미분다양체

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미분 다양체(分iable多 (體, )는 수학에서 미분적분학을 적용할 수 있을 정도로 벡터 공간과 국소적으로 유사한 다양체의 한 종류입니다.모든 다양체는 차트(아틀라스) 모음으로 설명할 수 있습니다.각각의 차트가 미적분학의 일반적인 규칙이 적용되는 벡터 공간 내에 있기 때문에 개별 차트 내에서 작업하면서 미적분학의 아이디어를 적용할 수 있습니다.차트가 적합하게 호환되는 경우(즉, 한 차트에서 다른 차트로의 전환은 미분 가능), 한 차트에서 수행된 계산은 다른 미분 가능한 차트에서도 유효합니다.

공식적인 용어로 미분 다양체는 전역적으로 정의된 미분 구조를 가진 위상 다양체입니다.위상다양체는 지도서의 동형 사상과 벡터 공간의 표준 미분 구조를 사용하여 국소적으로 미분 구조가 주어질 수 있습니다.동형 사상에 의해 유도된 국소 좌표계에 전역 미분 구조를 유도하기 위해, 아틀라스의 차트 교차점에 대한 그들의 구성은 해당 벡터 공간에 대한 미분 가능한 함수여야 합니다.즉, 차트의 도메인이 겹치는 경우, 각 차트에 의해 정의된 좌표는 아틀라스의 모든 차트에 의해 정의된 좌표에 대해 미분 가능해야 합니다.다양한 차트에 의해 정의된 좌표를 서로 연관시키는 맵을 전이 맵이라고 합니다.

추상적 공간에서 그러한 국소 미분 구조를 정의할 수 있는 능력은 미분성의 정의를 전역 좌표계가 없는 공간으로 확장할 수 있게 합니다.국소 미분 구조를 사용하면 전역적으로 미분 가능한 접선 공간, 미분 가능한 함수 및 미분 가능한 텐서 및 벡터 필드를 정의할 수 있습니다.

미분가능한 다양체는 물리학에서 매우 중요합니다.특수한 종류의 미분 다양체는 고전역학, 일반 상대성 이론, 양-밀스 이론과 같은 물리 이론의 기초를 형성합니다.미분 가능한 다양체에 대한 미적분을 개발하는 것이 가능합니다.이것은 외부 미적분학과 같은 수학적 기계로 이어집니다.미분 다양체에 대한 미적분학의 연구는 미분기하학으로 알려져 있습니다.

다양체의 "미분성"은 다음과 같은 몇 가지 의미가 주어졌습니다: 연속미분성, k배미분성, 매끄러운(그 자체가 많은 의미를 가지고 있음), 분석적.

역사

미분기하학의 출현은 일반적으로 칼 프리드리히 가우스와 베른하르트 리만에게 기인합니다.리만은 괴팅겐의 ^[1]교수진 앞에서 그의 유명한 재활 강의에서 다양체에 대해 처음으로 설명했습니다.그는 주어진 대상을 새로운 방향으로 변화시키는 직관적인 과정을 통해 다양체의 개념을 동기화하고, 이후의 공식 개발에서 좌표계와 도표의 역할을 예를 들어 설명했습니다.

n차원의 다양성의 개념을 구성하고, 그것의 진정한 성격이 그 안의 위치 결정이 크기 결정 n으로 줄어들 수 있다는 성질로 구성되어 있다는 것을 발견한 후, ... – B. 리만

제임스 클러크 ^[2]맥스웰과 같은 물리학자들과 수학자 그레고리오 리치-커바스트로와 툴리오 레비-시비타의^[3] 업적은 텐서 분석과 공분산의 개념을 발전시켰고, 이는 고유한 기하학적 속성을 좌표 변환에 대해 불변하는 속성으로 식별합니다.이러한 생각들은 알버트 아인슈타인의 일반 상대성 이론과 그것의 근본적인 동등성 원리에서 핵심적인 적용을 발견했습니다.2차원 다양체에 대한 현대적인 정의는 헤르만 바일이 1913년 리만 ^[4]표면에 대한 책에서 제시했습니다.다양체에 대한 아틀라스의 관점에서 널리 받아들여지는 일반적인 정의는 하슬러 ^[5]휘트니에 기인합니다.

정의.

아틀라스

M을 위상공간으로 해주세요.M의 차트(U, φ)는 M의 열린 부분 집합 U와 U에서 일부 유클리드 공간 R의 열린 부분 집합으로의 동형 δ로 구성됩니다.다소 비공식적으로 차트 φ : U → R을 참조할 수 있는데, 이는 φ의 이미지가 R의 열린 부분 집합이고, φ는 이미지에 대한 동형이라는 것을 의미합니다. 일부 저자의 사용에서 이것은 대신 φ : U → R이 그 자체로 동형이라는 것을 의미할 수 있습니다.

차트의 존재는 M에 미분적분학을 할 가능성을 시사합니다. 예를 들어 함수 u : M → R과 M에 대한 차트 (U, φ)가 주어지면 유클리드 공간의 열린 부분집합이 정의역인 실수값 함수인 구성 u ∘를 고려할 수 있습니다. 따라서 만약 미분이 가능하다면,그것의 부분 도함수를 고려해 볼 수 있습니다.

이 상황은 다음과 같은 이유로 충분히 만족스럽지 못합니다.M의 두 번째 차트(V, ψ)를 고려하고 U와 V에 몇 가지 공통점이 있다고 가정합니다.대응하는 두 함수 u ∘ φ 및 u ∘ ψ는 서로 매개 변수화할 수 있다는 점에서 연결됩니다.

우변의 자연 영역은 π(U ∩ V)이다.φ와 ψ는 동형이므로, ψ φ ∘는 φ(U ∩ V)에서 ψ(U ∩ V)까지의 동형임을 알 수 있습니다.결과적으로 이는 쌍연속함수에 불과하므로, 두 함수 u ∘ φ ψ ∘ are ψ functions u different φ ∘ , both if u ∘ their and iable consequ linked proper different ial not to necess will ties ently arily it be , , strongly another one a ' ontψ ∘ φ is는 RHS에 체인 규칙을 적용하는 LHS의 부분 도함수를 계산할 수 있을 정도로 충분히 미분 가능한 것이 보장되지 않기 때문입니다.대신 함수 c : R → M을 고려하면 동일한 문제가 발견됩니다. 하나는 매개 변수화 공식으로 이어집니다.이전과 같은 관찰을 할 수 있는 시점입니다.

이것은 "미분 가능한 지도"의 도입으로 해결됩니다. 이 지도는 전이 지도 ψ ∘ φ φ가 모두 미분 가능한 M 상의 차트 모음을 지정합니다.이것은 상황을 꽤 깨끗하게 만듭니다: 만약 u ∘ φ가 미분 가능하다면, 위에 나열된 첫 번째 매개변수화 공식에 의해, 맵 u ∘ ψ 또한 영역 ψ(U ∩ V)에서 미분 가능합니다.또한, 이 두 지도의 도함수는 연쇄법칙에 의해 서로 연결됩니다.주어진 지도와 관련하여, 이것은 도메인 또는 범위가 M인 미분 가능한 매핑의 개념과 그러한 지도의 도함수의 개념을 용이하게 합니다.

형식적으로, "미분가능"이라는 단어는 다른 저자들에 의해 다른 것을 의미하기 때문에 다소 모호합니다; 때로는 초도함수의 존재, 때로는 연속적인 초도함수의 존재, 때로는 무한히 많은 도함수의 존재를 의미합니다.다음은 "분화 가능한 아틀라스"의 다양한 의미를 공식적으로 정의한 것입니다.일반적으로 "미분가능"은 k≥1인 경우 이 모든 가능성을 포함하는 캐치올 용어로 사용됩니다.

위상 공간 M이 주어지면...
카달로그k	는 차트의 집합입니다.	{fault : U → R}	{Uα}α∈A가 M을 덮고, A의 모든 α와 β에 대하여 전이 지도 δα δ가−1 β	Ck 지도
매끄러운 또는 ∞ 카틀라스		{fault : U → R}		매끄러운 지도
분석가나 ω 지도책		{fault : U → R}		실측 지도
동형 지도서		{margin : U → C}		동형 지도

모든 실제 분석 지도는 매끄럽고, 모든 매끄러운 지도는 어떤 k에 대해서도 C이므로^k, 어떤 분석 지도도 매끄러운 지도로 볼 수 있고, 매끄러운 지도는 모두 C 지도로^k 볼 수 있음을 알 수 있습니다.이 체인은 C의 열린ⁿ 부분 집합 사이의 임의의 동형 지도를 R의 열린²ⁿ 부분 집합 사이의 실제 분석 지도로 볼 수 있다는 것을 이해하면서 동형 아틀라스를 포함하도록 확장될 수 있습니다.

