자유 확률

Free probability

자유 확률은 비확률 랜덤 변수를 연구하는 수학 이론이다.「자유성」이나 자유로운 독립성은 고전적인 독립 관념의 아날로그적인 것으로, 자유 상품과 연결된다.이 이론은 연산자 알헤브라스 이론에서 미해결된 중요한 문제인 자유 그룹 요인 이소모르프리즘 문제를 공격하기 위해 1986년경 Dan Voiculescu에 의해 시작되었다.발전기 몇 개에 대해 자유로운 그룹이 주어지면, 우리는 그룹 대수에서 생성된 폰 노이만 대수학을 고려할 수 있는데, 이것은 타입 II1 요인이다.이형성 문제는 다른 수의 발전기에 대한 이형성 여부를 묻는다.어떤 두 개의 자유 그룹 요인이 이형인지조차 알려져 있지 않다.이는 타르스키의 자유그룹 문제와 유사하며, 두 개의 서로 다른 비아벨리안적으로 생성된 자유그룹이 동일한 초등이론을 가지고 있는지를 질문한다.

이후 무작위 행렬 이론, 결합론, 대칭 그룹의 표현, 큰 편차, 양자 정보 이론 및 기타 이론에 대한 연결이 확립되었다.자유 확률은 현재 활발한 연구가 진행 중이다.

전형적으로 랜덤 변수는 C*-알제브라 또는 폰 노이만 대수와 같은 단수 대수 A에 있다.그 대수는noncommutative 기대, 선형 기능 φ:함께 제공된→ C가 φ(1))1.Unital subalgebras A1,..., 나는 있고 말했다. 되기 위해 자유롭게 독립이 기대의 제품 a1...는 0 때마다 각 aj다 옥수수로 기대가 거짓말을 한 Ak, 인접한 aj어 온 것으로부터 같은 subalgebra Ak, n은nonze.ro을 돌봅니다.무작위 변수는 자유롭게 독립적인 유니탈 하위 골격을 생성하는 경우 자유롭게 독립적이다.

자유확률의 목표 중 하나는 폰 노이만 알헤브라의 새로운 불변성을 건설하는 것이었고 자유차원은 그러한 불변성의 합리적인 후보로 간주된다.자유 치수 구축에 사용되는 주요 도구는 자유 엔트로피다.

자유 확률과 무작위 행렬의 관계는 다른 과목에서 자유 확률을 광범위하게 사용하는 주요 이유다.Voiculescu는 1983년경 연산자 대수적 맥락에서 자유도 개념을 도입했다; 처음에는 무작위 행렬과 전혀 관계가 없었다.이러한 연결은 1991년 후반에 Voiculescu에 의해서만 밝혀졌다; 그는 그의 자유 중심 한계 정리에서 발견한 한계 분포가 이전에 위그너의 반원 법칙에서 무작위 행렬 맥락에서 나타났다는 사실에 의욕을 얻었다.

자유적 누적 기능(롤랜드 스피처 소개)[1]이 이론에서 주요한 역할을 한다.고전적 누적 함수가 해당 집합의 모든 파티션의 격자와 관련된 것과 동일한 방식으로 집합 {1, ..., n }의 비교차 파티션의 격자와 관련된다.

참고 항목

참조

인용구

  1. ^ Speicher, Roland (1994), "Multiplicative functions on the lattice of non-crossing partitions and free convolution", Mathematische Annalen, 298 (4): 611–628, doi:10.1007/BF01459754, MR 1268597.

원천

외부 링크