국부 반지

추상대수학에서, 보다 구체적으로 말하면, 국소 링은 비교적 간단한 어떤 고리로서, 품종이나 다지관에 정의된 기능이나, 특정 장소나 프라임에서 검사한 대수적 숫자장의 의미에서, "국소 행동"이라고 불리는 것을 기술하는 역할을 한다. 국소대수는 국소고리와 그 모듈들을 연구하는 역학대수의 분기다.

실제로, 가장 이상적인 고리의 국산화 결과에서 흔히 상호 작용하는 국소 링이 발생한다.

지역 반지의 개념은 1938년 볼프강 크롤에 의해 스텔렌링이라는 이름으로 도입되었다.^[1] 영어 용어 현지 반지는 자리스키 때문이다.^[2]

정의와 첫 번째 결과

링 R은 다음과 같은 속성이 있는 경우 로컬 링이다.

• R은 독특한 최대 왼쪽 이상을 가지고 있다.
• R은 독특한 최대 오른쪽 이상을 가지고 있다.
• 1 0 0과 R에서 두 개의 비단위 합계는 비단위다.
• 1 0 0이고 x가 R의 어떤 요소라면 x 또는 1 - x는 단위다.
• 유한 합이 단위라면 단위(특히 빈 합은 단위가 될 수 없다고 하므로 1 so 0을 내포한다)라는 용어를 가지고 있다.

만약 이러한 특성들이 유지된다면, 독특한 최대 왼쪽 이상은 독특한 최대 오른쪽 이상과 반지의 제이콥슨 급진적 이상과 일치한다. 위에 열거된 속성 중 세 번째는 지역 링에 있는 비 유니트 집합이 (적절한) 이상을 형성하고 있으며,^[3] 반드시 제이콥슨 급진파에 포함되어 있다고 말한다. 네 번째 속성은 다음과 같이 패러프레이즈할 수 있다: 고리 R은 두 개의 적절한 (주교) 이상(왼쪽)이 존재하지 않는 경우에만 국부적이다. 여기서 두 개의 이상 I가₁ 존재한다면 나는₂ R = I₁ + I를₂ 복사라고 부른다.

교환반지의 경우 좌, 우, 양면 이상을 구별할 필요가 없다: 교환반지는 고유한 최대 이상을 가지고 있는 경우에만 국소적이다. 약 1960년 이전에는 많은 작가들이 지역 반지를 (좌우) 노메테리아라고 요구했고, (아마도 비 노메테리아) 지역 반지는 준 지역 반지라고 불렸다. 이 조항에서 이 요건은 부과되지 않는다.

통합 도메인인 로컬 링을 로컬 도메인이라고 한다.

예

• {0}이(가) 이러한 링에서 최대 이상이기 때문에 모든 필드(및 스큐 필드)는 로컬 링입니다.
• 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ p ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ ${\displaystyle Z^{}}$ ${\$은(는) 로컬 링(p prime, n n 1)이다. 고유한 최대 이상은 p의 모든 배수로 구성된다.
• 보다 일반적으로 모든 원소가 단위 또는 영점인 논제로 링은 국소 링이다.
• 지역 링의 중요한 클래스는 필드가 아닌 지역 주요 이상 도메인인 이산 평가 링이다.
• The ring ${\displaystyle \mathbb {C} [[x]]}$, whose elements are infinite series ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$ where multiplications are given by ${\textstyle (\sum$$_{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i})(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}x^{i}}$ such that ${\textstyle c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$, is local. 그것의 독특한 최대 이상은 돌이킬 수 없는 모든 요소들로 구성되어 있다. 즉, 항이 0인 모든 원소로 구성된다.
• 보다 일반적으로, 국부 링 위에 있는 공식 파워 시리즈의 모든 링은 국부적이다; 최대 이상은 베이스 링의 최대 이상에서 일정한 용어를 가진 파워 시리즈로 구성된다.
• 마찬가지로, 어떤 분야에 걸쳐든 이중 숫자의 대수학은 국부적이다. 보다 일반적으로 F가 국부 링이고 n이 양의 정수인 경우, 지수 링 F[X]/(Xⁿ)는 다른 모든 다항식 모듈로 X를ⁿ 반전시키기 위해 기하 계열을 사용할 수 있기 때문에 F의 최대 이상에 속하는 일정한 용어를 가진 다항식 클래스로 구성된 최대 이상형을 가진 국부적이다. F가 필드인 경우 F[X]/(Xⁿ)의 요소는 영점 또는 반전성이다. (F를 초과하는 이중 번호는 사례 n = 2.에 해당)
• 국부 링의 0이 아닌 지수는 국부적이다.
• 홀수 분모가 있는 합리적인 숫자의 링은 국소적이다. 그것의 최대 이상은 짝수 분자와 홀수 분모가 있는 분수로 구성된다. 그것은 2시에 지역화된 정수다.
• 보다 일반적으로는, 모든 정류 링 R과 R의 주요 이상 P를 고려할 때, P에서의 R의 국산화(localization)는 국소적이다. 최대 이상은 이 국소화에서 P가 생성하는 이상이다. 즉, 최대 이상은 ∈ P와 s ∈ R - P를 가진 모든 원소 a/s로 구성된다.

