털볼 정리
Hairy ball theorem![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Baby_hairy_head_DSCN2483.jpg/220px-Baby_hairy_head_DSCN2483.jpg)
대수학적 위상(유럽에서는 고슴도치 정리라고도 함)[1]의 털복숭이 공 정리에는 고른 차원 n-spres에 비바니싱 연속 탄젠트 벡터장이 없다고 명시하고 있다.[2][3] 일반 구체 또는 2-sphere의 경우, f(p)가 항상 p에서 구에 접하는 것과 같은 구체의 모든 p 지점에3 R의 벡터를 할당하는 연속 함수라면, 적어도 하나의 극이 있는데, 이 극은 필드가 사라지는 지점(f(p) = 0)이다.
이 정리는 1885년 앙리 푸앵카레에 의해 2-sphere에 의해 처음 증명되었고,[4] 1912년 루이첸 에그베르투스 얀 브루워에 의해 더 높은 차원으로 확장되었다.[5]
그 정리는 구어적으로 "코흘리개를 만들지 않고는 털북숭이 공을 납작하게 빗질할 수 없다" 또는 "코넛 위에 머리를 빗질할 수 없다"[6]라고 표현되어 왔다.
0을 세는 중
벡터 필드의 모든 0에는 (제로가 아닌) "인덱스"가 있으며, 2-sphere의 오일러 특성이 2이기 때문에 모든 0에서 모든 지수의 합은 2여야 함을 알 수 있다. 따라서 적어도 하나 이상의 0이 있어야 한다. 푸앵카레-홉프 정리의 결과다. 토러스의 경우 오일러 특성은 0이며, "털이 많은 도넛 플랫"을 조합할 수 있다. 이와 관련하여, 0이 아닌 오일러 특성을 가진 소형 일반 2차원 다지관의 경우, 모든 연속 접선 벡터 장은 적어도 0을 가진다.
컴퓨터 그래픽에 응용 프로그램
컴퓨터 그래픽의 일반적인 문제는 주어진 0이 아닌 벡터와 직교하는 R에서3 0이 아닌 벡터를 생성하는 것이다. 모든 0이 아닌 벡터 입력에 대해 이 작업을 수행할 수 있는 단일 연속 함수는 없다. 이것은 털북숭이 공 정리의 진원이다. 이를 보려면 주어진 벡터를 구의 반지름으로 간주하고 주어진 벡터에 직교하는 0이 아닌 벡터를 찾는 것은 그 벡터가 반지름에 닿는 구면의 표면에 접하는 0이 아닌 벡터를 찾는 것과 같다는 점에 유의한다. 그러나 털복숭이 공 정리는 구상의 모든 점(균등하게, 주어진 벡터마다)에 대해 이것을 할 수 있는 연속적인 기능은 존재하지 않는다고 말한다.
렙체츠 연결
렙체츠 고정점 정리를 이용하여 대수적 위상으로부터 밀접하게 관련되는 주장이 있다. 2-sphere의 베티 번호는 1, 0, 1, 0, 0, ... ID 매핑의 렙쉐츠 번호(호몰로지에서의 총 추적)는 2이다. 벡터장을 통합함으로써 우리는 구체에 있는 1-모수적 차이점화 그룹(적어도 작은 부분)을 얻는다; 그리고 그 안에 있는 모든 매핑은 정체성에 동질적이다. 따라서, 그들 모두는 렙체츠 2번도 가지고 있다. 따라서 (Lefschez 숫자가 0이 아니기 때문에) 고정된 점이 있다. 이것이 실제로 벡터 영역의 0이 있어야 함을 암시한다는 것을 보여주기 위해 더 많은 작업이 필요할 것이다. 그것은 더 일반적인 푸앵카레-홉프 지수 정리에 대한 올바른 진술을 제시한다.
코롤라리
털복숭이 공 정리의 결과는 고른 차원 구를 그 자체로 매핑하는 어떤 연속적인 기능도 고정점이나 그 자체의 반격점에 매핑되는 점을 가지고 있다는 것이다. 이는 함수를 다음과 같이 접선 벡터 장으로 변형시킴으로써 알 수 있다.
구를 스스로 매핑하는 함수가 되고, v가 구성될 접선 벡터 함수가 되도록 하자. 각 p 지점에 대해 p를 접선점으로 하여 s(p)의 입체 투영을 생성한다. 그 다음 v(p)는 p에 상대적인 이 투사점의 변위 벡터다. 털복숭이 공의 정리에 따르면 v(p) = 0, s(p) = p와 같은 p가 있다.
이러한 점은 p의 접선면에 입체적으로 투영될 수 없는 점이기 때문에, s(p)가 p의 대척점인 점 p가 존재하는 경우에만 이 주장은 결렬된다.
