폰 노이만 정규 반지

수학에서 폰 노이만 정규반지는 링 R(연관적, 1, 반드시 일치하지는 않음)으로, 모든 원소 A에 대해 a = axa와 함께 R에 x가 존재하게 된다. 어떤 사람은 x를 원소 a의 "약한 역"으로 생각할 수 있다. 일반적으로 x는 a에 의해 고유하게 결정되지 않는다. 폰 노이만 일반 링은 절대 평면 링이라고도 불리는데, 이 링들은 모든 좌측 R-모듈이 평평하다는 것이 특징이기 때문이다.

폰 노이만 정규반지는 폰 노이만 알헤브라와 연속 기하학을 연구하는 과정에서 폰 노이만(1936년)에 의해 "정규반지"라는 이름으로 소개되었다. 폰 노이만 정규반지는 서로 무관한 정규반지 및 정류대수의 정규반지와 혼동해서는 안 된다.

a = axa와 같은 x가 존재한다면 반지의 a 원소를 von Neumann 정규 원소라고 부른다.^[1] $이상적$인 $i{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) i ${\$에 a = axa와 같은$$ 요소 x가 있으면 (von Neumann) 정규 이상이라고 한다.^[2]

예

모든 필드(및 모든 스큐 필드)는 폰 노이만 정규 필드: ≠ 0의 경우 x = a를⁻¹ 취할 수 있다.^[1] 필수 영역은 필드인 경우에만 폰 노이만 정규 영역이다. 폰 노이만 정규반지의 모든 직접 생산물은 다시 폰 노이만 정규반지다.

폰 노이만 일반 링의 또 다른 중요한 등급은 일부 필드 K의 항목이 있는 n-by-n 사각형 행렬의 링_n M(K)이다. r이 A ∈ M_n(K)의 순위인 경우 가우스 제거는 다음과 같이 변환 가능한 행렬 U와 V를 제공한다.

${\displaystyle A=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V}$

(여기서 나는_r r-by-r ID 매트릭스다. X = VU를⁻¹⁻¹ 설정하면

${\displaystyle AXA=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}V=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}V=A.}$

보다 일반적으로, 폰 노이만 일반 링 위에 있는 nxn 매트릭스 링은 다시 폰 노이만 정규 링이다.^[1]

만약 V가 필드(또는 스큐 필드) K에 대한 벡터 공간이라면, V가 유한차원이 아니더라도 내형성 고리 End_K(V)는 폰 노이만 정규이다.^[3]

위의 예를 일반화하면, S가 어떤 링이고 M이 S-모듈이라고 가정하면, M의 모든 하위 모듈이 M의 직접적인 합계(그런 모듈 M을 semisimple이라고 한다)라고 한다. 그러면 내형성 고리 End_S(M)는 폰 노이만 단골이다. 특히 모든 반이행 링은 폰 노이만 정규다. 실제로 반이행반지는 정확히 노메트리안 폰 노이만 정규반지다.

유한 폰 노이만 대수학의 소속 운영자의 링은 폰 노이만 정규이다.

부울 링은 모든² 원소가 a = a를 만족하는 링이다. 모든 부울 링은 폰 노이만 단골이다.

사실들

다음 문장은 R 링과 동일하다.

• R은 폰 노이만 정규군이다.
• 모든 주요 왼쪽 이상은 idempotent 요소에 의해 생성된다.
• 모든 미세하게 생성되는 왼쪽 이상은 idempotent에 의해 생성된다.
• 모든 주요 좌측 이상은 좌측 R-모듈 R의 직접 합이다.
• 모든 미세하게 생성된 왼쪽 이상은 왼쪽 R-모듈 R의 직접 합이다.
• 투영 좌측 R-모듈 P의 모든 미세 생성 서브모듈은 P의 직접적인 합계다.
• 모든 좌측 R-모듈은 평평하다. 이것은 R이 절대적으로 평평하거나 R이 약한 치수 0으로 알려져 있다.
• 왼쪽 R-모듈의 모든 짧은 정확한 순서는 완전히 정확하다.

