동일체형성

수학에서, 동형성 또는 동형성 지도는 동형성 다지관의 범주에 있는 이형성이다.고전 역학에서, 동일체형론은 위상 공간의 동일체 구조를 보존하고 보존하는 위상 공간의 변형을 나타내며, 이를 정론적 변환이라고 한다.

형식 정의

두 개의 동일성 $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ f $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ : $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ ( $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ , $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ ) $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ → $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ ( $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ , $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ ) ${\displaystyle$ f $:(M,\omega )\우측화로우(N,\omega$ ')} 사이의 차이점형식을 다음과 같이 부르면 동일성형이라고 한다 $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ .

f^{*}\omega '=\omega,

여기서 $∗{\$ f $^{*}$ 는 $f^{*}$ $f$ $f$ 의 풀백이다 $f$ $M$ $M$ 에서 $M$ M $M$ 까지의 동일성 차이점동형은 (의사-) 집단으로 $M$ , 동일성동형집단(아래 참조)이라고 한다.

최소의 동형체 버전은 동형체 벡터 장을 제공한다.벡터 필드 $X\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ $X\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ ∈ $X\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ ( $X\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ $X\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ ) ${\displaystyle$ X $\in \Gamma ^{\inflt }(TM)}$ 은 다음과 같은 경우 simplexic이라고 한다 $X\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ .

{\mathcal{L}_{X}\omega =0.

$\phi _{t}:M\rightarrow M$ $X$ ${\displaystyle X$ $}$ 은 흐름 $X$ symp t : $\phi _{t}:M\rightarrow M$ → $\phi _{t}:M\rightarrow M$ ${\displaystyle$ \phi _ ${t}:$ $X$ $X$ 의 $\phi _{t}:M\rightarrow M$ $M\rightarrow M}$ 은 $X$ (는) $모든$ t $t$ 에 대한 공통점형이다 $t$ These vector fields build a Lie subalgebra of $\Gamma ^{\infty }(TM)$ . Here, $\Gamma ^{\infty }(TM)$ is the set of smooth vector fields on $M$ , and ${\mathcal {L}}_{X}$ is the Lie derivative along the vector field $X.$ ${\displaystyle$

동시체형성의 예로는 고전역학 및 이론물리학의 표준적 변환, 해밀턴의 기능과 관련된 흐름, 다지관의 차이점형성에 의해 유도된 등각형 번들에 대한 지도, 그리고 공동 결합 궤도에 있는 Lie 그룹의 요소의 공동 결합 작용이 있다.

흐름

공감각 다지관의 매끄러운 기능은 정의상 해밀턴 벡터 장으로 상승하며, 그러한 모든 벡터 장들의 집합은 공감각 벡터 장의 Lie 대수학 하위 계수를 형성한다.동일성 벡터장의 흐름의 통합은 동일성형이다.동심원형체들은 동심원형 2형식과 그에 따른 동심원형 체적 형태를 보존하기 때문에 해밀턴 역학에서 리우빌의 정리가 뒤따른다.해밀턴 벡터 장에서 발생하는 공통체형태를 해밀턴식 동시체형이라고 한다.

${H,$ $H}$ = $X H (H)$ = $0$ 이므로 해밀턴 벡터 필드의 흐름도 $H$ 를 보존한다 $.$ 물리학에서 이것은 에너지 보존의 법칙으로 해석된다.

연결된 공감각 다지관의 첫 번째 베티 수가 0이면, 공감각과 해밀턴 벡터 필드가 일치하므로, 해밀턴 동위원소 개념과 공감각 동위원소 개념은 일치한다.

지질학 방정식은 해밀턴 흐름으로 공식화될 수 있음을 보여 줄 수 있다. 해밀턴 흐름으로 지질학을 참조하라.

(해밀턴주의) 동성형질체군

다지관으로부터 그 자체로 되돌아오는 동형체들은 무한한 차원의 유사 집단을 형성한다.해당 Lie 대수학(Lie 대수학)은 공감 벡터 장으로 구성된다.해밀턴의 동시선택형들은 하위그룹을 형성하는데, 이들의 Lie 대수학은 해밀턴 벡터 장에 의해 주어진다.후자는 포아송 대괄호와 관련하여 다지관의 부드러운 함수의 리 대수학에서 상수를 모듈로 이형화한다.