상위 치수
오일러 특성 χ과의 연결은 정확한 일반화를 시사한다: 2n-sphere에는 n ≥ 1에 대한 비 바니싱 벡터 필드가 없다. 짝수 치수와 홀수 치수의 차이는 m-sphere의 0이 아닌 베티 번호만이 b와0 b이기m 때문에 이들의 교번 합계 χ은 짝수 m의 경우 2이고, 홀수 m의 경우 0이다.
실제로 주변 고른 차원 유클리드 공간 의 좌표를 쌍으로 고려하는 간단한 과정을 통해 이상 차원 구가 비반사 접선 벡터장을 인정하는 것을 쉽게 알 수 있다. 즉, 벡터 필드 : → R S}을 지정하여 접선 벡터 필드를 -1 에 의해 정의할 수 있다
In order for this vector field to restrict to a tangent vector field to the unit sphere it is enough to verify that the dot product with a unit vector of the form satisfying \1}이가) 사라짐 좌표들의 쌍으로 인해, 사람들은 본다.
2n-sphere의 경우 주변 유클리드 공간은 + 1 로 홀수 차원이기 때문에 좌표를 페어링하는 간단한 프로세스는 불가능하다. 이것이 사라지지 않는 고른 차원 구에 접선 벡터장이 여전히 존재할 가능성을 배제하지는 않지만, 털북숭이 공 정리는 사실 그러한 벡터장을 구성할 방법이 없다는 것을 증명한다.
물리적 예시
털북숭이 공 정리에는 수많은 물리적 예가 있다. 예를 들어, 고정 축을 중심으로 강체 볼이 회전하면 표면에 위치한 점의 속도에서 연속 접선 벡터 장이 발생한다. 이 필드에는 두 개의 제로 속도 포인트가 있는데, 이 포인트가 중심부를 통해 공을 완전히 뚫은 후 사라지며, 이에 따라 '요정공' 정리가 적용되지 않는 몸체인 토러스(torus)와 동등한 위상학적으로 전환된다.[7] 털북숭이 볼 정리는 전자파 전파 분석을 위해 성공적으로 적용될 수 있는데, 파동 전선이 표면적으로 구체와 동등한 표면( 오일러 특성 2 = 2)을 갖는 표면)을 형성하는 경우다. 전기장과 자기장의 벡터가 0이 되는 표면의 최소한 하나의 지점이 나타나야 한다.[8]
참고 항목
메모들
- ^ Renteln, Paul (2013). Manifolds, Tensors, and Forms: An Introduction for Mathematicians and Physicists. Cambridge Univ. Press. p. 253. ISBN 978-1107659698.
- ^ Burns, Keith; Gidea, Marian (2005). Differential Geometry and Topology: With a View to Dynamical Systems. CRC Press. p. 77. ISBN 1584882530.
- ^ Schwartz, Richard Evan (2011). Mostly Surfaces. American Mathematical Society. pp. 113–114. ISBN 978-0821853689.
- ^ Poincaré, H. (1885), "Sur les courbes définies par les équations diff ́erentielles", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4: 167–244
- ^ Georg-8월-Universityt Göttingen Archives 2006-05-26 Wayback Machine - L.E.J. Brouwer. 우베르 압빌둥 폰 만니그팔트키텐 / 수학자 안날렌(1912) 권: 71, 97-115 페이지; ISSN: 0025-5831; 1432-1807/e, 전문 텍스트
- ^ Richeson, David S. (23 July 2019). Euler's gem : the polyhedron formula and the birth of topology (New Princeton science library ed.). Princeton. p. 5. ISBN 978-0691191997.
- ^ Bormashenko, Edward; Kazachkov, Alexander (June 2017). "Rotating and rolling rigid bodies and the "hairy ball" theorem". American Journal of Physics. 85 (6): 447–453. doi:10.1119/1.4979343. ISSN 0002-9505.
- ^ Bormashenko, Edward (2016-05-23). "Obstructions imposed by the Poincaré–Brouwer ("hairy ball") theorem on the propagation of electromagnetic waves". Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 30 (8): 1049–1053. doi:10.1080/09205071.2016.1169226. ISSN 0920-5071.
참조
- Eisenberg, Murray; Guy, Robert (1979), "A Proof of the Hairy Ball Theorem", The American Mathematical Monthly, 86 (7): 571–574, doi:10.2307/2320587, JSTOR 2320587
추가 읽기
- Jarvis, Tyler; Tanton, James (2004), "The Hairy Ball Theorem via Sperner's Lemma", American Mathematical Monthly, 111 (7): 599–603, doi:10.1080/00029890.2004.11920120, JSTOR 4145162, S2CID 29784803
- Richeson, David S. (2008), "Combing the Hair on a Coconut", Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press, pp. 202–218, ISBN 978-0-691-12677-7