세균(수학)

수학에서, 위상학적 공간에 있는 물체의 세균의 개념은 그 물체와 그들의 공유된 지역 특성을 포착하는 같은 종류의 다른 종류의 균등성 등급이다. 특히 문제의 객체는 대부분 함수(또는 지도)와 하위 집합이다. 이 아이디어의 구체적인 구현에서, 문제의 기능이나 하위 집합은 분석적이거나 매끄러운 것과 같은 일부 속성을 가질 것이지만, 일반적으로 이것은 필요하지 않다(해당 기능들은 연속적일 필요도 없다). 그러나, 그 단어가 정의되기 위해서는 대상이 정의되어 있는 공간은 위상학적 공간이다. 이 지역 사람들은 어느 정도 이해력이 있다.

이름

그 이름은 곡물을 위한 것처럼, 세균이 함수의 "심장"이기 때문에, 곡물 은유의 연속인 곡물 세균에서 유래되었다.

형식 정의

기본정의

Given a point x of a topological space X, and two maps $f,g:X\to Y$ (where Y is any set), then $f$ and $g$ define the same germ at x if there is a neighbourhood U of x such that restricted to U, f and g are equal; meaning that ${\displaystyle$ $f(u)=g(u)$ U에 있는 모든 U에 $대해$ f $(u)=g(u)}$

마찬가지로, 만약 S와 T가 X의 두 하위 집합이라면, 그들은 x의 이웃 U가 다시 존재한다면 x에서 동일한 세균을 정의한다.

S.C.U.T.C.

x에서 동일한 세균을 정의하는 것이 균등 관계(지도나 집합에 있는 것처럼)이며 균등성 계급을 균(지도-게르름 또는 그에 따른 집합게르름)이라고 부르는 것을 쉽게 알 수 있다. 등가관계는 일반적으로 기록된다.

f\sim _{x}g\quad {\text{or}}\quad S\sim _{x}T.

X에 지도 f가 주어지면, X에 있는 그것의 세균은 보통 [f ]_x로 표시된다. 마찬가지로, 세트 S의 x에 있는 세균은 [S]_x라고 쓰여 있다. 그러므로,

[f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.

X의 점 x를 Y의 점 y에 매핑하는 X의 지도 세균은 다음과 같이 표시된다.

[\displaystyle f:(X,x)\to(Y,y)]}

이 표기법을 사용할 때, f는 대표 지도에 대해 동일한 문자 f를 사용하여 지도 전체 등가 등급으로 지정된다.

두 세트는 x에서 균등하며, x에서 고유한 기능이 균등할 경우에만 해당된다.

S\sim _{x}T\Long 왼쪽 오른쪽 화살표 \mathbf {1}{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.

더 일반적으로

지도는 모든 X에서 정의될 필요는 없으며, 특히 같은 도메인을 가질 필요는 없다. However, if f has domain S and g has domain T, both subsets of X, then f and g are germ equivalent at x in X if first S and T are germ equivalent at x, say $S\cap U=T\cap U\neq \emptyset ,$ and then moreover $f _{S\cap V}=g _{T\cap V}$ , for some small $x\in V\subseteq U$ V( $x\in V\subseteq U$ $x\in V\subseteq U$ $x\in V\subseteq U$ $x\in V\subseteq U$ U ${\displaystyle x\in V\subseteq U})$ 가 있는 경우 $x\in V\subseteq U$ 이는 특히 다음 두 가지 설정과 관련이 있다.

f는 X의 하위 V에 정의된다.
f는 x에 어떤 종류의 극을 가지고 있기 때문에, 예를 들어, 하위 변수에서 정의될 수 있는 합리적인 함수처럼 x에서 정의되지도 않는다.

기본 속성

f와 g가 x에서 균에 상당하는 경우 연속성, 차별성 등 모든 국소적 특성을 공유하기 때문에 다른 세균이나 분석적인 세균 등에 대해 이야기하는 것이 타당하다. 하위 집합의 경우와 유사하게, 한 세균의 대표자가 분석 집합인 경우, 최소한 x의 일부 이웃에 있는 모든 대표자도 마찬가지다.

