과 신발을 신는 작업으로 [x]와 [y]를 생각할 때 명확해진다"^[3]고 말했다.

예

만약 S가 상호 교환적인 semigroup이라면, S의 ID 맵은 비자발적인 것이다.
S가 그룹인 경우 반전 맵 * : S → S x* = x로⁻¹ 정의되는 것은 비자발적인 것이다.더욱이, 아벨 그룹에서는 이 지도와 앞의 예에서 나온 지도 둘 다 비자발적으로 세미그룹의 공리를 만족시키는 비자발이다.^[4]
S가 역 semigroup인 경우 반전 맵은 불변성으로 남는다.앞의 예에서 지적한 바와 같이, 역세미그룹에서 반드시 이 속성을 가진 지도만 있는 것은 아니다.모든 특이점들을 불변하게 하는 다른 비자발적인 것들이 분명히 있을 수 있다. 예를 들어, 역방향, semigroup, 특히 아벨 그룹.정규 세미그룹이란 각 공증약이 불변성인 비자발성을 인정하는 경우에만 역세미그룹을 말한다.^[5]
모든 C*-algebra의 밑바탕에는 *-semigroup이 있다.중요한 예로는 C에 대한 n-by-n 행렬의 대수_n M(C)이 있으며, 공극은 비자발적으로 전치된다.
X가 집합인 경우, X의 모든 이진관계 집합은 역관계로 주어지는 *와 일반적인 관계 구성으로 주어지는 곱셈을 가진 *-세미그룹이다.이것은 정규 세미그룹이 아닌 *-세미그룹의 예다.
X가 집합인 경우, X 멤버의 모든 유한 시퀀스(또는 문자열) 세트가 시퀀스 연결의 작동에 따라 자유 모노이드(monoid)를 형성하며, 시퀀스 역전은 비자발적이어야 한다.
세트 A의 데카르트 제품(즉, A × A의 요소가 있는 직사각형 밴드로, (a, b)(c, d) = (a, b)* = (b, a)로 정의된 세미그룹 제품이 있고, 비자발성은 한 쌍의 원소(a, b)* = (b, a)로 정의된다.이 세미그룹 역시 모든 밴드가 그렇듯이 정규 세미그룹이다.^[6]

기본 개념 및 속성

비자발성을 가진 세미그룹들의 원소 x는 비자발성에 의해 불변적으로 남겨질 때(에르미트 행렬과 유사하게) 은둔자(Emidantian matrix와 유사하게)라고도 부르기도 한다. xx* 또는 x*x 형식의 원소들은 항상 은둔자적 원소의 모든 힘들이 그러하다.예제에서 언급한 바와 같이, S가 정규 세미그룹이고 모든 유휴자가 은둔자일 정도로 비자발성을 인정하는 경우에만 Semigroup S는 역세미그룹이다.^[7]

특정 기본 개념은 *-세미그룹에서 세미그룹의 정규 요소에서 비롯되는 개념과 유사하게 정의될 수 있다.부분 이등분법은 ss*s = s와 같은 요소로서, semigroup S의 부분 이등분법 집합은 대개 PI(S)로 축약된다.^[8]투영은 또한 은둔자인 idempotent 요소 e이다. 즉 ee = e와 e* = e. 모든 투영은 부분 등측도법이며, 모든 부분 등측계에 대해 s*s와 ss*는 투영이다.e와 f가 투영된 경우 e = ef if 및 e = fe인 경우에만 e = ef.^[9]

부분 이소계수는 s = ss*t 및 ss* = ss*t*^[9]일 때마다 holding으로 정의되는 s ≤ t에 의해 부분적으로 주문할 수 있다.동등하게, s = et 및 e = ett*가 일부 투영 e인 경우에만 s t t.^[9]*-세미그룹에서 PI(S)는 s⋅t = st if s*s = tt*^[10]로 주어진 부분적인 제품을 가진 주문 그룹형이다.