비예시

이 구간은 확장이 필요하다. 덧셈으로 도와줘도 된다.(2022년 1월)

• $필드{\displaystyle }$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ 위에 있는$$ 다항식 $K{\displaystyle }$[${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle K[x]$의 링은 x ${\displaystyle x}$ 및$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle x}$ ${\displaysty 1-x}$이(가) 단위가 아니므로 로컬이 아니다$$.

세균의 고리

이러한 링에 대해 "로컬"이라는 이름에 동기를 부여하기 위해, 우리는 실제 라인의 0 주위에 어떤 개방된 간격으로 정의된 실제 가치 연속 함수를 고려한다. 우리는 이러한 기능들이 0에 가까운 (그들의 "지역적 행동")의 동작에만 관심이 있으며, 따라서 그들이 0에 대해 일부 (아마도 매우 작은) 개방된 간격에 동의하는 경우 두 기능을 식별할 것이다. 이 식별은 동등성 관계를 정의하며, 동등성 등급은 "0에서 실질가치의 연속함수의 측정값"이라고 불리는 것이다. 이 세균들은 첨가되고 증식될 수 있으며, 교감 고리를 형성할 수 있다.

이 세균의 고리가 국부적이라는 것을 알기 위해서, 우리는 그것의 되돌릴 수 없는 요소들을 특징 지을 필요가 있다. 세균 f는 f(0)가 0일 경우에만 변환할 수 있다. 그 이유는 f(0) ≠ 0이면 연속성에 의해 f가 0이 아닌 0 주위에 개방된 간격이 있고, 이 간격에서 함수 g(x) = 1/f(x)를 형성할 수 있다. 함수 g는 세균을 발생시키고 fg의 산물은 1.와 같다.(반대로 f가 변위할 수 없는 경우 f(0)g(0) = 1, 따라서 f(0) 0 0과 같은 g가 있다.)

이 특성화로, 어떤 두 개의 비반환성 세균의 합이 다시 비반환성이라는 것이 분명하고, 우리는 서로 교환하는 국소반지를 갖게 되었다. 이 반지의 최대 이상은 f(0) = 0인 세균들로 정밀하게 구성되어 있다.

정확히 동일한 주장이 주어진 지점의 어떤 위상학적 공간에 있는 연속적인 실제 가치 함수의 세균의 링이나, 주어진 지점의 어떤 다른 다지관의 다른 기능의 세균의 링 또는 주어진 지점의 어떤 대수학적 다양성에 대한 합리적 기능의 세균의 링에 작용한다. 그러므로 이 모든 고리들은 지역적이다. 이러한 예들은 체계가 왜 특별한 지역 고리형 공간으로 정의되는지를 설명하는 데 도움이 된다.

가치평가이론

지역적 반지는 가치평가 이론에서 중요한 역할을 한다. 정의에 따르면 필드 K의 평가 링은 K의 0이 아닌 모든 원소 x에 대해 x와 x⁻¹ 중 적어도 하나가 R에 있는 서브링 R이다. 그런 서브링은 지역 링이 될 것이다. 예를 들어 홀수분모가 있는 합리적인 숫자의 링(위에서 언급)은 Q ${\$의 가치평가 링이다$.$

함수 필드가 될 수도 있고 아닐 수도 있는 K 필드가 주어지면, 우리는 그 안에서 국소 고리를 찾을 수도 있다. K가 정말로 대수적 다양성 V의 함수 필드라면, V의 각 포인트 P에 대해 우리는 "정의된" P 함수의 가치평가 링 R을 정의하려고 시도할 수 있다. V에 차원 2 이상이 있는 경우, 다음과 같이 보이는 어려움이 있다: F와 G가 V에 대해 합리적인 기능인 경우

F(P) = G(P) = 0,

기능

F/G

P의 불확실한 형태다. 다음과 같은 간단한 예를 고려한다.

Y/X,

줄을 따라 다가갔다.

Y = tX,

사람들은 P의 값이 단순한 정의가 없는 개념이라고 본다. 그것은 가치 평가를 사용하는 것으로 대체된다.

비약속

비전속 국부 링은 일부 다른 링에 대한 모듈의 직접 총분해 연구에서 내형성 링이 울리면서 자연적으로 발생한다. 구체적으로, 모듈 M의 내형성 링이 국소적이라면 M은 외형적, 반대로 M은 길이가 유한하고 외형적이라면 내형성 링은 국소적이다.

k가 특성 p > 0의 장이고 G가 유한 p-그룹이라면, 그룹 대수 kG는 국부적이다.