대상 Y의 대수적 구조는 Y의 값을 가진 세균들의 집합에 의해 계승된다. 예를 들어 대상 Y가 집단이라면 세균을 증식하는 것이 타당하다: [f][_xg]를 정의하고,_x 먼저 이웃 U와 V에 각각 정의된 대표 f와 g를 취하고, [f][_xg]_x를 포인트와이즈 제품 맵 fg( $U\cap V$ ∩ V $U\cap V$ 에 정의됨) $U\cap V$ 의 x에서 세균으로 정의한다. 마찬가지로 Y가 아벨 그룹, 벡터 공간, 또는 고리라면 세균 집합도 마찬가지다.

X에서 Y까지의 지도 x에 있는 세균 집합은 별도의 것을 제외하고는 유용한 위상이 없다. 따라서 세균의 수렴 순서를 말하는 것은 거의 또는 전혀 이치에 맞지 않는다. 그러나 X와 Y가 다지관이라면 제트 $J_{x}^{k}(X,Y)$ $J_{x}^{k}(X,Y)$ k $J_{x}^{k}(X,Y)$ ( X , $J_{x}^{k}(X,Y)$ ) $displaystyle J_{x}^{k}(X,Y)}($ 지도 x에서 테일러 시리즈 마무리 주문)는 유한차원 벡터 공간으로 식별할 수 있으므로 위상이 있다.

피복과의 관계

세균에 대한 관념은 피복과 사전 피복의 정의 뒤에 있다. 위상학적 공간 X에 있는 아벨리아 그룹의 ${\mathcal {F}}$ 프리쉐프 ${\mathcal {F}}$ ${\$ 은(는) 아벨리아 그룹 $){\displaystyle {\mathcal {F}(U)}$ 을(는) X의 각 개방형 U에 ${\mathcal {F}}(U)$ 할당한다. 여기서 아벨리아 그룹의 대표적인 예로는 U에 대한 실제 가치 함수, U에 대한 미분형 형태, U에 대한 벡터 필드, U에 대한 홀로모르픽 함수(X가 복잡한 공간일 때), U에 대한 상수 함수, U에 대한 미분형 연산자 등이 있다.

$V\subseteq U$ $V\subseteq U$ $V\subseteq U$ $V\subseteq U$ 인 $V\subseteq U$ 경우, $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ 맵 $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ V U : $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ ( $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ ) $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ → F $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ ( $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ ) $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ , $\matrmatrm {res$ _{VU $}:{\mathcal {F}\\\mathcal$ {F $}}}($ V)이 $(V)$ 에 특정 호환성 조건을 만족하는 $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ 기능이 있다. 고정된 x 들어, 어떤 경우 xresWU(f)과 근린 W⊆ U∩ V{W\subseteq U\cap V\displaystyle}은 요소 f∈ F({\displaystyle f\in{{F\mathcal}}(U)}과 g∈ F({\displaystyle g\in{{F\mathcal}}(V)})에서)resWV(g)(F(W의 이 두 요소){\displaystyle과 동등하다는 말한다. {\m $athcal$ { $F}(W)}$ . 동등성 등급은 사전적 ${\mathcal {F}}$ ${\$ $displaystyle {\mathcal$ { $F}{$ x}의 x에 스토브 ${\mathcal {F}}_{x}$ ${\mathcal {F}}_{x}$ ${\mathcal {F}}_{x}$ {\ $displaystyle {\mathcal$ { $F}$ $_{x}}$ 를 형성하며 ${\mathcal {F}}$ 이 동등성 관계는 위에서 설명한 균등성을 추상화하는 것이다.

병균을 피복으로 해석하는 것 또한 세균 집합에 대수적 구조의 존재에 대한 일반적인 설명을 제공한다. 그 이유는 줄기의 형성이 유한한 한계를 보존하기 때문이다. 이것은 T가 로베레 이론이고 Sheaf F가 T-algebra라면, 어떤 줄거리 F도_x T-algebra라는 것을 암시한다.

예

$X$ $X$ $Y$ Y $Y$ 이(가) 추가 구조를 가진 $Y$ 경우, X에서 Y까지의 모든 지도 집합의 하위 세트 또는 주어진 사전 준비 ${\mathcal {F}}$ ${\$ 및 해당 ${\mathcal {F}}$ 세균의 하위 세트 정의가 가능하다. 몇 가지 주목할 만한 예는 다음과 같다.