예

이러한 개념의 예에서, 집합에 있는 이진 관계의 *-세미그룹에서 부분 등위성은 기능하지 않는 관계다.이 *-그룹 내 예상은 부분적 동등성 관계다.^[11]

C*-algebra의 부분 등위계는 정확히 이 절에서 정의한 것이다.M_n(C)의 경우에는 더 말할 수 있다.E와 F가 투영된 경우, iME ⊆ imF인 경우에만 E ≤ F.임의의 두 투영에서 E ∩ F = V인 경우, 이미지 V와 커널이 있는 고유한 투영 J는 E와 F의 만남이다.투영된 것이 일치-세밀라티스를 형성하므로, M_n(C)의 부분 등각도는 $A(A^{*}A\wedge BB^{*})B$ A $A(A^{*}A\wedge BB^{*})B$ $A(A^{*}A\wedge BB^{*})B$ $A(A^{*}A\wedge BB^{*})B$ $A(A^{*}A\wedge BB^{*})B$ $A(A^{*}A\wedge BB^{*})B$ ) $A(A^{*}A\wedge BB^{*})B$ ${\displaystyle$ A $(A^{*}A\$ 웨지 BB^{*} $B}}}}$ 와 역세미그룹을 형성한다 $A(A^{*}A\wedge BB^{*})B$ ^[12]

이러한 개념의 또 다른 간단한 예는 다음 절에 나타난다.

규칙성 개념

*-세미그룹에는 두 가지 관련성이 있지만 동일한 규칙성이라는 개념이 없다.그것들은 노르달과 셰이블리히(1978년)와 드라진(1979년)에 의해 거의 동시에 소개되었다.^[13]

일반 *-세미그룹(Nordahl & Scheiblich)

앞의 예에서 언급한 바와 같이 역세미그룹은 *-세미그룹의 하위급이다.역세미그룹이 어떤 두 개의 idempotent가 통근하는 정규세미그룹으로 특징지어질 수 있다는 것도 교과서적인 지식이다.1963년 보리스 M. Schein은 다음과 같은 두 가지 공리가 *-세미그룹의 하위변수로 역세미그룹의 유사한 특성을 제공한다는 것을 보여주었다.

x = xx*x
(xx*)(x*x) = (x*x)(xx**)

이 중 첫 번째는 정규 원소의 정의처럼 보이지만 실제로는 비자발적인 측면에 있다.마찬가지로, 두 번째 공리는 두 개의 idempotent의 분류를 설명하고 있는 것으로 보인다.그러나 정규 세미그룹은 클래스에 자유 객체가 포함되어 있지 않기 때문에 다양성을 형성하지 않는 것으로 알려져 있다(D. B. McAlister 1968년에 확립된 결과).이러한 추론의 선은 노르달과 셰이블리히가 1977년에 첫 번째 두 공리만을 만족시키는 *-세미그룹에 대한 연구를 시작하도록 동기를 부여했다; 정규 세미그룹을 정의하는 속성과의 형태상 유사성 때문에, 그들은 이 다양성을 정규 *세미그룹으로 명명했다.

x*가 x의 역행으로 밝혀지기 때문에 정규 *-세미그룹도 정규 세미그룹임을 규명하는 것은 간단한 계산이다.예제 7의 직사각형 밴드는 역세미그룹이 아닌 일반 *-세미그룹이다.^[6]또한 정규 *-세미그룹에서 어떤 두 가지 투영의 제품이 공증물질인지 쉽게 확인할 수 있다.^[14]앞서 언급한 직사각형 대역 예에서 투영은 형태(x, x)의 요소이며 [대역의 모든 요소와 유사]는 공차(idempotent)이다.단, 이 대역에서 두 개의 다른 투영법은 통근할 필요가 없으며, (a, a)(b, b) = (a, b)이기 때문에 그들의 제품이 반드시 투영되는 것도 아니다.

x** = x = xx*x(그러나 반드시 *과 곱셈의 반분산성은 아님)만을 만족시키는 세미그룹도 I-세미그룹이라는 이름으로 연구되어 왔다.

P-시스템s

정규 세미그룹이 정규 *-세미그룹일 때 특성화하는 문제(Nordahl & Scheiblich의 의미)는 M이 해결했다.야마다(1982년).그는 P-system F(S)를 E(S)가 평소와 같이 나타내는 S의 공차 부분 집합으로 정의했다.a의 역에 대해 통상적인 표기법 V(a)를 사용하면 F(S)는 다음과 같은 공리를 만족시킬 필요가 있다.

모든 a in S에 대해, aa°와 a°a가 F(S)에 있는 것과 같은 고유한 a°가 V(a)에 존재한다.
a in S와 b in F(S)에 대해 a°ba는 F(S)에 있고, 여기서 °는 이전 공리에서 잘 정의된 연산이다.
임의의 a, b in F(S)에 대해, ab은 E(S)에 있다; 참고: 반드시 F(S)에 있는 것은 아니다.