오른쪽 모듈에 대한 대응 문구는 또한 R이 폰 노이만 정규인 것과 동등하다.

모든 폰 노이만 정규반지는 제이콥슨 레디컬 {0}을(를) 가지고 있어 반비례적이다("제이콥슨 반간편"이라고도 한다).

정류 폰 노이만 정규 링에서는 각 원소 x에 대해 xyx=x와 yxy=y와 같은 고유한 원소 y가 있으므로 x의 "약한 역"을 선택하는 표준적인 방법이 있다.

다음 문장은 정류 링 R과 동일하다.

• R은 폰 노이만 정규군이다.
• R에 Krull 치수 0이 있으며 감소됨
• 최대 이상에서 R의 모든 국산화란 하나의 분야다.
• R은 x ∈ R(xyx=x, yxy=y와 같은 고유한 요소 y)의 "약한 inverses"를 취하여 닫힌 필드의 하위 문자열이다.
• R은 V링이다.^[4]

또한, 다음과 같다: 정류 링 A의 경우

• R = A / nil(A)은 폰 노이만 정규다.
• A의 스펙트럼은 하우스도르프(자리스키 위상)이다.
• Spec(A)의 생성 가능한 위상과 Zariski 위상이 일치한다.

일반화 및 전문화

폰 노이만 정규반지의 특별한 종류로는 유닛 정규반지와 강력한 폰 노이만 정규반지와 랭크반지가 있다.

링 R은 단위 정규라 불리는데, 만약 모든 a in R에 a = aua와 같은 단위 u가 있다면 R에는 단위 정규라고 불린다. 모든 반이행 링은 유닛 정규이고 유닛 정규 링은 직접 유한 링이다. 보통의 폰 노이만 정규반지는 직접적으로 유한할 필요는 없다.

링 R은 강하게 폰 노이만이라고 불리는데, 만약 모든 a in R에 a = aax를 가진 x가 R에 있다면 말이다. 그 조건은 좌우 대칭이다. 강력한 폰 노이만 정규 링은 유닛 정규 링이다. 모든 강력한 폰 노이만 일반 링은 디비전 링의 하위 직물 제품이다. 어떤 의미에서는 이것은 필드의 하위직물인 정류 폰 노이만 일반 링의 특성을 보다 가깝게 모방한다. 물론 교감반지의 경우 폰 노이만 정규와 강하게 폰 노이만 정규가 동등하다. 일반적으로 링 R의 경우 다음과 같다.

• R은 강하게 폰 노이만 정규군이다.
• R은 폰 노이만(Von Neumann)의 규칙적이고 축소되었다.
• R은 폰 노이만(Von Neumann) 정규이고 R의 모든 idempotent는 중심이다.
• R의 모든 주요 좌뇌 이상은 중앙 IDempotent에 의해 생성된다.

폰 노이만 정규 링의 일반화에는 π정규 링, 좌우 반계통 링, 좌우 비정규 링, 반림 링 등이 있다.

참고 항목

• 정규 세미그룹
• 약한 역수

메모들

참조

• Kaplansky, Irving (1972), Fields and rings, Chicago lectures in mathematics (Second ed.), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42451-0, Zbl 1001.16500
• L.A. Skornyakov (2001) [1994], "Regular ring (in the sense of von Neumann)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

추가 읽기

• Goodearl, K. R. (1991), von Neumann regular rings (2 ed.), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., pp. xviii+412, ISBN 0-89464-632-X, MR 1150975, Zbl 0749.16001
• von Neumann, John (1936), "On Regular Rings", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 22 (12): 707–712, doi:10.1073/pnas.22.12.707, JFM 62.1103.03, PMC 1076849, PMID 16577757, Zbl 0015.38802
• von Neumann, John (1960), Continuous geometries, Princeton University Press, Zbl 0171.28003