세컨드 카운트 가능 공간

위상에서 완전히 분리 가능한 공간이라고도 불리는 두 번째 카운트 가능한 공간은 위상이 카운트 가능한 기초를 갖는 위상학적 공간이다.More explicitly, a topological space ${\displaystyle T}$ is second-countable if there exists some countable collection ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ of open subsets of ${\displaystyle T}$ such that any open subset of ${\displaystyle T}$ can be written as a$U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 일부 하위 패밀리의 요소 조합$.$ 두 번째로 셀 수 있는 공간은 계산성의 두 번째 공리를 만족한다고 한다.다른 계수 가능성 공리와 마찬가지로, 2차 계수 가능성의 속성은 공간이 가질 수 있는 오픈 세트의 수를 제한한다.

수학의 많은 "잘 행동한" 공간은 두 번째로 셀 수 있다.예를 들어, 통상적인 위상이 있는 유클리드 공간(Rⁿ)은 2차 계산이 가능하다.보통 오픈볼의 베이스는 셀 수 없지만 합리적인 반경을 가진 모든 오픈볼의 컬렉션을 제한할 수 있으며, 그 중심에 합리적인 좌표가 있다.이 제한 세트는 셀 수 있고 여전히 기초를 이룬다.

특성.

세컨드카운티블은 첫 번째카운티보다 더 강한 개념이다.각 점마다 카운트 가능한 지역 기반이 있는 경우 공간을 먼저 카운트할 수 있다.토폴로지와 점 x에 대한 베이스가 주어진 경우, x를 포함하는 모든 베이스 세트의 집합은 x에 로컬 베이스를 형성한다.따라서 한 사람이 위상에 대한 카운트 가능한 기초를 가지고 있다면, 모든 지점에 카운트 가능한 로컬 베이스를 가지고 있고, 따라서 모든 2차 카운트 가능 공간은 또한 1차 카운트 가능한 공간이다.그러나 어떤 헤아릴 수 없는 이산 공간은 우선 카운트할 수 있지만 두 번째 카운트할 수는 없다.

두 번째 계산은 특정한 다른 위상학적 특성을 내포한다.구체적으로 모든 2차 카운트 가능 공간은 분리 가능(카운트 가능 밀도 서브셋이 있음)과 린델뢰프(모든 오픈 커버에는 카운트 가능 서브커버가 있음)이다.역방향 함축은 지속되지 않는다.예를 들어 실제 라인의 하한위상 위상은 1차 카운트, 분리, 린델뢰프(Lindelöf)가 되지만 2차 카운트 위상은 아니다.그러나 미터법 공간의 경우, 제2의 카운트 가능, 분리 가능, 린델뢰프가 되는 속성은 모두 동등하다.^[1]따라서 실제 라인의 하한 위상은 측정이 불가능하다.

미터법 공간과 같이 두 번째 카운트 가능 공간에서는 압축성, 순차적 컴팩트성 및 카운트 가능 컴팩트성이 모두 동등한 속성이다.

우리존의 메트리존 정리에는 제2의 카운트 가능한 하우스도르프 정규 공간마다 메트리존이 존재한다고 되어 있다.그러한 모든 공간은 파라콤팩트뿐만 아니라 완전히 정상이라는 것을 뒤따른다.따라서 두 번째 계수는 위상학적 공간에서 다소 제한적인 속성이며, 오직 분리 공리만이 만족도를 암시하는 것을 요구한다.

기타 속성

• 연속적이고 개방적인 2차 계산 가능 공간의 이미지는 2차 계산이 가능하다.
• 두 번째 셀 수 있는 공간의 모든 하위 공간은 두 번째 셀 수 있다.
• 두 번째 카운트 가능 공간의 인수는 두 번째 카운트할 필요가 없지만, 항상 공개 인수는 다음과 같다.
• 두 번째 셀 수 있는 공간의 모든 계산 가능한 제품은 두 번째 셀 수 있지만, 셀 수 없는 제품은 그렇지 않다.
• 두 번째 카운트 가능한 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 공간의$$ 토폴로지는 카디널리티가 c(연속체의 카디널리티)보다 작거나 같다.
• 두 번째 수를 셀 수 있는 공간을 위한 모든 기지에는 여전히 기지인 셀 수 있는 하위 패밀리가 있다.
• 두 번째 카운트 가능한 공간에 있는 모든 분리 오픈 세트는 셀 수 있다.

예제 및 counterexample

• Consider the disjoint countable union ${\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \dots \cup [2k,2k+1]\cup \dotsb }$. Define an equivalence relation and a quotient topology by identifying the left ends of the intervals - that is, identify 0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k and so on. X is두 번째 카운트할 수 있는 공간의 조합으로서 두 번째 카운트 가능그러나 X/~는 식별된 지점의 코세트에서 첫 번째 카운트할 수 없으므로 두 번째 카운트도 할 수 없다.
• 위의 공간은 명백한 메트릭스가 부여된 동일한 세트의 동등성 등급에 대해 동형성이 아니다. 즉, 동일한 간격의 두 점에 대한 정규 유클리드 거리 및 동일 간격에 있지 않은 점의 왼쪽 점까지의 거리의 합은 위 공간보다 엄격히 강한 위상이다.분리 가능한 메트릭 공간이며(합리적인 점 집합을 고려), 따라서 두 번째로 계산할 수 있다.
• 긴 줄은 두 번째로 세는 것이 아니라 일차적으로 세는 것이다.

메모들

참조

• Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• 존 G. 호킹과 게일 S.젊은(1961년).위상.1988년 도버, 정정된 재인쇄. ISBN0-486-65676-4