털볼 정리

털이 많은 3볼(2-sphere)을 빗겨 각 폴에 터프트를 남겨두는 실패

반면에 털이 많은 도너츠(2토러스)는 꽤 쉽게 싸울 수 있다.

폴이 하나만 있는 2-sphere의 연속 접선 벡터 필드, 이 경우 인덱스 2가 있는 쌍극장. 이 그래픽의 애니메이션 버전도 참조하십시오.

대수학적 위상(유럽에서는 고슴도치 정리라고도 함)^[1]의 털복숭이 공 정리에는 고른 차원 n-spres에 비바니싱 연속 탄젠트 벡터장이 없다고 명시하고 있다.^[2]^[3] 일반 구체 또는 2-sphere의 경우, f(p)가 항상 p에서 구에 접하는 것과 같은 구체의 모든 p 지점에³ R의 벡터를 할당하는 연속 함수라면, 적어도 하나의 극이 있는데, 이 극은 필드가 사라지는 지점(f(p) = 0)이다.

이 정리는 1885년 앙리 푸앵카레에 의해 2-sphere에 의해 처음 증명되었고,^[4] 1912년 루이첸 에그베르투스 얀 브루워에 의해 더 높은 차원으로 확장되었다.^[5]

그 정리는 구어적으로 "코흘리개를 만들지 않고는 털북숭이 공을 납작하게 빗질할 수 없다" 또는 "코넛 위에 머리를 빗질할 수 없다"^[6]라고 표현되어 왔다.

0을 세는 중

벡터 필드의 모든 0에는 (제로가 아닌) "인덱스"가 있으며, 2-sphere의 오일러 특성이 2이기 때문에 모든 0에서 모든 지수의 합은 2여야 함을 알 수 있다. 따라서 적어도 하나 이상의 0이 있어야 한다. 푸앵카레-홉프 정리의 결과다. 토러스의 경우 오일러 특성은 0이며, "털이 많은 도넛 플랫"을 조합할 수 있다. 이와 관련하여, 0이 아닌 오일러 특성을 가진 소형 일반 2차원 다지관의 경우, 모든 연속 접선 벡터 장은 적어도 0을 가진다.

컴퓨터 그래픽에 응용 프로그램

컴퓨터 그래픽의 일반적인 문제는 주어진 0이 아닌 벡터와 직교하는 R에서³ 0이 아닌 벡터를 생성하는 것이다. 모든 0이 아닌 벡터 입력에 대해 이 작업을 수행할 수 있는 단일 연속 함수는 없다. 이것은 털북숭이 공 정리의 진원이다. 이를 보려면 주어진 벡터를 구의 반지름으로 간주하고 주어진 벡터에 직교하는 0이 아닌 벡터를 찾는 것은 그 벡터가 반지름에 닿는 구면의 표면에 접하는 0이 아닌 벡터를 찾는 것과 같다는 점에 유의한다. 그러나 털복숭이 공 정리는 구상의 모든 점(균등하게, 주어진 벡터마다)에 대해 이것을 할 수 있는 연속적인 기능은 존재하지 않는다고 말한다.

렙체츠 연결

렙체츠 고정점 정리를 이용하여 대수적 위상으로부터 밀접하게 관련되는 주장이 있다. 2-sphere의 베티 번호는 1, 0, 1, 0, 0, ... ID 매핑의 렙쉐츠 번호(호몰로지에서의 총 추적)는 2이다. 벡터장을 통합함으로써 우리는 구체에 있는 1-모수적 차이점화 그룹(적어도 작은 부분)을 얻는다; 그리고 그 안에 있는 모든 매핑은 정체성에 동질적이다. 따라서, 그들 모두는 렙체츠 2번도 가지고 있다. 따라서 (Lefschez 숫자가 0이 아니기 때문에) 고정된 점이 있다. 이것이 실제로 벡터 영역의 0이 있어야 함을 암시한다는 것을 보여주기 위해 더 많은 작업이 필요할 것이다. 그것은 더 일반적인 푸앵카레-홉프 지수 정리에 대한 올바른 진술을 제시한다.

코롤라리

털복숭이 공 정리의 결과는 고른 차원 구를 그 자체로 매핑하는 어떤 연속적인 기능도 고정점이나 그 자체의 반격점에 매핑되는 점을 가지고 있다는 것이다. 이는 함수를 다음과 같이 접선 벡터 장으로 변형시킴으로써 알 수 있다.