정규 세미그룹 S는 p-system F(S)가 있는 경우에만 Nordahl & Scheiblich가 정의한 *정규 세미그룹이다.이 경우 F(S)는 F(S)로 정의한 운전 °에 대한 S의 투영 세트다.역세미그룹에서, 일광분광물의 전체 반감은 p-system이다.또한 정규 세미그룹 S가 승법적으로 닫힌 p-시스템(즉, 서브그룹)을 가지고 있다면 S는 역세미그룹이다.따라서 p-system은 역 semigroup의 idempatents의 semilattice를 일반화한 것으로 간주할 수 있다.

*정규 세미그룹(드라진)

비자발적인 Semgroup S는 (Drazin의 의미로는) *정규적인 Semgroup이라고 불린다. 만약 S의 모든 x에 대해 x*가 x의 어떤 역에 해당하는 경우, 여기서 H는 Green의 관계 H이다.이 정의 속성은 몇 가지 동등한 방법으로 공식화될 수 있다.또 하나는 모든 L급이 투영법을 포함하고 있다는 것이다.자명적 정의는 S의 모든 x에 대해 xxx′ = xxx, xxx = x, (xxx)* = xx′, (xxx)* = xxx와 같은 원소가 존재한다는 조건이다.마이클 P. 드라진은 먼저 주어진 x, 이러한 공리를 만족시키는 원소 x′이 독특하다는 것을 증명했다.그것은 x의 역순으로 무어-펜로즈라고 불린다.이것은 정사각형 행렬의 무어-펜로스 역행렬의 고전적 정의와 일치한다.

$\mathbb {R}$ 세미그룹을 연구하는 한 가지 동기는 R ${\$ 및 $\mathbb {C}$ ${\$ 에서 $\mathbb {C}$ Moore-Penrose inverse의 속성을 일반 집합으로 일반화하도록 $\mathbb {C}$ 허용하기 때문이다.

순서 n의 제곱 행렬의 복수 세미그룹 M_n(C)에서 행렬 A를 은둔자 결합 A*에 할당하는 지도는 비자발적이다.세미그룹 M(C_n)은 이러한 비자발성을 가진 *정규적인 세미그룹이다.이 *정규적인 세미그룹에서 A의 무어-펜로스 역은 A의 고전적인 무어-펜로스 역이다.

비자발적 자유세미그룹

모든 품종과 마찬가지로 비자발적인 세미그룹의 범주는 자유로운 물체를 허용한다.비자발적인 자유 세미그룹(또는 모노이드)의 구성은 자유 세미그룹(각각 자유 모노이드)의 구성에 기초한다.더구나 자유집단의 건설은 비자발적인 자유단조 건설을 정제함으로써 쉽게 파생될 수 있다.^[15]

비자발성을 가진 자유 세미그룹 생성자는 생체적 대응에서 두 (등분) 분리 집합의 조합의 요소들이다. $Y=X\sqcup X^{\dagger }$ = $Y=X\sqcup X^{\dagger }$ $Y=X\sqcup X^{\dagger }$ $Y=X\sqcup X^{\dagger }$ $Y=X\sqcup X^{\dagger }$ ${\$ X $^{\\dager$ $Y=X\sqcup X^{\dagger }$ (여기 표기법 $\sqcup \,$ ${\$ 은 결합이 사실상 분열된 결합임을 강조했다 $\sqcup \,$ .)이 두 집합이 유한한 경우, 이들의 조합 Y는 때때로 비자발^[16] 알파벳 또는 대칭 알파벳이라고 불린다.^[17] $\theta :X\rightarrow X^{\dagger }$ : $\theta :X\rightarrow X^{\dagger }$ → X $\theta :X\rightarrow X^{\dagger }$ ${\$ {\displaystyle $\$ $theta :X\rightarrow$ X^{\ $daugger}}}}}}$ 는 $\theta :X\rightarrow X^{\dagger }$ 자연스럽게 $\theta$ 바이어싱 ${}\dagger :Y\to Y$ : Y ${}\dagger :Y\to Y$ → ${}\dagger :Y\to Y$ Y ${\displaystyle {}\$ $\theta$ $\to Y}$ 본질적으로 ${}\dagger :Y\to Y$ } ${\displaystyle \theta }($ 세트)의 결합을 역행 또는 단편적 표기법으로 취함으로써:^[18]

y^{\dager }={\begin{case}\theta(y)&{\text{}}}}*y\in X\\\\\\text(y) ^{-1(y)&{}}}}}

