스펙트럼 기하학

스펙트럼 기하학은 다지관의 기하학적 구조와 표준적으로 정의된 미분 연산자의 스펙트럼 사이의 관계를 다루는 수학 분야다. 폐쇄된 리만 다지관에 있는 라플라스-벨트라미 운영자의 경우는 차등 기하학의 다른 라플라스 운영자도 조사했지만 가장 집중적으로 연구되었다. 그 분야는 그 자체로 직접적인 문제와 역문제라는 두 가지 종류의 문제를 다루고 있다.

역문제는 라플라시안의 고유값에 대한 정보로부터 기하학의 특징을 식별하려고 한다. 이런 종류의 가장 초기 결과 중 하나는 1911년 데이비드 힐베르트의 적분 방정식 이론을 사용하여 유클리드 공간에서 경계된 영역의 부피는 라플라스 운영자의 디리클레트 경계 값 문제에 대한 고유값의 점증적 행동으로부터 결정될 수 있다는 것을 보여준 헤르만 베일 때문이었다. 이 질문은 보통 "북의 모양을 들을 수 있는가?"로 표현되는데, 이것은 마크 칵 때문에 유행하는 구절이다. 플레이젤과 미낙시순다람이 획득한 Weyl의 점근성 공식의 정교화는 곡률 텐서의 공변량 차이를 포함하는 일련의 국소 스펙트럼 불변성을 생성하며, 이는 다지관의 특수 등급에 대한 스펙트럼 강성을 확립하는 데 사용할 수 있다. 그러나 존 밀너(John Milnor)가 제시한 예에서 알 수 있듯이, 고유값의 정보는 다지관의 등계 등급을 결정하기에 충분하지 않다(이소스펙트럼 참조). 스나다 도시카즈(Sunada)에 의한 일반적이고 체계적인 방법은 등심다지관의 현상을 명확히 하는 그러한 사례의 진정한 오두막 산업을 낳았다.

직접적인 문제들은 기하학에 대한 지식으로부터 리만 다지관의 고유값의 행동을 유추하려고 시도한다. 직접적인 문제에 대한 해결책은 첫 번째 양의 고유값과 이등변수 상수(Cheger 상수) 사이의 관계를 제공하는 Cheger 불평등에 의해 구체화된다. 치거의 작품(R. Brooks와 P에 의한) 이후 불평등의 많은 버전이 확립되었다. 예를 들어, 버스커).

참고 항목

• 이소스펙트랄
• 드럼의 모양을 듣고 있다.

참조

• Berger, Marcel; Gauduchon, Paul; Mazet, Edmond (1971), Le spectre d'une variété riemannienne, Lecture Notes in Mathematics (in French), vol. 194, Berlin-New York: Springer-Verlag.
• Sunada, Toshikazu (1985), "Riemannian coverings and isospectral manifolds", Ann. of Math., 121 (1): 169–186, doi:10.2307/1971195, JSTOR 1971195.