국소적 유한집합

위상의 수학적 분야에서 국부적 정밀도는 위상학적 공간의 하위 집합 모음의 속성이다.그것은 파라콤팩트(paracompactity)와 위상학적 차원(topological dimension)의 연구에 기초한다.

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 집합 집합 집합 집합은 공간의 각 점이 집합의 많은 집합만 미세하게 교차하는 인접성을 갖는 경우 국소적으로 유한하다고 한다$$.

국소적으로 유한하다는 용어는 다른 수학적 분야에서 다른 의미를 가지고 있다는 점에 유의한다.

예제 및 속성

위상학적 공간의 유한 부분 집합은 국소적으로 유한하다.무한 수집은 또한 로컬로 한정될 수 있다. 예를 들어, $정수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에 대한 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle$ {$}$ 형식의 모든$$ 하위 집합의$집합(n$ n,n$+2$)이 로컬로 유한할 필요는 없다$.$ 카운트 가능한 하위 집합의 집합은 모든 하위 집합의 집합에서 알 수 있듯이, 로컬로 한정될 필요는 없다.${\displaystyle }$자연수$$n에 $대한$ R ${\$displaystyle $\mathb$ {${\displaystyle R}$$}$ 형식$$$({\displaystyle }$- n${\displaystyle }$, n${\displaystyle }$) ${\displaystyle(-n,n)}).$

집합 집합의 집합이 국소적으로 유한한 경우, 이들 집합의 모든 폐쇄의 집합도 국소적으로 유한하다.그 이유는 점을 포함하는 열린 집합이 집합의 폐쇄를 교차할 경우, 그것은 집합 자체를 교차해야 하기 때문에, 근방은 최대 동일한 수의 폐쇄에서 교차할 수 있다(두 개의 뚜렷한 분리 집합이 동일한 폐쇄를 가질 수 있기 때문에 더 적은 수의 폐쇄를 교차할 수 있다).그러나 세트 닫힘이 뚜렷하지 않으면 역전은 실패할 수 있다.예를 들어, $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 유한보완 위상에서 모든 오픈 세트의 집합은$$ 로컬로 유한하지 않지만, 이러한 집합의 모든 폐쇄는 로컬로 유한하다(단 하나의 $폐쇄$는 R ${\$ 비어 있는 집합이기 때문이다.

컴팩트 스페이스

소형 공간의 모든 국소적으로 유한한 부분 집합은 유한해야 한다.Indeed, let ${\displaystyle G=\{G_{a} a\in A\}}$ be an locally finite family of subsets of a compact space ${\displaystyle X}$ . For each point ${\displaystyle x\in X}$, choose an open neighbourhood ${\displaystyle U_{x}}$ that intersects a finite number of the subsets in ${\$$displaystyle G}$. Clearly the family of sets: ${\displaystyle \{U_{x} x\in X\}}$ is an open cover of ${\displaystyle X}$, and therefore has a finite subcover: ${\displaystyle \{U_{k_{n}} n\in 1\dots n\}}$. Since each ${\displaystyle U_{k_{i}}}$ intersects오직 $G{\displaystyle }${\$displaystyle G}$에서 하위 집합의 유한한 수만 교차하고$,$ 그러한 모든 ${\displaystyle {{Uk}_{}}_{}}$ i ${\$의 조합은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $G$$}$에서 유한한 수의 하위 집합만$$ 교차한다$.$ 이 결합이 전체 공간 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyty$ X$\}$이기 때문에 ${\}$은 한정된 수의 교차한다$$.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 집합의 하위 집합$.$ $그리고{\displaystyle }$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$}$의 하위 집합으로 구성되므로$$$G{\displaystyle }$ {\displaystyle $G}$의 모든$$ 멤버는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyty X}$을 교차해야 하므로$$ G$$ ${\displaystysty$ G}은 유한하다.

모든 개방형 커버가 국소적으로 유한한 개방적 세련미를 인정하는 위상학적 공간을 파라콤팩트라고 한다.위상학적 공간의 모든 국소적으로 유한한 부분 집합도 포인트 피니트다.모든 개방형 커버가 포인트-핀라이트 오픈 정교함을 인정하는 위상학적 공간을 메타콤팩트라고 한다.

두 번째 셀 수 있는 공간

린델뢰프 공간의 헤아릴 수 없는 커버는 콤팩트한 공간의 경우와 본질적으로 동일한 논거에 의해 국소적으로 유한할 수 없다.특히, 두 번째 카운트 가능 공간의 셀 수 없는 커버는 국소적으로 한정되어 있지 않다.

닫힌 세트

닫힌 세트의 유한 결합은 항상 닫혀 있다.닫히지 않은 닫힌 세트의 무한 결합 사례를 쉽게 들 수 있다.그러나 폐쇄형 집합의 국지적으로 유한한 집합체를 고려한다면 조합은 폐쇄된다.이를 보기 위해 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 닫힌 집합의 로컬 유한 집합의 결합 외부에 있는 지점이라면, 이 집합 중 극히 일부에서만 이 집합과 교차하는$$ $인접{\displaystyle }$ V ${\displaystyle$ $v$$}$을(를) 선택할 뿐이다.${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$이(가) $1{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle }$,${\displaystyle }$, k ${\$과(와) 교차하는 집합 집합의 집합에서 각 집합에 인덱스를 제공하도록 생물학적$$ 지도를 정의하십시오.그런 다음 각 세트에 대해 교차되지 않는 $x$ ${\displaystyle x}$이(가) 포함된 열린 집합 ${\displaystyle U_{}}$ i ${\$를 선택하십시오.$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$과(와$)$ 교차하는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1\leq$ i$\leq k}$에 대한 모든 ${\displaystyle {Ui}_{}}$ ${\$의 교차점은 이 닫힌 집합의 조합과 교차하지 않는$$ x ${\displaystystyle x}$의 인접 지역이다.

지역적으로 한정된 컬렉션 수

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $공간$의 집합은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 부분 집합의 국소 유한 집합의 카운트 가능 계열의 결합이라면 국소적으로 유한하다$$(또는 count-locally locally local limited). 국소 정밀도는 위상학적 공간이 나라고 말하는 나가타-스미르노브 메트리지 정리에서 핵심 가설이다.정규적이고 국소적으로 한정된 근거를 가진 경우에만 트라이즈블이 가능하다.

참조

• James R. Munkres (2000), Topology (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2