$Y^{+}\,$ Y $Y^{+}\,$ + $displaystyle$ Y $^{+}\,}$ 을(를) $Y\,$ {\ $displaystyle Y\}$ 에 자유 $Y\,$ 세미그룹으로 $Y^{+}\,$ 구성하고 $Y^{+}\,$ Y + $Y^{+}\,$ {\ $displaystyle$ Y $^{+}\,}$ 은 $Y^{+}\,$ (는) 연결:

w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}

=

w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}

1

w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}

w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}

w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}

w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}

w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}

w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}

+

{\

일부

w_{i}\in Y.

의 경우

w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}

,

w_{i}\in Y.

w_{i}\in Y.

{\displaysty

w_

{i}\in Y.}

$Y$ 다음 Y $Y$ 의 $\dagger$ 바이어싱 $\dagger$ $\daugger$ 을(를) 바이어싱 ${}^{\dagger }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}$ : ${}^{\dagger }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}$ + → ${}^{\dagger }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}$ + ${}^{\dagger }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}$ {\ $displaystyle {}^{\daug }:$ $Y^{+}\오른쪽$ 화살표 $Y^{+}}$ 은 $Y^{+}\,$ 는) 두 개 $Y^{+}\,$ 의 $Y^{+}\,$ 문자로 $Y^{+}\,$ 구성된 Y + {\ $displaystyle$ Y $^{+}\}$ 의 요소의 문자열 반전이라고 정의된다 ${}^{\dagger }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}$ .^[16]^[18]

w^{\property w^{}\put }w_{k-1}^{\puts w_{2}^{\patch }{{1}^{1}}}

퇴축과 반군 Y에 이 지도는 퇴축은 지도 †{\displaystyle{}^{\dagger}\,+{\displaystyle Y^{+}\,}. 그러므로 반군(X⊔ X†)+{\displaystyle(X\sqcup X^{\dagger})^{+}}}은 반군, X.[19]에 conc의(무관한 퇴축과 자유로운 반군이다.망상 조직이 용어의 $X^{\dagger }$ 에서 $\theta$ X $†{\$ 의 $X^{\dagger }$ ID와 편향 $\theta$ $\theta$ 은(는) 시공의 보편적 속성에 대해 아래에 설명되어 있다.)사례 6에서와 달리 모든 글자의 비자발성은 비자발성이 있는 알파벳에서 구별되는 요소로서, 결과적으로 동일한 관찰이 비자발성이 있는 자유 세미그룹으로 확장된다는 점에 유의한다.

If in the above construction instead of $Y^{+}\,$ we use the free monoid $Y^{*}=Y^{+}\cup \{\varepsilon \}$ , which is just the free semigroup extended with the empty word $\varepsilon \,$ (which is the identity element of the monoid $Y^{*}\,$ $Y^{*}\,$ $\varepsilon ^{\dagger }=\varepsilon$ $displaystyle Y^{*}\,}$ }) $Y^{*}\,$ $\varepsilon ^{\dagger }=\varepsilon$ = $\varepsilon ^{\dagger }=\varepsilon$ = $\displaystyle \varepsilon ^{\dager }=\varepsilon }}}$ 을(를) 사용하여 비자발성을 적절히 확장하면 비자발성이 있는 자유 모노이드(monoid)를 얻을 수 있다 $\varepsilon ^{\dagger }=\varepsilon$ ^[18]