구를 스스로 매핑하는 함수가 되고, v가 구성될 접선 벡터 함수가 되도록 하자. 각 p 지점에 대해 p를 접선점으로 하여 s(p)의 입체 투영을 생성한다. 그 다음 v(p)는 p에 상대적인 이 투사점의 변위 벡터다. 털복숭이 공의 정리에 따르면 v(p) = 0, s(p) = p와 같은 p가 있다.

이러한 점은 p의 접선면에 입체적으로 투영될 수 없는 점이기 때문에, s(p)가 p의 대척점인 점 p가 존재하는 경우에만 이 주장은 결렬된다.

상위 치수

오일러 특성 χ과의 연결은 정확한 일반화를 시사한다: 2n-sphere에는 n ≥ 1에 대한 비 바니싱 벡터 필드가 없다. 짝수 치수와 홀수 치수의 차이는 m-sphere의 0이 아닌 베티 번호만이 b와₀ b이기_m 때문에 이들의 교번 합계 χ은 짝수 m의 경우 2이고, 홀수 m의 경우 0이다.

실제로 주변 고른 차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb {R} ^{2n}$ ${\$ 의 좌표를 쌍으로 $\mathbb {R} ^{2n}$ 고려하는 간단한 과정을 통해 이상 차원 구가 비반사 접선 벡터장을 인정하는 것을 쉽게 알 수 있다. 즉, 벡터 필드 $v:\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{2n}$ : $v:\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{2n}$ $v:\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{2n}$ → R $v:\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{2n}$ ${\$ $displaystyle$ S $^{2n-1$ }을 지정하여 $S^{2n-1}$ 접선 벡터 필드를 $S^{2n-1}$ $S^{2n-1}$ - $S^{2n-1}$ 1 ${\$ $displaystyle v:\mathb {R} ^{2n}\to \mathb {R} ^{2n}}}}}}}$ 에 $v:\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{2n}$ 의해 정의할 수 있다 $.$

v(x_{1},\reason,x_{2n}}=(x_{2},-x_{1},\reason,x_{2n},-x_{2n-1}).

In order for this vector field to restrict to a tangent vector field to the unit sphere $S^{2n-1}\subset \mathbb {R} ^{2n}$ it is enough to verify that the dot product with a unit vector of the form $x=(x_{1},\dots ,x_{2n})$ satisfying $\|x\|=1$ $\|x\|=1$ $\|x\|=1$ ${\displaystyle$ \ $x\ =$ 1}이 $\|x\|=1$ $($ 가) 사라짐 좌표들의 쌍으로 인해, 사람들은 본다.

v(x_{1},\reason,x_{2n}}\x_{2n}}=(x_{2}x_{1}-x_{1}x_{2})+\cdots +(x_{2n-1}x_{2n-1}x_{2n-1}x_{2n}n}x}=0}=0}=0}=0}.

2n-sphere의 경우 주변 유클리드 공간은 $\mathbb {R} ^{2n+1}$ $\mathbb {R} ^{2n+1}$ + 1 ${\$ 로 $\mathbb {R} ^{2n+1}$ 홀수 차원이기 때문에 좌표를 페어링하는 간단한 프로세스는 불가능하다. 이것이 사라지지 않는 고른 차원 구에 접선 벡터장이 여전히 존재할 가능성을 배제하지는 않지만, 털북숭이 공 정리는 사실 그러한 벡터장을 구성할 방법이 없다는 것을 증명한다.

물리적 예시

털북숭이 공 정리에는 수많은 물리적 예가 있다. 예를 들어, 고정 축을 중심으로 강체 볼이 회전하면 표면에 위치한 점의 속도에서 연속 접선 벡터 장이 발생한다. 이 필드에는 두 개의 제로 속도 포인트가 있는데, 이 포인트가 중심부를 통해 공을 완전히 뚫은 후 사라지며, 이에 따라 '요정공' 정리가 적용되지 않는 몸체인 토러스(torus)와 동등한 위상학적으로 전환된다.^[7] 털북숭이 볼 정리는 전자파 전파 분석을 위해 성공적으로 적용될 수 있는데, 파동 전선이 표면적으로 구체와 동등한 표면( 오일러 특성 2 = 2)을 갖는 표면)을 형성하는 경우다. 전기장과 자기장의 벡터가 0이 되는 표면의 최소한 하나의 지점이 나타나야 한다.^[8]