$(M,\omega )$ M , $(M,\omega )$ ) $(M,\omega )$ 의 해밀턴식 동시선택형 그룹은 보통 $\operatorname {Ham} (M,\omega )$ ⁡ $\operatorname {Ham} (M,\omega )$ , $\operatorname {Ham} (M,\omega )$ ) ${\displaysty \operatorname {Ham}$ ( $M,\omega )$ 로 표시된다 $(M,\omega )$ $\operatorname {Ham} (M,\omega )$

해밀턴의 차이점들은 바냐가의 정리로는 간단하다.그들은 호퍼 규범에 의해 주어진 자연 기하학을 가지고 있다.구체의 산물 등 특정 단순 복합형 4마니폴드에 대한 동형체 집단의 호모토피 타입은 그로모프의 의사형 곡선 이론을 이용하여 연산할 수 있다.

리만 기하학과 비교

리만 다지관과 달리, 복합 다지관은 매우 경직되지 않는다.Darboux의 정리는 같은 차원의 모든 공통적인 다지관이 국소적으로 이형성이라는 것을 보여준다.이와는 대조적으로, 리만 기하학의 등각계는 리만 곡률 텐서(Riemann 곡률 텐서)를 보존해야 하는데, 이것은 리만 다지관의 국부적 불변성인 것이다.더욱이, 공통적인 다지관의 모든 함수 H는 해밀턴 벡터 필드_H X를 정의하는데, 해밀턴의 차이점형성의 1-모수 그룹을 강조한다.그 뒤로는 동정형성의 집단은 항상 매우 크고, 특히 무한차원적이라는 것이다.반면에 리만 다지관의 등각류 집단은 항상 (마지막 차원) 거짓말 집단이다.더욱이 대칭군이 큰 리만 다지관은 매우 특별하며, 일반적인 리만 다지관은 비종교 대칭이 없다.

정량화

힐버트 공간에 대한 공통점동형성군(일반적으로 ħ-변형 후)의 유한차원 부분군을 나타내는 것을 정량화라고 한다.리 그룹이 해밀턴인에 의해 정의된 그룹일 때, 그것은 "에너지에 의한 수량화"라고 불린다.연속 선형 연산자의 Lie 대수에서 Lie 대수까지 대응하는 연산자를 정량화라고도 부르기도 한다; 이것은 물리학에서 보다 흔히 볼 수 있는 방법이다.

아놀드 추측

블라디미르 아놀드에 대한 유명한 추측은 M의 경우 M이 폐쇄 다지관일 경우 해밀턴의 동시적 선택형 $f$ 에 대한 최소 고정점 수를 모스 이론과 연관시킨다.더 정확히 말하면, 추측에 의하면 $f$ 는 M의 부드러운 함수가 가져야 하는 임계점 수만큼의 고정점을 가지고 있다(일반적인 경우, Morse 함수를 이해, 이 함수는 최소 2인 한정된 한정수다).^[1]

이는 아놀드와 알렉산더 기비탈의 이름을 딴 아놀드-기비탈 추측에서 비롯될 것으로 알려져 있는데, 이 추측이 라그랑지아의 서브매니폴드에 관한 진술이다.그것은 많은 경우에 공통적인 플로어 호몰로지 구축에 의해 증명된다.^{[citation needed]}

참고 항목

참조

^ Abbondandolo, Alberto (2001). "The Arnold conjectures for sympletic fixed points". Morse Theory for Hamiltonian Systems. Chapman and Hall. pp. 153–172. ISBN 1-58488-202-6.

McDuff, Dusa & Salamon, D. (1998), Introduction to Symplectic Topology, Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
섹션 3.2를 참조하십시오Abraham, Ralph & Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of Mechanics, London: Benjamin-Cummings, ISBN 0-8053-0102-X.

동일체형성군

Gromov, M. (1985), "Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds", Inventiones Mathematicae, 82 (2): 307–347, Bibcode:1985InMat..82..307G, doi:10.1007/BF01388806.
Polterovich, Leonid (2001), The geometry of the group of symplectic diffeomorphism, Basel; Boston: Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-6432-7.

[1] Abbondandolo, Alberto (2001). "The Arnold conjectures for sympletic fixed points". Morse Theory for Hamiltonian Systems. Chapman and Hall. pp. 153–172. ISBN 1-58488-202-6.

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