The construction above is actually the only way to extend a given map $\theta \,$ from $X\,$ to $X^{\dagger }\,$ , to an involution on $Y^{+}\,$ (and likewise on $Y^{*}\,$ ).이러한 시공에 대한 한정자 "자유"는 일반적인 시공이라는 일반적인 의미에서 정당화된다.In the case of the free semigroup with involution, given an arbitrary semigroup with involution $S\,$ and a map $\Phi :X\rightarrow S$ , then a semigroup homomorphism ${\overline {\Phi }}:(X\sqcup X^{\dagger })^{+}\rightarrow S$ existssuch that $\Phi =\iota \circ {\overline {\Phi }}$ , where $\iota :X\rightarrow (X\sqcup X^{\dagger })^{+}$ is the inclusion map and composition of functions is taken in diagram order.^[19] $(X\sqcup X^{\dagger })^{+}$ $(X\sqcup X^{\dagger })^{+}$ $(X\sqcup X^{\dagger })^{+}$ $(X\sqcup X^{\dagger })^{+}$ ) $(X\sqcup X^{\dagger })^{+}$ + ${\$ X $^{\dager }}}^{+})$ 을 비자발적인 세미그룹으로 구성하는 $(X\sqcup X^{\dagger })^{+}$ 것은 이소모르피즘에 버금가는 독특한 것이다.단조 동형체라는 관점에서 비본질적인 자유단조체 및 $(X\sqcup X^{\dagger })^{*}$ ( $(X\sqcup X^{\dagger })^{*}$ $(X\sqcup X^{\dagger })^{*}$ $(X\sqcup X^{\dagger })^{*}$ ) $∗{\$ 의 구성까지의 이소형체(Isomorphism)까지를 $(X\sqcup X^{\dagger })^{*}$ 비본체적인 모노이드에 대한 유사한 주장이 있다.

자유 집단의 건설은 비자발적인 자유 모노이드의 건설과 그리 멀지 않다.x $xx^{\dagger }$ x $xx^{\dagger }$ x x $^{\dager }$ $x^{\dagger }x$ x $×$ {\ $displaystyle$ xx $^{\dager$ }x $}$ 형식의 인접한 문자 쌍을 삭제하여 이러한 단어를 단순히 생성하기 위한 축소 단어 개념과 재작성 규칙을 정의하는 것이 필요한 추가 성분이다 $x^{\dagger }x$ 이러한 쌍을 다시 쓰는 순서(삭제)보다 더 잘 보일 수 있다. 즉, 삭제 순서는 같은 결과를 낳는다.^[15] (다른 방법으로 말하면, 이 규칙은 합체 재쓰기 시스템을 정의한다.)Equivalently, a free group is constructed from a free monoid with involution by taking the quotient of the latter by the congruence $\{(yy^{\dagger },\varepsilon ):y\in Y\}$ , which is sometimes called the Dyck congruence—in a certain sense it generalizes Dyck language to multiple kinds of "parentHeses" 그러나 Dyck concluence에서의 단순화는 질서에 상관없이 일어난다.For example, if ")" is the inverse of "(", then $()=)(=\varepsilon$ ; the one-sided congruence that appears in the Dyck language proper $\{(xx^{\dagger },\varepsilon ):x\in X\}$ , which instantiates only to $()=\varepsilon$ is (per헷갈리도록) 샤미르 합성을 불렀다.퇴축과 함께 샤미르 일치에 의한 자유로운 monoid의 몫은 짓이 아니지만,monoid. 그것이 첫번째discoverer—Eli Shamir—although에 의해 자유 반 그룹으로 불려 왔다 더 최근에라고 부르고 있는involutive monoid 발생하 Xinvolutive"의 사용이 있는 용어의 갈등[17][20](이 후자의 선택이다."의도하지 않은 세미그룹을 나타낸다. 문헌에서도 접하는 관행)^[21]^[22]

Baer *-세미그룹

Baer *-semigroup은 모든 원소의 우측 섬멸기가 일부 투영의 올바른 이상과 일치하는 (양면) 0을 가진 *-그룹이다. 이 속성은 공식적으로 다음과 같이 표현된다: 모든 x s S에 대하여 다음과 같은 투영 e가 존재한다.

{ y ∈ S xy = 0 } = eS.^[22]

투영 e는 사실 x에 의해 독특하게 결정된다.^[22]

보다 최근에는 Baer *세미그룹도 깊이 있게 연구한 David James Foulis의 이름을 따서 Foulis semigroups로 불리고 있다.^[23]^[24]

예제 및 응용 프로그램

한 세트의 모든 이진 관계 집합(예 5)은 Baer *-semigroup이다.^[25]

특히 Baer *-sem그룹들은 양자역학에서, 특히 Baer *-ring의 승수적 의미그룹으로서도 접하게 된다.^[22]

H가 Hilbert 공간인 경우, H에 있는 모든 경계 연산자의 복수 세미그룹은 Baer *-세미그룹이다.이 경우 비자발성은 조작자를 그 조정자에 매핑한다.^[25]

Baer *-세미그룹(^[23]Baer *-semigroups)은 정형 격자(Octomodular lattles)의 코디

참고 항목

단도 범주(비실수의 범주라고 함) — 개념을 일반화
*-영문
세미그룹의 특수계급

메모들

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