위상 공간에 대한 미분 가능한 아틀라스가 주어지면, 주어진 미분 가능한 아틀라스를 구성하는 차트 집합에 차트를 포함시키는 것이 미분 가능한 아틀라스로 귀결되는 경우, 차트가 아틀라스와 미분 가능하거나 주어진 아틀라스에 대해 미분 가능한 것이라고 말합니다.미분 가능한 아틀라스는 주어진 아틀라스와 미분 가능한 모든 차트로 구성된 최대 미분 가능한 아틀라스를 결정합니다.최대 지도책은 항상 매우 큽니다.예를 들어, 최대 아틀라스의 차트가 주어지면 도메인의 임의의 열린 부분 집합에 대한 제한도 최대 아틀라스에 포함됩니다.최대 매끄러운 아틀라스는 매끄러운 구조로도 알려져 있고, 최대 동형 아틀라스는 복잡한 구조로도 알려져 있습니다.

최대 아틀라스의 직접적인 사용을 피하는 대안적이지만 동등한 정의는 미분 가능한 아틀라스의 동등성 클래스를 고려하는 것입니다. 한 아틀라스의 모든 차트가 다른 아틀라스와 차등 호환되는 경우 두 미분 가능한 아틀라스가 동등한 것으로 간주됩니다.비공식적으로 이것이 의미하는 바는 매끄러운 다양체를 다룰 때, 다른 많은 차트와 미분 가능한 아틀라스가 똑같이 합법적이라는 암묵적인 이해와 함께 단지 몇 개의 차트로 구성된 하나의 미분 가능한 아틀라스를 다룰 수 있다는 것입니다.

영역의 불변성에 따라, 미분 가능한 아틀라스를 갖는 위상 공간의 각 연결된 구성 요소는 잘 정의된 차원 n을 갖습니다.이는 동형 아틀라스의 경우 분석적, 매끄러운 또는^k 아틀라스로 간주될 때 해당 차원이 차원 값의 2분의 1이 되기 때문에 약간의 모호성을 야기합니다.이러한 이유로, 하나는 동형의 아틀라스를 갖는 위상 공간의 "실제"와 "복잡한" 차원을 구분하여 언급합니다.

다양체

미분 가능한 다양체는 하우스도르프와 두 번째 셀 수 있는 위상 공간 M이며, M에 대한 최대 미분 가능한 지도서입니다.기본 이론의 대부분은 하우스도르프와 제2가산성 조건 없이도 발전할 수 있지만, 고급 이론의 대부분에 필수적입니다.이들은 기본적으로 어디에서나 사용되는 범프 함수와 통합 파티션의 일반적인 존재와 동등합니다.

C다양체의⁰ 개념은 위상다양체의 개념과 동일합니다.그러나 눈에 띄는 구별이 있습니다.위상 공간이 주어지면 위상 다양체인지 아닌지를 묻는 것은 의미가 있습니다.반면, 매끄러운 다양체의 개념은 추가적인 구조인 매끄러운 다양체의 명세를 필요로 하기 때문에, 주어진 위상 공간이 (예를 들어) 매끄러운 다양체인지 아닌지를 묻는 것은 의미가 없습니다.그러나 특정 위상 공간은 매끄러운 다양체의 구조를 가질 수 없다고 말하는 것은 의미가 있을 수 있습니다.이러한 종류의 불균형이 존재하지 않도록 정의를 재구성할 수 있습니다. 이 설정에서 매끄러운 아틀라스의 자연스러운 아날로그를 사용하여 M의 위상 공간의 구조를 정의함으로써 (위상 공간 M이 아닌) 집합 M으로 시작할 수 있습니다.

유클리드 조각들을 서로 붙여 다양체를 형성하는 것

위의 정의를 역설계하여 매니폴드 구성에 대한 하나의 관점을 얻을 수 있습니다.이 아이디어는 차트와 전이 지도의 이미지에서 시작하여 순수하게 이 데이터로부터 매니폴드를 구성하는 것입니다.위의 논의와 같이, 우리는 "원활한" 맥락을 사용하지만 모든 것은 다른 설정에서도 마찬가지로 작동합니다.

색인 $집합{\displaystyle }$A가 주어졌을 때$,$ {\$displaystyle$ A$,}$는$$V α {\$displaystyle V_${\alpha$}}$를 ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathbb {R}^{n}$의 열린 부분 집합이라고 하고, $각{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$α에 $대하여{\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$≥ ${\displaystyle A}${\$displaystyle \alpha,$$\n\in$ A$}$를 ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$β {\$displaystyle$ V_${\$$alpha \$$beta$}}의 $열린$(공허) 부분 집합으로 $하고$ $ϕ$ α${\displaystyle {}_{}}$β : ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $→$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\displaystyle \phi$ _${\alpha$\beta $}:$$V_{\alpha \beta}}\to$ V_${\beta \alpha}}$는 매끄러운 맵입니다.ϕ${\displaystyle {}_{}}$$\alpha$ ${\displaystyle \phi _{\alpha \alpha$ \alpha $}}$를 동일성 맵이라 하고,$$ϕ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ∘$β$ \$phi _{\alpha \beta$ \$alpha }\circ \phi _{\beta$\alpha }를 동일성 맵이라 하고, ϕ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ γ${\displaystyle {}_{}}$γ ϕ$$∘ α {\$displaystyle \phi _{\alpha \beta \beta }\circ \phi _{\gamma \alpha }$를 동일성 맵이라 가정하자.그런 다음, ${\displaystyle {}_{}}$∈ ${\displaystyle V_{}}$ α$$β {\$displaystyle p\in V_{\$alpha \beta$$}}를 ϕ α${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ (${\displaystyle p)}$ ∈ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$α와 동일하다고 $선언함$으로써, 분리 결합 ⨆ $\underset{}{\alpha }$ ∈ $A_{}$ $\underset{}{}${\$textstyle \bigsqcup _{\alpha$ \$in$ A$}V_{\alpha$ \$beta$ $}}$에 대한 등가 관계를 정의합니다. ${\displaystyle \phi$ _${\alpha$ \$beta }(p)\in$ V_${\beta \alpha$}}. 기술적인 연구를 통해 등비 집합을 보여줄 수 있습니다.렌즈 수업은 자연스럽게 위상 구조가 주어질 수 있고, 그렇게 하는데 사용된 차트는 매끄러운 지도를 형성합니다.분석 구조(하위 집합)를 함께 패치하는 방법은 분석 변수를 참조하십시오.

미분가능함수

만약 그것이 p 주위에 정의된 좌표 차트에서 미분 가능하다면, n차원 미분 다양체 M에 대한 실제 값 함수 f를 점 p ∈ M에서 미분 가능하다고 합니다.보다 정확하게 말하면, 만약$$(${\displaystyle U,}$ϕ$)$ {\$displaystyle (U,\phi)}$가 p와${\displaystyle }$π를 포함하는 M$${\$displaystyle$ M$}$에서 U$${\$displaystyle$ U$}$가 열린 ${\displaystyle \mathrm{집합}}$인 $미분가능$ 차트라면: ${\displaystyle U^{}}$ → ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \phi :$$U\to${\$mathbf {R}^{n}}$는 차트를 정의하는 지도이며, f는 다음과 같은 경우에만 p에서 미분 가능합니다.

ϕ${\displaystyle }$( ${\displaystyle p)}$ ${\displaystyle \phi(p)}$에서$$미분 가능합니다. 즉, $f$ ∘ - ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle$ f$\circ \phi ^{-1}}$는 열린 ${\displaystyle {집합}^{}}$ ϕ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle U)}$ ${\$$displaystyle$\$phi(U$에서 R ${\displaystyle${$R}^{n$의 $부분$ 집합으로 간주되며 R${\displaystyle \mathbf$ {R$\}$로 미분 가능합니다. 일반적으로 사용 가능한 차트는 많이 있지만, 미분가능성의 정의는 p에서의 차트 선택에 의존하지 않습니다.한 차트와 다른 차트 사이의 전이 함수에 적용된 연쇄 법칙에 따라 f가 p의 특정 차트에서 미분 가능하면 p의 모든 차트에서 미분 가능합니다.C 함수, 평활 함수 및 분석 함수를 정의할 때도 유사한^k 고려 사항이 적용됩니다.

함수분화

미분 가능한 다양체에서 함수의 도함수를 정의하는 데는 다양한 방법이 있으며, 그 중 가장 기본이 되는 것은 방향 도함수입니다.방향 도함수의 정의는 다양체에 벡터를 정의할 수 있는 적절한 아핀 구조가 부족하기 때문에 복잡합니다.따라서 방향 도함수는 벡터 대신 다양체의 곡선을 봅니다.