$X$ , $Y$ $X,Y$ 이(가) 위상학적 공간인 $X,Y$ 경우 하위 집합

C^{0}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)

지속적인 기능의 세균은 지속적인 기능의 세균을 정의한다.

$X$ $X$ 및 $X$ $Y$ $Y$ 이(가) 서로 다른 구조를 허용하는 $Y$ 경우 하위 집합

C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)

k

k

- 연속적으로

k

서로 다른 함수, 하위 집합

C^{\infit }(X,Y)=\빅캡 \nolimits _{k}{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}}

부드러운 기능과 하위 집합의

C^{\omega }(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)

분석함수의

\omega

\omega

이(가) 정의될 수 있다(

C^{\infty }

여기서는

\omega

무한대의 서수형이다.

C^{\infty }

는

C^{k}

C^{k}

k

{\

및 C

C^{\infty }

{\

C

^{\infit }).

그런 다음 (완전히) 서로 다른, 매끄러운, 분석함수의 세균 공간을 구성할 수 있다.

$X$ , $Y$ $X,Y$ 이(가) 복잡한 구조(예를 들어, 복잡한 벡터 공간의 하위 집합)를 가지고 $X,Y$ 있다면, 그들 사이의 홀로모르픽 기능을 정의할 수 있고, 따라서 홀로모르픽 기능의 세균 공간을 구성할 수 있다.
$X$ , $Y$ $X,Y$ 이(가) 대수적 구조를 가지고 $X,Y$ 있다면, 그들 사이의 정기적(그리고 이성적) 기능을 정의할 수 있고, 정기적 기능(그리고 마찬가지로 이성적)의 세균을 정의할 수 있다.
양성 무한대의 f : positive → Y의 생식(또는 단순히 f의 생식)은 $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ { $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ : $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ y $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ > $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ ( $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ ) $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ = $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ ( $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ y $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ ${\displaystyle \{g:\exists x\fall y>x\,f(y)=g(y$ 이러한 세균들은 무증상 분석과 하디 분야에 사용된다.

표기법

$X$ $X$ 의 $x$ $점$ x $X$ 에 $X$ 있는 위상학적 $공간$ X $X$ 에 ${\mathcal {F}}$ 있는 셰프 ${\mathcal {F}}$ ${\$ { $F}$ 의 줄기는 ${\mathcal {F}}_{x}.$ 으로 F ${\mathcal {F}}_{x}.$ . ${\displaystystyle {\mathcal}{F}$ $_$ { $x}$ 로 표시된다 $X$ . $}$ 그 결과 ${\mathcal {F}}_{x}.$ , 다양한 종류의 기능들의 줄기를 구성하는 세균들은 다음과 같은 표기법을 차용한다.

${\mathcal {C}}_{x}^{0}$ ${\mathcal {C}}_{x}^{0}$ ${\mathcal {C}}_{x}^{0}$ ${\$ 은(는 $)$ x {\ $displaystyle x}$ 에 있는 연속 기능의 세균의 공간이다 ${\mathcal {C}}_{x}^{0}$ $x$
${\mathcal {C}}_{x}^{k}$ 각 자연수 $k$ $k$ 에 ${\mathcal {C}}_{x}^{k}$ 대한 ${\mathcal {C}}_{x}^{k}$ x ${\mathcal {C}}_{x}^{k}$ ${C}_{x}^{k}$ 은(는) $x$ $x$ 에서 $k$ $k$ -time-differential $k$ 함수의 세균 공간이다 $k$ $x$
${\mathcal {C}}_{x}^{\infty }$ $∞{\$ _{x}^{\ $npty}}}}$ 는 x {\displaystyle $x}$ 에서 무한히 다른("매끄러운") 기능을 가진 세균의 공간이다 ${\mathcal {C}}_{x}^{\infty }$ $x$
${\mathcal {C}}_{x}^{\omega }$ ${\mathcal {C}}_{x}^{\omega }$ ${\mathcal {C}}_{x}^{\omega }$ ${\$ }}}은(는 $)$ x $x$ 에 있는 분석 기능의 세균의 공간이다 ${\mathcal {C}}_{x}^{\omega }$ $x$
${\mathcal {O}}_{x}$ ${\mathcal {O}}_{x}$ ${\$ 은(는 $)$ x {\ $displaystyle x}$ 에서 홀로모르픽 함수의 세균 공간(복합 기하학에서) 또는 정규함수의 세균 공간(대수 기하학에서)이다 ${\mathcal {O}}_{x}$ $x$

세트와 품종의 세균의 경우 표기법이 잘 확립되어 있지 않다: 문헌에서 발견되는 몇 가지 표기법은 다음과 같다.