일부 사실과 정의

상쇄 케이스

우리는 또한 최대 이상 m을 가진 역류 지역 링 R에 (R, m)을 쓴다. 그런 반지는 모두 m의 힘을 0의 근린기지로 삼으면 자연적으로 위상학적 반지가 된다. 이것은 R에 있는 m-adic 위상이다. 만약 (R, m)이 노메트리안 지역 고리라면,

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\nft }m^{i}=\{0\}}}}$

(Krull의 교차로 정리), 그리고 m-adic 위상과 함께 R이 Hausdorff 공간이라는 것을 따른다. 정리는 나카야마의 보조마사와 함께 아르틴-리즈 보조마사의 결과물로서, 이와 같이 「노메테리아」의 가정이 결정적이다. 실제로 R은 실제 라인에서 0에서 무한히 다른 기능의 세균의 링이 되게 하고 m은 최대 이상$){\displaystyle (x)}$이 되게 한다$.$ 그러면 nonzero $함수{\displaystyle {}^{}}$ e${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle {\frac{{x\mathrm{}}^{}}{}}^{}}$ 2 ${\$$displaysty$ $e^{1-{1 \$$over$ $x$$^{$1}{${\displaystyle n^{}}$$}}}}}}$는 $n$으로 나누기 때문에 어느 n에 ${\displaystyle {속한다}^{}}$$.$${\displaystyle$ x$^{n}}$은(는) 여전히 매끄럽다.

위상학적 고리에 대해서는 (R, m) 완성 여부를 (일률적인 공간으로서) 물을 수 있고, 그렇지 않을 경우 완성을 다시 국부적인 고리로 간주할 수 있다. 완전한 노메테리아 지방 고리는 코헨 구조 정리에 의해 분류된다.

대수 기하학에서, 특히 R이 특정 지점 P에서 계통의 국부 고리일 때, R/m은 지점 P의 국부 링의 잔류장 또는 잔류장이라고 불린다.

(R, m)과 (S, n)이 국부적인 고리라면, R에서 S까지의 국부적인 고리 동형성은 속성 f(m) ⊆ n을 가진 고리 동형성 f : R → S이다.^[4] 이것들은 정확히 R과 S에 주어진 위상에 대해 연속적인 고리 동형성이다. For example, consider the ring morphism ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x,y]/(x^{3},x^{2}y,y^{4})}$ sending ${\displaystyle x\mapsto x}$. The preimage of ${\displaystyle (x,y)}$ is ${\displaystyle (x)}$. Another example of a local ring morphism is given by ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$.

일반사례

국부 링 R의 제이콥슨 급진적 m(독특한 최대 왼쪽 이상과 동일하며 또한 고유한 최대 오른쪽 이상과도 동일함)은 반지의 비 유니트로 정밀하게 구성되며, 나아가 R의 고유한 최대 양면 이상이다. 그러나 비확정적 사례에서 독특한 최대 양면 이상을 갖는 것은 국소적인 것과 동등하지 않다.^[5]

로컬 링 R의 요소 x의 경우 다음 사항이 동일하다.

• x는 왼쪽 역행이다.
• x는 역이 맞다.
• x는 되돌릴 수 없다.
• x는 m에 있지 않다.

(R, m)이 로컬인 경우 인자 링 R/m은 스큐 필드임. J ≠ R이 R에서 양면 이상일 경우, 인자 링 R/J는 다시 국부적이며, 최대 이상 m/J가 된다.

어빙 카플란스키에 의한 심층 정리는, 비록 모듈을 미세하게 생성해 내는 경우는 나카야마의 보조기구에 대한 단순한 코랄라지만, 국부 링 위에 투영하는 어떤 모듈도 자유롭다고 말하고 있다. 이것은 모리타 동등성의 측면에서 흥미로운 결과를 가져온다. Namely, if P is a finitely generated projective R module, then P is isomorphic to the free module Rⁿ, and hence the ring of endomorphisms ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(P)}$ is isomorphic to the full ring of matrices ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(R)}$. Since every ring Morita equivalent to the 로컬 링 R은 그러한 P에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ ${\displaystyle {\mathrm{En}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( P${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(P)}$ 형식이며 결론은 로컬 링 R에 해당하는 유일한 링 Morita가 R 위에 있는 매트릭스 링(이형성)이라는 것이다.

메모들

참조

• Lam, T.Y. (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95183-0.
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Vol. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.

참고 항목

• 이산 평가 링
• 세미로컬 링
• 밸류에이션 링

외부 링크

• 지역적 반지의 이면에 있는 철학