방향미분

차원 미분 가능 다양체 M에 대한 실제 값 함수 f가 주어지면, M의 한 점 p에서 f의 방향 도함수는 다음과 같이 정의됩니다.θ(t)가 θ(0) = p인 M의 곡선이며, 이 곡선은 임의의 차트와의 구성이 R의 미분 가능 곡선이라는 점에서 미분 가능하다고 가정합니다.그렇다면 θ를 따라 있는 지방의 방향 도함수는

θ와 θ가 θ(0) = θ(0) = p인 두 곡선이고, 임의의 좌표 차트 $\theta$ ${\displaystyle \phi$ $\}$인 경우,

그 다음, 사슬 규칙에 의해, f는 γ를 따라 p에 있는 방향 도함수와 γ를 따라 같은 방향 도함수를 갖습니다.이것은 방향 도함수가 p에 있는 곡선의 접선 벡터에만 의존한다는 것을 의미합니다.따라서 미분 가능한 다양체의 경우에 적응된 방향 미분의 보다 추상적인 정의는 궁극적으로 아핀 공간에서 방향 미분의 직관적인 특징을 포착합니다.

접선 벡터와 미분

p ∈ M의 접선 벡터는 γ(0) = p인 미분 가능한 곡선 γ의 동치 클래스이며, 곡선 사이의 1차 접촉의 동치 관계를 모듈로 합니다.그러므로,

모든 좌표 차트 ϕ ${\displaystyle \phi$ 따라서 동치 클래스는 p에 규정된 속도 벡터를 갖는 곡선 ~ p입니다.p에 있는 모든 접선 벡터의 집합은 벡터 공간을 형성합니다: Mt에 대한 접선 공간, TM_p.

만약 X가 p에서 접벡터이고 p 근처에서 정의된 미분가능한 함수 f라면, X를 정의하는 등비류의 어떤 곡선을 따라 f를 미분하면 X를 따라 잘 정의된 방향 도함수가 됩니다.

다시 한 번, 체인 규칙은 동일한 1차 접촉을 갖는 곡선은 동일한 방향 도함수를 산출하기 때문에 동등성 클래스에서 θ를 선택할 때의 자유와는 무관함을 확립합니다.

함수 f 가 고정되어 있다면, 매핑은

는 접선 공간에 대한 선형 함수입니다.이 선형 함수는 종종 df(p)로 표시되며, different of fat p:라고 불립니다.

접선공간의 정의와 국소좌표에서의 미분

$M$ ${\displaystyle$ M$}$을 $위상$ n ${\displaystyle$ n$}$ - 매끄러운$$아틀라스${\displaystyle }${(${\displaystyle U_{}}$α, ϕ${\displaystyle {}_{}}$α ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ∈${\displaystyle A_{}}$ .$${\$displaystyle \{(U_{\alpha$}),\$phi$_{\alpha$}\}_{\alpha$ \in A$.}$ $주어진$ p ∈ ${\displaystyle M}${\$displaystyle p_in$ M$}$을 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle \mathrm{A\_}}$${p$$}$라고 하면$${α$$∈ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}\}}$를 나타낼 수 있습니다. ${\displaystyle$ \$in$A:p\in U_{\alpha$$}\} A "$p$의 접선 벡터"${\displaystyle \in }$M ${\displaystyle$ p$\in$ M$\}$은(는) $매핑{\displaystyle }$v입니다. ${\displaystyle {Ap}_{}}$${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ v$:$$A_{p}\to \mathbb {R}^{n}}$는 여기서 α $↦$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$,$${\$displaystyle \alpha \maps$ to $v_{\alpha}}$을(를) 나타내므로,

$모든{\displaystyle }$ α${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \beta {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \alpha ,\beta \in$ A_${p}.$$}$p$${\$displaystyle$ p$}$에서 접선 벡터의 집합을 T ${\displaystyle p_{}{}_{}}$으로 표시합니다$.$ {\$displaystyle T_{p}M}$ 매끄러운 $함수$ f${\displaystyle :M}$ $→$ R ${\displaystyle$ f$:$$M\to \mathbb {R$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {fp}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Tp}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $→$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle df_{p}:$접선 $벡터$ v${\displaystyle :}$ ${\displaystyle {Ap}_{}}$ $→$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ v$:$ 를 전송하여 $T_{p}M\to$ \$mathbb {R}:$$A_{p}\to \mathbb {R}^{n}$에서 다음과 같이 주어진 수에 해당함사슬 규칙과 접선 벡터 정의의 제약으로 인해 α$$의 $선택$에 $의존$하지 않는 ${\displaystyle \alpha \$in A_{p}}

${\displaystyle {}_{}}$ M$${\$displaystyle T_{p}M}$은 자연스럽게 ${\displaystyle$ n$}$ 실수 벡터 공간의 구조를 가지며, 이 구조로 ${\displaystyle {df}_{}}$ p$${\$displaystyle df_{p}$가 선형 맵임을 $확인$할 수 있습니다.주요 관찰은 접선 벡터의 정의에 나타나는 제약 조건으로 인해 ${\displaystyle {Ap}_{}}$ ${\$의 $단일{\displaystyle {}_{}}$ $요소{\displaystyle }$β {\$displaystyle$\beta}에 대한 vβ$${\$displaystyle v_{\$beta$}$의 값이 모든 α${\displaystyle }\delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대한 ${\displaystyle {v\alpha }_{}}${\$displaystyle v_{\alpha$$}$를 자동으로 $결정$한다는 것입니다. ${\displaystyle \in$ A$.}$

위의 공식적인 정의는 교과서에 자주 등장하는 더 비공식적인 표기법, 특히

${\displaystyle {}^{vi}}$ $=$${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}{}^{}}$~ ${\displaystyle j^{}{}^{}}$${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}{\mathrm{\partial \; x\; pa}}^{}}$$rtial$ x ~ j$${\$displaystyle$ $^{i$}={\$widetilde {v}}^{j}{\frac {\widetilde {x}^{j}}}},$ ${\displaystyle {df}_{}}$${\displaystyle {\mathrm{p(}}^{}}$${\displaystyle v}$ )${\displaystyle {=}^{}}$∂ ${\displaystyle \frac{f}{}}$ ∂ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ i ${\displaystyle {vi}^{}}$ ${\displaystyle df_{$${\displaystyle p^{}}$$}(v$)={\$frac {\$widetilde {i$}}v^{i}}.$

공식적인 정의의 개념을 이해하면 이 축약 표기법은 대부분의 목적에서 작업하기가 훨씬 쉽습니다.

통일성구분

미분 가능 다양체에서 미분 가능한 함수의 층의 위상학적 특징 중 하나는 그것이 단일성의 분할을 수용한다는 것입니다.이것은 다양체의 미분 구조를 일반적으로 단일 파티션을 갖지 못하는 더 강한 구조(예: 해석적 구조 및 동형 구조)와 구별합니다.

M이 0 ≤ k ≤ ≤ ≤ ∞인 클래스 C의 다양체라고 가정하자. {U}를 M의 열린 덮개라고 하자.그러면 덮개 {U_α}에 종속된 통일성의 분할은 다음 조건을 만족시키는 M 위의 실수 값 C^k 함수 δ의_i 집합입니다.

• φ의 지지대는 콤팩트하고 국부적으로 유한합니다.
• γ의_i 지지체는 일부 α에 대해 U에 완전히_α 포함되어 있습니다.
• M의 각 점에서 1에 대한 π_i 합:
  $${\displaystyle \sum _{i}\phi _{i}(x)=1.}$$

  

(이 마지막 조건은 φ의 지지대의 국소적 유한성 때문에 각 점에서 사실상 유한합입니다.)

C^k 매니폴드 M의 모든 열린 덮개에는 C 파티션이 있습니다^k.이것은 R 위의ⁿ C 함수의 위상에서^k 특정 구성이 미분 가능한 다양체 범주로 이월될 수 있도록 합니다.특히, 특정 좌표 아틀라스에 종속된 통합의 파티션을 선택하고 R의ⁿ 각 차트에서 적분을 수행함으로써 적분을 논의할 수 있습니다. 따라서 통합의 파티션은 다른 종류의 함수 공간을 고려할 수 있습니다: 예를^p 들어 L 공간, 소볼레프 공간,그리고 통합이 필요한 다른 종류의 공간들.

다양체 간 매핑의 미분 가능성

M과 N이 각각 차원 m과 n을 갖는 두 개의 미분 가능한 다양체이고 f가 M에서 N까지의 함수라고 가정합니다.미분 가능한 다양체는 위상 공간이기 때문에, 우리는 f가 연속적이라는 것이 무엇을 의미하는지 알고 있습니다.그런데 k ≥ 1에서 "f는^k C(M, N)"은 무엇을 의미합니까? 우리는 f가 유클리드 공간 사이의 함수일 때 그것이 무엇을 의미하는지 알고 있으므로, 만약 우리가 유클리드 공간에서 M으로 N으로 이동하는 지도를 얻을 수 있도록 M의 도표와 N의 도표로 f를 구성한다면 우리는 그 지도가 C(R^m, Rⁿ)가^k 되는 것이 무엇을 의미하는지 알고 있습니다.우리는 차트가 있는 모든 그러한 구성이 C(R^m, Rⁿ)임을^k 의미하도록 "f는^k C(M, N)이다"라고 정의합니다.다시 한 번 체인 규칙은 M과 N의 어떤 그래프를 선택하느냐에 따라 미분 가능성의 개념이 달라지지 않는다는 것을 보장합니다.그러나 도함수 자체를 정의하는 것은 더 미묘합니다.만약 M이나 N이 이미 유클리드 공간이라면, 우리는 그것을 하나로 매핑하는 데 차트가 필요하지 않습니다.