${\mathfrak {V}}_{x}$ ${\mathfrak {V}}_{x}$ ${\$ 는 $x$ $x$ 에 있는 분석품종 세균의 공간이며 ${\mathfrak {V}}_{x}$ $x$ $x$ $x$ 을( $예$ $:$ X $x$ ${\$ displaystyle $X}$ 이 $($ 가) 위상 벡터 공간이고 $X$ $x=0$ = $0$ 인 경우) $x=0$ 위의 기호 각각에 떨어뜨릴 수 있다. 또한 $\dim X=n$ $\dim X=n$ = $\dim X=n$ $\dim X=n$ 인 경우 기호 앞에 첨자를 추가할 수 있다 $\dim X=n$ 예로서
${_{n}{\mathcal {C}}^{0}},{_{n}{\mathcal {C}}^{k}},{_{n}{\mathcal {C}}^{\infty }},{_{n}{\mathcal {C}}^{\omega }},{_{n}{\mathcal {O}}},{_{n}{\mathfrak {V}}}$ are the spaces of germs shown above when $X$ $X$ 은 $X$ (는) $n$ $n$ -차원 $n$ 벡터 공간이며 $x=0$ = $x=0$ ${\displaystyle$ x $=0}$ 이다 $x=0$

적용들

세균의 응용에서 중요한 단어는 국소성이다. 한 점에 있는 함수의 모든 국소적 특성은 그 함수의 세균을 분석함으로써 연구될 수 있다. 그것들은 테일러 시리즈의 일반화인데, 실제로 테일러 시리즈는 (다른 기능을 가진) 세균이 정의되어 있다: 파생상품을 계산하기 위해서는 현지 정보만 있으면 된다.

세균은 위상 공간의 선택된 지점 근처에 있는 역동적인 시스템의 특성을 결정하는데 유용하다: 세균은 특이성 이론과 대재앙 이론의 주요 도구 중 하나이다.

고려된 위상학적 공간이 리만 표면 또는 보다 일반적으로 복잡한 분석적 품종인 경우, 그 위에 있는 홀로모르픽 기능의 세균은 파워 시리즈로 볼 수 있으며, 따라서 세균 집합은 분석적 함수의 분석적 지속으로 간주될 수 있다.

세균은 또한 미분 기하학에서 접선 벡터의 정의에도 사용될 수 있다. 접선 벡터는 그 시점에서 세균의 대수학에 대한 점분해라고 볼 수 있다.^[1]

대수적 특성

앞에서 언급한 바와 같이, 세균의 집합은 링이 되는 것과 같은 대수적 구조를 가지고 있을 수 있다. 많은 상황에서 세균의 고리는 임의의 고리가 아니라 상당히 구체적인 성질을 가지고 있다.

X가 어떤 종류의 공간이라고 가정해 보자. 각 x ∈ X에서 x의 기능 세균의 링이 국부적인 링인 경우가 많다. 예를 들어 위상학적 공간의 연속적 기능, 실제 다지관의 k-time 차이성, 부드러움 또는 분석 기능(이러한 기능이 정의된 경우), 복잡한 다지관의 홀로모르픽 기능, 그리고 대수학적 다양성의 정기적 기능 등이 이에 해당한다. 세균의 고리가 국부적인 고리라는 성질은 국부적인 고리 공간 이론에 의해 공리화된다.