참고 항목

메모들

^ Renteln, Paul (2013). Manifolds, Tensors, and Forms: An Introduction for Mathematicians and Physicists. Cambridge Univ. Press. p. 253. ISBN 978-1107659698.
^ Burns, Keith; Gidea, Marian (2005). Differential Geometry and Topology: With a View to Dynamical Systems. CRC Press. p. 77. ISBN 1584882530.
^ Schwartz, Richard Evan (2011). Mostly Surfaces. American Mathematical Society. pp. 113–114. ISBN 978-0821853689.
^ Poincaré, H. (1885), "Sur les courbes définies par les équations diff ́erentielles", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4: 167–244
^ Georg-8월-Universityt Göttingen Archives 2006-05-26 Wayback Machine - L.E.J. Brouwer. 우베르 압빌둥 폰 만니그팔트키텐 / 수학자 안날렌(1912) 권: 71, 97-115 페이지; ISSN: 0025-5831; 1432-1807/e, 전문 텍스트
^ Richeson, David S. (23 July 2019). Euler's gem : the polyhedron formula and the birth of topology (New Princeton science library ed.). Princeton. p. 5. ISBN 978-0691191997.
^ Bormashenko, Edward; Kazachkov, Alexander (June 2017). "Rotating and rolling rigid bodies and the "hairy ball" theorem". American Journal of Physics. 85 (6): 447–453. doi:10.1119/1.4979343. ISSN 0002-9505.
^ Bormashenko, Edward (2016-05-23). "Obstructions imposed by the Poincaré–Brouwer ("hairy ball") theorem on the propagation of electromagnetic waves". Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 30 (8): 1049–1053. doi:10.1080/09205071.2016.1169226. ISSN 0920-5071.

참조

Eisenberg, Murray; Guy, Robert (1979), "A Proof of the Hairy Ball Theorem", The American Mathematical Monthly, 86 (7): 571–574, doi:10.2307/2320587, JSTOR 2320587

추가 읽기

Jarvis, Tyler; Tanton, James (2004), "The Hairy Ball Theorem via Sperner's Lemma", American Mathematical Monthly, 111 (7): 599–603, doi:10.1080/00029890.2004.11920120, JSTOR 4145162, S2CID 29784803
Richeson, David S. (2008), "Combing the Hair on a Coconut", Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press, pp. 202–218, ISBN 978-0-691-12677-7

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Hairy Ball Theorem". MathWorld.

[Renteln-1] Renteln, Paul (2013). Manifolds, Tensors, and Forms: An Introduction for Mathematicians and Physicists. Cambridge Univ. Press. p. 253. ISBN 978-1107659698.

[Burns-2] Burns, Keith; Gidea, Marian (2005). Differential Geometry and Topology: With a View to Dynamical Systems. CRC Press. p. 77. ISBN 1584882530.

[Schwartz-3] Schwartz, Richard Evan (2011). Mostly Surfaces. American Mathematical Society. pp. 113–114. ISBN 978-0821853689.

[4] Poincaré, H. (1885), "Sur les courbes définies par les équations diff ́erentielles", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4: 167–244

[5] Georg-8월-Universityt Göttingen Archives 2006-05-26 Wayback Machine - L.E.J. Brouwer. 우베르 압빌둥 폰 만니그팔트키텐 / 수학자 안날렌(1912) 권: 71, 97-115 페이지; ISSN: 0025-5831; 1432-1807/e, 전문 텍스트

[6] Richeson, David S. (23 July 2019). Euler's gem : the polyhedron formula and the birth of topology (New Princeton science library ed.). Princeton. p. 5. ISBN 978-0691191997.

[7] Bormashenko, Edward; Kazachkov, Alexander (June 2017). "Rotating and rolling rigid bodies and the "hairy ball" theorem". American Journal of Physics. 85 (6): 447–453. doi:10.1119/1.4979343. ISSN 0002-9505.

[8] Bormashenko, Edward (2016-05-23). "Obstructions imposed by the Poincaré–Brouwer ("hairy ball") theorem on the propagation of electromagnetic waves". Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 30 (8): 1049–1053. doi:10.1080/09205071.2016.1169226. ISSN 0920-5071.

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