번들

접다발

점의 접선 공간은 해당 점에서 가능한 방향 도함수로 구성되며, 다양체와 동일한 차원 n을 갖습니다.점에 국소적인 (비)좌표 x의 집합에 대하여, 좌표${\displaystyle {도함수}_{}}$ ∂ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ =$$∂ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ k {\$displaystyle \tangle$ _${k$}={\$frac${\$tangle}{\tangle x_{k}}}$는 접공간의 홀로노믹스 기저를 정의합니다.모든 점에서 접선 공간의 집합은 차원이 2n인 접선 다발인 다양체로 만들어질 수 있습니다.접선 다발은 접선 벡터가 있는 곳이며, 그 자체로 미분 가능한 다양체입니다.라그랑지안은 접다발 위의 함수입니다.접선 다발을 R(실선)에서 M까지의 1-제트 다발로 정의할 수도 있습니다.

U × R에ⁿ 기초한_α 차트로 구성된 접다발에 대한 지도를 작성할 수 있으며, 여기서_α U는 M에 대한 지도표 중 하나를 나타냅니다.이러한 새 관리도 각각은 관리도_α U에 대한 접다발입니다.이 지도의 전이 지도는 원래 다양체의 전이 지도로부터 정의되며 원래의 미분 가능성 등급을 유지합니다.

코탄젠트 다발

벡터 공간의 이중 공간은 벡터 공간 위의 실제 값을 갖는 선형 함수들의 집합입니다.한 점의 코탄젠트 공간은 그 점의 접선 공간의 이중이며 요소를 코탄젠트 벡터라고 합니다. 코탄젠트 번들은 자연 미분 가능한 다양체 구조와 함께 모든 코탄젠트 벡터의 집합입니다.

접다발과 마찬가지로, 공접다발은 다시 미분가능한 다양체입니다.해밀토니안은 코탄젠트 다발의 스칼라입니다.코탄젠트 다발의 전체 공간은 심플렉틱 다양체의 구조를 갖습니다.코탄젠트 벡터는 때때로 코벡터라고 불립니다.또한 코탄젠트 번들을 M에서 R까지의 함수들의 1-제트 묶음으로 정의할 수 있습니다.

공접공간의 요소들은 무한소 변위로 생각될 수 있습니다: f가 미분 가능한 함수라면 우리는 접벡터_p X를 X와 연관된_p 도함수 f로 보내는 각 점에서 공접벡터_p df를 정의할 수 있습니다.그러나 모든 코벡터 필드가 이런 식으로 표현되는 것은 아닙니다.정확한 차이라고 할 수 있는 것들이 있습니다.주어진 국소 좌표^k x 집합에 대하여 미분^k
_p dx는 p에서 공접점 공간의 기저를 형성합니다.

텐서 다발

텐서 묶음은 접다발과 공접다발의 모든 텐서 곱의 직접적인 합입니다.번들의 각 요소는 텐서 필드이며, 벡터 필드 또는 다른 텐서 필드에서 다중 선형 연산자로 작용할 수 있습니다.

텐서 다발은 무한 차원이기 때문에 전통적인 의미에서 미분 가능한 다양체가 아닙니다.그러나 그것은 스칼라 함수의 고리 위의 대수입니다.각 텐서는 접선 및 공접선 인자의 수를 나타내는 순위로 특징지어집니다.때때로 이러한 순위를 공변 및 반변 순위라고 하며, 접선 및 공변 순위를 각각 나타냅니다.

골조묶음

프레임(또는 보다 정확하게 말하면 접선 프레임)은 특정 접선 공간의 순서 기반입니다.마찬가지로, 접선 프레임은 이 접선 공간에 대한 R의 선형ⁿ 동형입니다.이동 탄젠트 프레임은 도메인의 모든 점에서 기저를 제공하는 벡터 필드의 순서대로 나열된 목록입니다.또한 이동 프레임을 프레임 번들 F(M)의 일부로 간주할 수도 있습니다. 즉, M 위의 모든 프레임의 집합으로 구성된 GL(n, R) 주 번들입니다.프레임 번들은 M의 텐서 필드가 F(M)의 등변 벡터 값 함수로 간주될 수 있기 때문에 유용합니다.

제트 번들

충분히 매끄러운 매니폴드에서는 다양한 종류의 제트 번들도 고려할 수 있습니다.다양체의 (1차) 접다발은 다양체 모듈로에서 1차 접촉의 등가 관계에 있는 곡선들의 집합입니다.유추해 보면, k차 접다발은 k차 접선의 관계에 대한 곡선 모듈로의 집합입니다.마찬가지로, 코탄젠트 번들은 다양체에 있는 1-제트 함수의 번들입니다. k-제트 번들은 k-제트의 번들입니다.제트 번들의 일반적인 아이디어에 대한 이들 및 다른 예들은 다양체에 대한 미분 연산자 연구에서 중요한 역할을 합니다.

프레임의 개념은 고차 제트의 경우에도 일반화됩니다.k차 프레임을 R에서^{n [6]}M까지의 미분 동형의 k-제트로 정의합니다.모든 k번째 순서 프레임의 집합인 F^k(M)는 M 위의 주요^k G 번들이며, 여기서^k G는 k-jet의 그룹입니다. 즉 원점을 고정하는 R의ⁿ 미분 동형의 k-jet으로 구성된 그룹입니다.GL(n, R)은 자연스럽게 G와¹ 동형이며, 모든 G^k, k ≥ 2의 부분군입니다. 특히, F(M)의² 한 절은 M에 대한 연결의 틀 성분을 제공합니다.따라서 몫 다발² F(M) / GL(n, R)은 M 위의 대칭 선형 연결 다발입니다.

다양체의 미적분

다변량 미적분학의 많은 기법들은 또한 미분 가능한 다양체에도 적용됩니다.예를 들어, 미분 가능 함수의 방향 도함수를 다양체와의 접벡터를 따라 정의할 수 있으며, 이것은 함수의 총 도함수인 미분을 일반화하는 수단으로 이어집니다.미적분학의 관점에서, 다양체 위의 함수의 도함수는 적어도 국소적으로 유클리드 공간 위에 정의된 함수의 보통 도함수와 거의 같은 방식으로 동작합니다.예를 들어, 이러한 함수에 대한 암시적 함수 정리와 역함수 정리의 버전이 있습니다.

그러나 벡터 필드(및 일반적으로 텐서 필드)의 미적분에는 중요한 차이가 있습니다.간단히 말해서, 벡터장의 방향 도함수는 잘 정의되어 있지 않거나, 적어도 간단한 방식으로 정의되어 있지 않습니다.벡터장(또는 텐서장)의 도함수에 대한 몇 가지 일반화가 존재하며 유클리드 공간에서 미분의 특정한 형식적 특징을 포착합니다.이들 중 가장 중요한 것은 다음과 같습니다.

• 미분 구조에 의해 고유하게 정의되지만 방향 미분의 일반적인 특징 중 일부를 만족시키지 못하는 Lie 도함수.
• 고유하게 정의되지는 않지만 일반적인 방향 미분의 특징을 보다 완전한 방식으로 일반화하는 아핀 연결입니다.아핀 연결은 고유하지 않기 때문에 매니폴드에 지정해야 하는 추가 데이터입니다.

적분학의 아이디어는 미분 다양체로도 이어집니다.이것들은 자연스럽게 외부 미적분학과 미분 형식의 언어로 표현됩니다.그린의 정리, 발산의 정리, 스토크스의 정리 등 여러 변수의 적분학의 기본 정리들은 외부 도함수와 부분 매니폴드에 대한 적분과 관련된 정리(스토크스의 정리라고도 함)로 일반화됩니다.

함수의 미분적분학

서브 매니폴드의 적합한 개념 및 기타 관련 개념을 공식화하기 위해서는 두 매니폴드 간의 구별 가능한 함수가 필요합니다.만약 f : M → N이 차원 m의 미분 다양체 M에서 차원 n의 또 다른 미분 다양체 N으로 미분 가능한 함수라면, 미분 off는 매핑 df : TM → TN입니다.또한 Tf로 표시되며 접선 맵이라고도 합니다.M의 각 점에서 이는 한 접선 공간에서 다른 접선 공간으로의 선형 변환입니다.

fat의 순위는 이 선형 변환의 순위입니다.