그러나 발생되는 국소 고리의 종류는 고려 중인 이론에 따라 크게 달라진다. 위어스트라스 준비정리는 홀로모르픽 기능의 세균의 고리가 노에테리아 고리라는 것을 암시한다. 이것들이 규칙적인 고리라는 것도 알 수 있다. 한편, C ${\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )$ ${\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )$ ( $){\displaystyle {\mathcal{C}_{0}^{\infit }(\mathbf {R} )}$ 을(를) R의 매끄러운 기능의 기원에 있는 세균의 고리가 되게 ${\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )$ 한다. 이 반지는 지역적이지만 노메트리안은 아니다. 그 이유를 알아보려면 이 고리의 최대 이상 m은 원점에서 사라지는 모든 세균으로 구성되어 있고, 파워 m은^k 첫 번째 k - 1 유도체가 사라지는 세균으로 구성되어 있음을 관찰한다. 만약 이 반지가 노메테리아였다면, 크롤 교차점 정리는 테일러 시리즈가 사라진 매끄러운 함수가 영함수라는 것을 암시할 것이다. 그러나 이것은 거짓이다, 라고 생각해 보면 알 수 있다.

f(x)={\displaystyle f(x)={\case}e^{-1/x^{2}},&x\neq 0,\0,&x=0.\end{case}}

이 반지는 또한 독특한 요소화 영역이 아니다. 모든 UFD가 주요 이상에 대한 상승 체인 조건을 충족하지만, 주 이상에 대한 무한 상승 체인이 존재하기 때문이다.

\displaystyle \cdneq (x^{-j+1}f(x))\dvneq (x^{-j}f(x)\cdneq (x^{-j-1}f(x)\cdneq \cdots.}

x가 최대 이상 m에 있기 때문에 포함이 엄격하다.

R의 연속함수의 원점에 있는 ${\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )$ 의 ${\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )$ C ${\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )$ ${\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )$ ( ${\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )$ ) ${\mathcal {C}_{0}^{0}(\mathbf {R$ )은 최대 이상 m = m을² 만족하는 속성도 가지고 있다. 모든 세균 f ∈ m은 다음과 같이 쓸 수 있다.

f=f ^{1/2}\cdot {\big(}\big)(}\big) f ^{1/2}{\big )},

여기서 sgn은 부호함수다. f는 원점에서 사라지기 때문에, 이것은 f를 m의 두 함수의 산물로 표현한다. 이것은 거의 고리 이론의 설정과 관련이 있다.

참고 항목

참조

^ Tu, L. W. (2007) 다지관에 대한 소개. 뉴욕: 스프링거. 페이지 11.

Nicolas Bourbaki (1989). General Topology. Chapters 1-4 (paperback ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-64241-2., 제1장 제6항 제10호 "점점에서의 언어"
Raghavan Narasimhan (1973). Analysis on Real and Complex Manifolds (2nd ed.). North-Holland Elsevier. ISBN 0-7204-2501-8., 제2장 제2.1항 "기본 정의".
Robert C. Gunning and Hugo Rossi (1965). Analytic Functions of Several Complex Variables. Prentice-Hall., 제2장 "홀로모르프 함수의 국소 고리" 특히 A항 "로컬 링의 기본 특성" 및 E항 "다양성 유전자"가 그것이다.
Ian R. Portuid(2001) 기하학적 차별화, 71페이지 캠브리지 대학 출판부 ISBN 0-521-00264-8.
주세페 Tallini(1973년).Varietàdifferenziabili ecoomologia 디 드 Rham(Differentiable manifolds과 드람 코호몰 로지).Edizioni Cremonese.아이 에스비엔 88-7083-413-1 제31일"unpunto P{\displaystyle P}디 Vn{\displaystyle V_{n}}(미분 가능한 기능의 P점{\displaystyle P}V의 n{\displaystyle V_{n}에 세균은}에Germidifunzioni differenziabili)"(이탈리아어로).

외부 링크

Chirka, Evgeniǐ Mikhaǐlovich (2001) [1994], "Germ", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
PlanetMath에서 부드러운 기능의 생식.
Mozyrska, Dorota; Bartosiewicz, Zbigniew (2006). "Systems of germs and theorems of zeros in infinite-dimensional spaces". arXiv:math/0612355. Bibcode:2006math.....12355M. {{cite journal}}: Cite 저널은 (도움말) 무한 차원 환경에서 분석 품종의 세균을 다루는 연구 사전 인쇄를 요구한다.

[1] Tu, L. W. (2007) 다지관에 대한 소개. 뉴욕: 스프링거. 페이지 11.

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