일반적으로 함수의 순위는 점별 속성입니다.그러나 함수가 최대 순위를 갖는 경우, 순위는 점 근처에서 일정하게 유지됩니다.미분 가능한 함수는 "보통" 사르데냐 정리에 의해 주어진 정확한 의미에서 최대 순위를 가집니다.한 점에서 최대 순위의 함수를 몰입과 침수라고 합니다.

• 만약 m ≤ n이고, f : M → N이 p ≥ M이면, f는 p에서의 몰입이라고 합니다.만약 f가 M의 모든 점에서의 몰입이고 그것의 이미지에 대한 동형이라면, f는 임베딩입니다.임베딩은 M이 N의 하위 매니폴드라는 개념을 공식화합니다.일반적으로, 임베딩은 자기 교차 및 다른 종류의 비국소 위상 불규칙성이 없는 몰입입니다.
• 만약 m ≥ n이고, f : M → N이 p ∈ M에서 순위 n을 가지면, f를 p에서 수몰이라고 합니다.암시적 함수 정리는 만약 f가 p에서의 침수라면, M은 국소적으로 N과^m−n R 근처의 곱이라는 것을 말합니다.공식적으로 말하면, N에서 f(p)의 이웃에 좌표 (y₁, ..., y_n)가 존재하고, M에서 p의 이웃에 정의된 m - n 함수₁ x, ..., x는_m−n 다음과 같습니다.
  $${\displaystyle (y_{1}\circ f,\dotsc,y_{n}\circ f,x_{1},\dotsc,x_{m-n})}$$

  
  는 p의 근방에 있는 M의 국소 좌표 체계입니다.잠수는 섬유와 섬유 다발 이론의 기초를 형성합니다.

리 도함수

Sophus Lie의 이름을 딴 Lie 도함수는 다양체 M 위의 텐서장 대수에 대한 도함수입니다.M 위의 모든 Li 도함수들의 벡터 공간은 다음과 같이 정의된 Li 대괄호에 관하여 무한 차원 Li 대수를 형성합니다.

Lie 도함수는 M 위의 흐름(활성 미분 동형)의 무한소 생성기로서 벡터 필드로 표현됩니다.반대로 보면, M의 미분동형의 군은 리 군 이론과 직접적으로 유사한 방법으로 리 도함수의 리 대수 구조를 가지고 있습니다.

외산적분학

외부 미적분은 그래디언트, 발산 및 컬 연산자의 일반화를 가능하게 합니다.

각 점의 미분 형식 묶음은 해당 점의 접선 공간에 있는 모든 완전한 반대칭 다중선 지도로 구성됩니다.이는 자연스럽게 다양체의 차원과 최대로 동일한 n개마다 n개의 형태로 분할됩니다. n개의 형태는 n개의 변수 형태이며, degen의 형태라고도 불립니다.1-형태는 공접점 벡터인 반면 0-형태는 스칼라 함수일 뿐입니다.일반적으로, n-폼은 공접 순위 n과 접선 순위 0을 갖는 텐서입니다.그러나 모든 텐서가 형식이 되는 것은 아닙니다. 형식은 반대칭이어야 하기 때문입니다.

외도함수

외분함수는 매끄러운 $다양체$ M ${\displaystyle$ M$\}$ 위의 모든 매끄러운 미분 형태들의 등급화된 벡터 공간 상의 선형 연산자입니다. 그것은 $보통$ d {\$displaystyle$ d$\}$로 $표시$됩니다. 더 정확하게 말하면, ${\displaystyle \mathrm{만약}}$ $n{\displaystyle }$= dim ⁡ ($)$ {\$displaystyle$ n =$\dim(M$$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ 0$\leq$ k$\leq$ n$$$}$ $연산자{\displaystyle }$d {\$displaystyle$ d$$$}$은${\displaystyle (}$는$)$ $공간{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \Delta {}^{}}$k ($M$$)$ {\displaystyle k}의 \$Omega ^{k$}($M) -$ $formes$ {\$displaystyle$ M$\}{\displaystyle }$의 $공간{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\Delta \mathrm{k}}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$($)$ {\$displaystyle$ \$Omega ^{k+1$}(M$$$)$$${\$displaystyle (k+$$1$)} - formes >n {\$displaystyle$ k>n$}$인 경우 $0$이 아닌 k$${\$dis$}이$$(${\displaystyle 가}$) 없습니다.$playstyle$ k$}$ - M$$ ${\displaystyle$ M$}$의 폼에서 ${\displaystyle$ d$}$ $맵$이 n ${\displaystyle$ n$}$ - $폼$에서 동일하게 0입니다.

예를 들어, 매끄러운 $함수{\displaystyle }$f {\$displaystyle$ f$$$}$의 외부 미분은 다음 공식으로 관련된 $로컬{\displaystyle }$ ${\displaystyle {동프레임\mathrm{}}_{}}$d${\displaystyle }$x ${\displaystyle 1_{}}$${\displaystyle ,}$ $…,$ x n {\$displaystyle$ x_${1},\ldots, x_$${\displaystyle n_{}}$},$$d x n {\$displaystyle dx_{1},\ldots,$ dx_{$n}$에 주어집니다.

외관 차분은 형태의 쐐기 제품에 대한 제품 규칙과 유사하게 다음과 같은 동일성을 만족합니다.

또한 외부 도함수는 $ID$ ${\displaystyle d}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ d$\circ$ d=$0$을(를) 만족합니다.즉, ω ${\displaystyle \omega$}가$$$k$ ${\displaystyle$ k$}$ -form이면 (${\displaystyle k}$+ $2${\$displaystyle ($k + $2)}$ $-form{\displaystyle }$d (${\displaystyle \mathrm{df})}$ ${\displaystyle$ d$(df)}$이(가) 동일하게 사라집니다.d ω = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$ d$\omega$ =$0$}인 형식$$ω {\$displaystyle \omega$$$$}$를 닫힘이라고 하고, 다른 형식$$η {\$displaystyle$ \$omega$= d\eta$$}인 형식 ω ${\$$displaystyle$ \$omega }$를 정확하다고 합니다.$ID$ d ∘ ${\displaystyle d}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$d\$circ$ d=$0}$의 또 다른 공식은 정확한 양식이 닫혔다는 것입니다.이를 통해 $다양체{\displaystyle }$M {\$displaystyle$M}의$$ de Rham 코호몰로지를 정의할 수 있으며, 여기서 $k{\displaystyle }${\$displaystyle$ k$}$ 코호몰로지 그룹은 M$$${\displaystyle$ M$\}$의 닫힌 형태의 몫 그룹입니다.

미분 가능 다양체의 위상

위상다양체와의 관계

M ${\displaystyle$ M$}$이(가) 위상 $n{\displaystyle }${\$displaystyle$ n$}$ - 매니폴드라고$$ $가정$합니다.

임의의 매끄러운$$아틀라스${\displaystyle }${ ( ${\displaystyle {\alpha }_{}}$, ϕ${\displaystyle {}_{}}$α ) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ∈$${\$displaystyle \{(U_{\alpha$}),\$phi$ _${\$alpha$}\}_{\alpha \$in A${\displaystyle \}\}}$에서 다른 매끄러운 다양체 구조를 정의하는 매끄러운 아틀라스를 쉽게 찾을 수 있습니다$.$ {\$displaystyle$ M$;}$ 주어진 아틀라스에 대해 매끄럽지 않은 동형 ${\displaystyle \Delta }$M → ${\displaystyle M}${\$displaystyle \Phi :M\to$ M$}$을 고려하십시오.앤스, 아이덴티티 맵 국부화된 비반전 범프를 수정할 수 있습니다.그런 다음 매끄러운 아틀라스로 쉽게 검증되는 새로운 아틀라스${\displaystyle }\{$ (${\displaystyle {}^{}}$φ - ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle {\alpha }_{}}$), ϕ α ∘${\displaystyle }$φ ${\displaystyle {}_{}}$ α ∈ ${\displaystyle A_{}}${\$displaystyle \{-1}(U_{\alpha$}),\$phi$ _${\alpha$}\$circ \Phi )\}_{\alpha \in$ A$}$를 고려합니다.그러나 새로운 지도의 차트는 α ${\displaystyle {\Delta }_{}\mathrm{\Delta }}$ Δ${\displaystyle }$Δ Δ ${\displaystyle {\Delta }_{}^{}}$ Δ${\displaystyle {}_{}^{}}$Δ Δ Δ $Δ Δ$ Δ Δ$$Δ Δ Δ$Δ Δ Δ$${\displaystyle {}_{}{\Delta }_{}}$$$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$Δ ${\displaystyle {\mathrm{\Delta <img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash phi\; \_\{\backslash alpha\; \}\backslash circ\; \backslash Phi\; \backslash circ\; \backslash phi\; \_\{\backslash beta\; \}^\{-1\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/856a7b6ea24c9637aa695c6087ac5cc80f8970f1"\; style="vertical-align:\; -1.338ex;\; width:12.455ex;\; height:3.676ex;">}}^{}}$ $Δ$Δ ${\displaystyle {\Delta }_{}^{}}$ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ $Δ Δ$ Δ Δ Δ Δ $Δ$Δ Δ $Δ$Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ$Δ$ Δ Δ Δ Δ$$Δ Δ$Δ$ Δ Δ Δ$$$$Δ $\Delta {\displaystyle }$ Δ Δ Δ Δ Δ Δ $Δ$ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ${\displaystyle {}^{}}$Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ${\displaystyle {}_{}^{}}$Δ Δ ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_{}^{}}$ Δ Δ Δ Δ Δ Δ$$Δ Δ Δ Δ Δ$e \alpha }$$$및${\displaystyle }$β$$$,$ ${\displaystyle \beta,}$이며, 이 $조건$은$Δ${\$displaystyle$ \Phi$$$$}${\displaystyle {}^{}}$및 ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^{}}$- 1 {\$displaystyle$ \Phi ^{-$1}$이$($가$$) 선택된 방법과 대조적으로 매끄러운 정의입니다.

이 관찰을 동기로 하여, M {\$displaystyle$ M$}$의 매끄러운$$아틀라스 ${\displaystyle \{(}$$U$${\displaystyle {}_{}}$α, ϕ${\displaystyle {}_{}}$α${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ∈ ${\displaystyle A_{}}${\$displaystyle \{(U_{\alpha$}),\$phi$ _${\alpha$}\}$_{\alpha$ \$in$A}}$$및 ${\displaystyle \{(V_{}}$β, ψ${\displaystyle {}_{}}$β ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$∈ B${(V_${\beta },\$psi$ _${\beta }\}_{\beta$ \in$$B}}가 등식임을 선언함으로써 M$${\$displaystyle$ M}의 매끄러운 아틀라스 공간에 대한 등가 관계를 정의할 수 있습니다.만약 동형 사상이 ${\displaystyle \Delta }$: M → ${\displaystyle \Phi$: M$\to$ M$}$이${\displaystyle \{({}^{}}$ - $1$( ${\displaystyle U_{}}$α${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ α${\displaystyle {}_{}\mathrm{\Delta }{\Delta \Delta }_{}}$ A ${\displaystyle \{\alpha }),$ \$phi$ _${\alpha }\circ \Phi )\}_{\alpha$ \$in$ A$}$가 ${\displaystyle \{(V_{}}$β, ${\displaystyle {\Delta }_{}}$β)${\displaystyle {}_{}}\}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ B${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \{(V_{\beta$}), $\{\beta$}\}$_{\$beta }\}{\$beta$ \$in$ B$}},$ ${\displaystyle \{(\mathrm{\Delta }({}_{}}$) Δ(V) Δ(\beta }) Δ(B) Δ(V) Δ(B)$$Δ(V) Δ(V) Δ(B) Δ(B) Δ(B) Δ(V) Δ(B) Δ(V) Δ(B) Δ(B) Δ(B) Δ(B) Δ(B) Δ(B) Δ(B) Δ(B) Δ(B) Δ(B) Δ(V) Δ) Δ(B) Δ(B) Δ(B) Δ) Δ(B) Δ(B) Δ) Δ(B) Δ(B) Δ(B) Δ(B) Δ${\displaystyle {\beta }_{}{\gamma \beta }_{}}$ δ ${\displaystyle {}_{}{1}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\beta \gamma }_{}}$ B ${\$ _${\beta }\circ \Phi^{-1}\}_{\beta \in$ B$}}$는 ${\displaystyle \{({}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ α${\displaystyle {}_{}{}_{}}$α${\displaystyle {}_{}{\delta }_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$와 원활하게 호환됩니다$.$ {\$displaystyle \{(U_{\alpha },\phi$ _${\alpha }\}_{\alpha \in A}.$$}$

간단히 말하면, 도메인에 대해 하나의 매끄러운 아틀라스를 취하고 범위에 대해 다른 하나의 매끄러운 아틀라스를 취하는 차분 동형 $M$ → ${\displaystyle M,}${\$displaystyle$ M$\to$ M$,}$이 존재한다면 두 매끄러운 아틀라스가 동일하다고 말할 수 있습니다.

이 등비 관계는 매끄러운 다양체 구조를 정의하는 등비 관계를 개선한 것으로, 현재의 의미에서 매끄럽게 호환되는 두 개의 아틀라스도 호환됩니다. $즉{\displaystyle \mathrm{}}$,$Δ{\$displaystyle \$Phi }$을(를) 동일성 맵으로 사용할 수 있습니다.

M ${\displaystyle$ M$}$의 차원이 1, 2 또는 3이면 M ${\displaystyle$ M$\}$에 매끄러운 구조가 존재하며, 모든 다른 매끄러운 구조는 위의 의미에서 동등합니다.상황은 더 높은 차원에서 더 복잡하지만, 완전히 이해되지는 않습니다.

• Kervair(1960)의 10차원 예제에서 처음 보여주었듯이, 위상다양체는 매끄러운 구조를 인정하지 않습니다.사이먼 도널드슨이 마이클 프리드먼의 결과와 결합하여 미분기하학에서 편미분 방정식의 주요 적용은 많은 단순하게 연결된 콤팩트 위상 4-매니폴드가 매끄러운 구조를 인정하지 않는다는 것을 보여줍니다.잘 알려진 특별한 예로는 E 매니폴드가₈ 있습니다.
• 일부 위상 다양체는 위에서 주어진 의미에서 동등하지 않은 많은 매끄러운 구조를 허용합니다.이것은 원래 존 밀너에 의해 이국적인 7구의 ^[7]형태로 발견되었습니다.

분류

1차원 연결된 매끄러운 다양체는 각각 표준 매끄러운 구조를 가진 R$${\$displaystyle \mathbb {R}}$ $또는$ S ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$ S$^{1}$과($와{\displaystyle \mathbb{}}$) 동형입니다.

매끄러운 2-매니폴드의 분류에 대해서는 표면을 참조하십시오.특정한 결과는 ${\displaystyle {모든}^{}}$ 2차원 연결된 컴팩트 스무드 매니폴드가 $S{\displaystyle {}^{}}$2$,$ {\$displaystyle S$^{2$\},$ 또는 (${\displaystyle {}^{}{}^{}}$1 × ${\displaystyle S^{}}$1 ) ♯ ⋯ ♯${\displaystyle }$♯ ⋯ ♯ ♯ s ( S ${\displaystyle 1^{}}$× ${\displaystyle S^{}}$1 ${\displaystyle ),}${\$displaystyle (S^{1}\times$ S$^{1})\sharp \cdots \sharp (S^{1}\times$ S$^{1}),$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ♯ ♯ ⋯${\displaystyle {}^{}}$ P 2 중 하나와 동형입니다.${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\sharp \cdots \sharp \mathbb {RP} ^{2}}$$$ 매끄러운 구조 대신 복잡한 미분 가능한 구조를 고려한다면 상황은 더 사소합니다.

3차원의 상황은 좀 더 복잡하며 알려진 결과는 더 간접적입니다.2002년 편미분 방정식의 방법으로 증명된 주목할 만한 결과는 임의의 콤팩트 매끄러운 3-매니폴드가 다양한 부분으로 분할될 수 있다는 것을 느슨하게 진술하는 기하학화 추측입니다. 각 부분은 많은 대칭을 가진 리만 메트릭을 인정합니다.기하학적 3-매니폴드에 대한 다양한 "인식 결과"도 있습니다. Mostow rigidity와 쌍곡군에 ^[8]대한 동형화 문제에 대한 Sela의 알고리즘입니다.

n이 3보다 큰 n-매니폴드의 분류는 호모토피 등가까지 불가능한 것으로 알려져 있습니다.어떤 유한하게 제시된 그룹이 주어지면, 그 그룹을 기본 그룹으로 하는 닫힌 4-매니폴드를 구성할 수 있습니다.유한하게 제시된 그룹에 대한 동형 문제를 결정하는 알고리즘이 없기 때문에, 두 개의 4-매니폴드가 동일한 기본 그룹을 갖는지 결정하는 알고리즘이 없습니다.앞에서 설명한 구성은 그룹이 동형인 경우에만 동형인 4-매니폴드의 클래스를 생성하기 때문에 4-매니폴드의 동형 문제는 결정할 수 없습니다.또한 사소한 그룹을 인식하는 것조차 결정할 수 없기 때문에, 일반적으로 다양체가 사소한 기본 그룹을 갖는지, 즉 단순히 연결되어 있는지 여부를 결정하는 것은 가능하지 않습니다.

단순히 연결된 4개의 매니폴드는 교차 형태와 커비-시벤만 불변성을 사용하여 프리드먼에 의해 동형으로 분류되었습니다.매끄러운 4-매니폴드 이론은 R에 있는⁴ 이국적인 매끄러운 구조가 보여주듯이 훨씬 더 복잡한 것으로 알려져 있습니다.

그러나 h-코ordis 정리를 사용하여 호모토피 등가까지의 분류로 분류를 줄이고 수술 이론을 ^[9]적용할 수 있는 단순히 연결된 차원 δ 5의 매끄러운 다양체에 대해 상황이 더 다루기 쉬워집니다.이것은 Dennis Barden에 의해 단순히 연결된 5개의 매니폴드에 대한 명확한 분류를 제공하기 위해 수행되었습니다.

매끄러운 다양체의 구조물

(가제-) 리만 다양체

리만 다양체는 매끄러운 다양체와 각 개별 접선 공간의 양의 정의 내부 산물로 구성됩니다.이러한 내부 곱의 집합을 리만 메트릭이라고 하며, 자연스럽게 대칭 2 텐서 필드입니다.이 "metric"은 $각$ p ∈${\displaystyle M}$에 대한 자연 벡터 공간 $동형$ T ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ → ${\displaystyle T_{}^{}}$ p ∗ ${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle T_{p}M\to$ T_${p}^{\ast }M$을 식별합니다. ${\displaystyle$ p$\in$ M$.}$ 리만 다양체에서는 길이, 부피, 각도의 개념을 정의할 수 있습니다.매끄러운 다양체라면 다양한 리만 메트릭이 주어질 수 있습니다.

의사 리만 다양체(pseudo-Riemannian manifold)는 리만 다양체의 개념을 일반화한 것으로, 내부 생성물이 양의 정의가 아닌 부정한 서명을 가질 수 있도록 허용됩니다. 여전히 비퇴행이 요구됩니다.매끄러운 의사 리만 및 리만 다양체는 리만 곡률 텐서와 같은 많은 관련 텐서 필드를 정의합니다.기호(3, 1)의 의사-리만 다양체는 일반 상대성 이론에서 기본입니다.모든 매끄러운 다양체가 (비리만) 의사-리만 구조를 가질 수 있는 것은 아닙니다. 그렇게 하는 것에는 위상학적 제한이 있습니다.

의사 리만 다양체에 대한 용어는 저자에 따라 다르며, 로렌츠나 반 리만과 같은 대체 용어를 제외하기 위해 근시안적인 경우 이 주제에 대한 문헌의 많은 부분을 놓칠 수 있습니다.

핀슬러 다양체는 리만 다양체의 다른 일반화로, 내부 곱이 벡터 노름으로 대체됩니다. 따라서 길이는 정의할 수 있지만 각도는 정의할 수 없습니다.

심플렉틱 다양체

심플렉틱 매니폴드는 닫힌 비퇴화 2-폼이 장착된 매니폴드입니다.이 조건은 스큐 대칭 $({\displaystyle \mathrm{2n}}$+ ${\displaystyle 1)}$× (${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 1)}${\$displaystyle (2n$+ $1)\time$ ($2n$+$1)}$ 행렬이$$ 모두 영결정 인자를 갖기 때문에 심플렉틱 다양체가 짝수차원이 되도록 합니다.두 가지 기본적인 예가 있습니다.

• 해밀턴 역학에서 위상 공간으로 발생하는 코탄젠트 묶음은 자연적인 심플렉틱 형태를 인정하기 때문에 동기를 부여하는 예입니다.
• 모든 방향의 2차원 리만 다양체$$(${\displaystyle M,g}$)$${\$displaystyle$(${\displaystyle M}$$,g)}$는, 자연스러운 $방식$으로,${\displaystyle }$∈ (u${\displaystyle ,v}$)${\displaystyle }$= g$$(u, J (v)) ${\displaystyle$ \$omega$ ($u$${\displaystyle ,}$$v)$${\displaystyle }$=$g$ ($u,J(v))}$의 형태를 정의함으로써, 심플렉틱하다, 여기서, $임의$의 v ω ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ M에 대하여$,$ {\$displaystyle$ v$\in$ T_${p}M,}$ J (${\displaystyle v}$)$${\$displaystyle$ J$(v)}$는 v${\displaystyle ,J}$ (${\displaystyle v)}${\$displaystyle$}의 $벡터$를 의미합니다.$v,J(v)}$은(는) $방향{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {gp}_{}}${\$displaystyle g_{p}$ ${\displaystyle {-Tp}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$의$$정규 $기저{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle T_{p}}입니다.$$}$

거짓말군

Lie 그룹은 G$${\$displaystyle$ G$}$의 $그룹$ 구조와 함께 C $매니폴드$ G$${\$displaystyle$ G$}$로 구성되며, 곱과 반전 $맵$ m${\displaystyle :G}$ × ${\displaystyle G}$ → ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle$ m$:$$G\times$ G$\to$ G$}$ $및{\displaystyle i}$ : G $→$ ${\displaystyle G}${\$displaystyle$i :$G\toG}$은(는) 다양체의 지도처럼 매끄럽습니다.이러한 물체는 종종 (연속적인) 대칭을 설명할 때 자연스럽게 발생하며, 매끄러운 다양체의 예의 중요한 원천을 형성합니다.

그러나 매끄러운 다양체의 많은 친숙한 예들은 Lie 그룹 구조를 부여할 수 없는데, 이는 $Lie$그룹 G {\$displaystyle$ G$}$와 ${\displaystyle \mathrm{임의}}$의 $g{\displaystyle }$∈ G {\$displaystyle g\$in$$G}가 주어졌을 때, $지도{\displaystyle }$m ${\displaystyle (g}$, ⋅ )을 고려할 수 있기 때문입니다: ${\displaystyle G}$ → ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle$ m$(g,\cdot$):항등식 $요소$ e$${\$displaystyle$ e$}$를 g$${\$displaystyle$ g$}$로 보내는 G$\to$G}는 $미분$ ${\displaystyle {}_{}}$ G $→$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$를 $고려$하여 {\$displaystyle T_{e}G$\to$T_{g$}G$,}$는 Lie 그룹의 임의의 두 접선 공간 사이의 자연스러운 식별을 $제공$합니다.특히, ${\displaystyle {}_{}}$ G${\displaystyle ,}${\$displaystyle T_{e}G$에서 임의의 0이 아닌 벡터를 고려함으로써, 이러한$$ 식별을 사용하여${\displaystyle }$G.{\$displaystyle$ G$.}$에서 매끄러운 소실되지 않는 벡터 필드를 제공할 수 있습니다$.$ {\$displaystyle$ G.} 이는 예를 들어, 어떤 짝수 차원 구도 Lie 그룹 구조를 지원할 수 없음을 보여줍니다.같은 주장은 일반적으로 모든 거짓말 그룹이 병렬화 가능해야 한다는 것을 보여줍니다.

대체 정의

유사군

의사^[10] 그룹의 개념은 다양한 구조가 균일한 방식으로 다양체에 정의될 수 있도록 아틀라스의 유연한 일반화를 제공합니다.의사군은 위상 공간 S와 S의 열린 부분 집합에서 S의 다른 열린 부분 집합으로 이루어진 집합 Ⅱ로 구성되어 있습니다.

1. 만약 f ∈ γ γ u and is of an ∈ , subset of open the domain if f in also γ then ion f restrict is the γ , f if also in of
2. f가 S,$$∪ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {Ui}_{}}$ ${\displaystyle \cup$ _${i}\,U_{i$의 열린 부분 집합의 합에서 S의 열린 부분 집합으로의 동형이면, f ∈ γ 모든 i에 대해 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{Ui}_{}}_{}}$∈ {\$displaystyle$f _{$U_{i}}\in \Gamma}$를 $제공$합니다.
3. 열린 U ⊂ S마다 U의 항등식 변환은 γ에 있습니다.
4. 만약 f ∈ γ γ ∈ f f then ∈ if γ , ∈ γ if <nat> <nat> <hnr>.
5. Δ의 두 요소의 구성은 Δ에 있습니다.

이 마지막 세 조건은 그룹의 정의와 유사합니다.그러나 함수가 S에서 전역적으로 정의되지 않으므로 Δ가 그룹일 필요는 없습니다.예를 들어, R의 모든ⁿ 국소^k C 미분 동형의 집합은 유사 그룹을 형성합니다.C의 열린ⁿ 집합들 사이의 모든 동형 사상들은 유사군을 형성합니다.더 많은 예로는 R의ⁿ 지도를 보존하는 방향, 심플렉토포름, 뫼비우스 변환, 아핀 변환 등이 있습니다.따라서 다양한 함수 클래스가 의사 그룹을 결정합니다.

전이 함수 ⊂ φ φ ∘ φ : φ (U ∩ U) → φ (U ∩ U) φ (U γ U)가 모두 γ에 있다면 U ets M에서 위상 공간 S의 열린 부분 집합에 대한 동형 사상 from의 아틀라스 (U, ))는 의사 그룹 provided과 호환된다고 합니다.

미분 가능한 다양체는 R에 대한ⁿ C 함수의 의사^k 그룹과 호환되는 아틀라스입니다.복소다양체는 C의 열린ⁿ 집합에서 쌍동형 함수와 호환되는 아틀라스입니다.뭐 이런 거.따라서 의사 그룹은 미분 기하학 및 위상에 중요한 다양체의 많은 구조를 설명하는 단일 프레임워크를 제공합니다.

구조물건

때로는 다양체에 C-구조를^k 부여하는 대체 접근법을 사용하는 것이 유용할 수 있습니다.여기서 k = 1, 2, ..., ∞ 또는 ω의 실수 해석 다양체.좌표 차트를 고려하는 대신 매니폴드 자체에 정의된 함수부터 시작할 수 있습니다.C로 표시되는 M의 구조 쉐프는 각각의 열린 집합 U ⊂ M에 대하여 연속 함수 U → R의 대수 C(U)를 정의하는 일종의 함수입니다. 임의의 p ∈ M에 대하여 지도 f = ( )가 되도록 p 및 n 함수 x, ..., x ∈ C(U)의 이웃 U가 존재한다면 구조 쉐프 C는 M에게 차원 n의 C 다양체의 구조를 제공한다고 합니다.x, ..., x) : U → R은 R의 열린 집합 위의 동형이며, 따라서 C는 R 위의 k번 연속 미분 가능한 함수의 묶음의 풀백입니다.

특히, 이 후자의 조건은 V에 대해 C(V)의 모든 함수 h는 h(x) = H(x(x), ..., x(x)로 고유하게 쓸 수 있음을 의미하며, 여기서 H는 f(V)(R의 열린 집합)에 대한 k배 미분 가능 함수입니다.따라서, 미분 가능한 다양체 상의 함수는 R 상의ⁿ 미분 가능한 함수로 국소 좌표로 표현될 수 있으며, 이는 다양체 상의 미분 구조를 특성화하기에 충분하다는 것이 양론적 관점입니다.

국소환들의

미분 가능한 다양체를 정의하는 유사하지만 더 기술적인 접근법은 고리 공간의 개념을 사용하여 공식화될 수 있습니다.이 접근법은 대수기하학의 체계 이론의 영향을 강하게 받지만, 미분 가능한 함수의 세균의 국소 고리를 사용합니다.그것은 특히 복잡한 다양체의 맥락에서 인기가 있습니다.

먼저 R의ⁿ 기본 구조를 설명하는 것으로 시작합니다.U가 R의ⁿ 열린집합이면,

O(U) = C(U,R)

U에 대한 모든 실수 값 k-times 연속 미분 가능 함수로 구성됩니다. U가 달라지면, 이것은 R에 대한ⁿ 고리 다발을 결정합니다.p ∈ R에 대한 스토크 O는 p 근처의 함수의 세균으로 구성되며, R 위의 대수입니다.특히, 이것은 p에서 사라지는 함수들로 구성된 독특한 최대 이상을 갖는 국소적인 고리입니다.쌍(Rⁿ, O)은 국소 링 공간의 예입니다: 줄기가 각각 국소 링인 지단을 갖춘 위상 공간입니다.

(C급의^k) 미분 가능한 다양체는 M이 두 번째 셀 수 있는 하우스도르프 공간이고, O는_M M에 정의된 국부 R 대수의 묶음으로 구성되어 국부적으로 고리가 있는 공간(M, O_MM)은 국부적으로 (Rⁿ, O)와 동형입니다.이러한 방식으로, 미분 가능한 다양체는 R을 모델로ⁿ 한 체계로 생각할 수 있습니다.이것은 각 점 p ≥ M에 대하여, p의 이웃 U가 존재하고, 함수 쌍 (f, f^#)이 존재한다는 것을 의미하며, 여기서

1. f : U → f(U) ⊂ R은 R의 열린 집합에 대한 동형입니다.
2. f: O → f (O)는 지단의 동형입니다.
3. f^# 의 국소화는 국소환의 동형입니다.

f : O → O.

이 추상적 틀 안에서 미분 가능한 다양체를 연구하는 데 중요한 동기가 많이 있습니다.첫째, 모델 공간이 R일ⁿ 필요가 있다는 선험적인 이유가 없습니다.예를 들어, (특히 대수 기하학에서) 이것을 동형 함수의 집합을 갖춘 복소수ⁿ C의 공간(복소 해석 기하학의 공간에 도달함) 또는 다항식의 집합(복소 대수 기하학의 관심 공간에 도달함)이라고 할 수 있습니다.넓은 의미에서, 이 개념은 계획의 어떤 적합한 개념에도 적용될 수 있습니다(토포스 이론 참조).둘째, 좌표는 더 이상 공사에 명시적으로 필요하지 않습니다.좌표계의 아날로그는 쌍(f, f^#)이지만, 이것들은 논의의 중심이 되는 것이 아니라 국부적인 동형 사상을 정량화하는 것에 불과합니다(차트와 아틀라스의 경우처럼).셋째, O번띠는_M 분명히 기능의 묶음이 아닙니다.오히려, 그것은 (그들의 최대 이상에 의한 지역 링들의 몫들을 통해) 건설의 결과로서 일련의 기능들로 나타납니다.따라서 구조에 대한 보다 원시적인 정의입니다(합성 미분 기하학 참조).

이 접근법의 마지막 장점은 미분 기하학 및 위상에 대한 연구의 많은 기본 객체를 자연스럽게 직접 설명할 수 있다는 것입니다.

• 한 점의 공접점 공간은 I/I이며_pp², 여기서_p I는 스토크_M,p O의 최대 이상입니다.
• 일반적으로, 전체 코탄젠트 번들은 관련 기술에 의해 획득될 수 있습니다(자세한 내용은 코탄젠트 번들 참조).
• 테일러 급수(및 제트)는 O에 대한_M,p I-adic_p 여과를 사용하여 좌표 독립적인 방식으로 접근할 수 있습니다.
• 접다발(또는 더 정확하게는 그 단면의 묶음)은 이중 숫자의 고리 안으로 O의 형태론의_M 묶음으로 식별될 수 있습니다.

일반화

매끄러운 지도를 가진 매끄러운 다양체의 범주는 특정한 바람직한 성질이 부족하고, 사람들은 이를 수정하기 위해 매끄러운 다양체를 일반화하려고 노력해왔습니다.차분 공간에서는 "도면"이라고 하는 다른 개념의 차트를 사용합니다.프롤리커 공간과 오비폴드는 또 다른 시도입니다.

정류 가능 집합은 조각 단위로 매끄럽거나 정류 가능한 곡선의 개념을 더 높은 차원으로 일반화합니다. 그러나 정류 가능 집합은 일반적인 다양체에는 없습니다.

바나흐 다양체와 프레셰 다양체, 특히 매핑의 다양체는 무한 차원 미분 가능 다양체입니다.

비상호기하학

이 섹션은 확장이 필요합니다.추가하면 도움이 됩니다. (2008년 6월)

C^k 다양체 M의 경우, 다양체 위의 실수 값^k C 함수들의 집합은 점별 덧셈과 곱셈 하에서 스칼라 장의 대수 또는 단순히 스칼라의 대수라고 불리는 대수를 형성합니다.이 대수는 상수 함수 1을 곱셈 항등식으로 가지며, 대수기하학에서 정칙함수의 고리의 미분 가능한 유사체입니다.

스칼라 대수로부터 다양체를 재구성하는 것이 가능하며, 처음에는 집합으로, 위상 공간으로도 사용됩니다. 이는 바나흐-스톤 정리를 적용한 것이며, C*대수의 스펙트럼으로 더 공식적으로 알려져 있습니다.첫째, M의 점들과 대수 동형 사상 φ: C(M) → R 사이에 일대일 대응이 있는데, 이러한 동형 사상 φ는 반드시 최대 이상인 C(M)의 코드 차원 1 이상에 대응합니다.반대로, 이 대수의 모든 최대 이상은 단일 점에서 사라지는 함수의 이상이며, 이는 C(M)의^k MSpec(Max Spec)이 M을 점 집합으로 복구하지만, 실제로는 위상 공간으로 복구한다는 것을 보여줍니다.

스칼라의 대수적 측면에서 다양한 기하학적 구조를 대수적으로 정의할 수 있으며, 이러한 정의는 종종 대수적 기하학(고리를 기하학적으로 해석)과 연산자 이론(바나흐 공간을 기하학적으로 해석)으로 일반화됩니다.예를 들어, M에 대한 접다발은 M에 대한 매끄러운 함수의 대수의 파생으로 정의될 수 있습니다.

다양체의 이 "대수화"는 (기하학적 대상을 대수로 대체하는) C*대수의 개념으로 이어집니다. C*대수는 바나흐-스톤에 의해 다양체의 스칼라 고리가 되는 교환형 C*대수의 개념이며, 비교환형 C*대수를 다양체의 비교환 일반화로 간주할 수 있습니다.이것이 비상호기하학 분야의 기초입니다.

참고 항목

참고문헌

서지학