제트(수학)

수학에서 제트기는 다른 함수 f를 취하여 그 영역의 각 지점에서 잘린 테일러 f의 다항식인 다항식을 생산하는 연산이다.이것이 제트의 정의지만, 제트의 이론은 이러한 다항식들을 다항식 함수가 아닌 추상적인 다항식이라고 여긴다.

이 기사는 먼저 하나의 실제 변수에서 실제 가치 함수의 제트 개념을 탐구한 후, 몇 가지 실제 변수에 대한 일반화에 대한 논의를 다룬다.그런 다음 유클리드 공간 사이의 제트기와 제트 공간을 엄격하게 건설한다.다지관 사이의 제트기와 이러한 제트기가 본질적으로 어떻게 구성될 수 있는지에 대한 설명으로 마무리된다.이 보다 일반적인 맥락에서, 그것은 미분 기하학에 제트기의 적용과 미분 방정식의 이론을 요약한다.

유클리드 공간 사이의 함수 제트

제트기에 대한 엄격한 정의를 내리기 전에, 몇 가지 특별한 경우를 검토하는 것이 유용하다.

1차원 케이스

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ 화살표 {\$mathb {R}}}}}}}}}}}}}}$은(는) $점{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle$x_{$0}$의 근린 U에 최소 k + 1의 파생상품을 갖는 실제 값 함수라고$$ 가정합시다$.$테일러의 정리대로라면

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})+(x_{0})+\cdots +{\frac {f^{f^{f^{f^{f^}}{k-x_{0}}}}}{k}+{R_{k+1}(x){k+1)!}}}(x-x_{0})^{k+1}}$

어디에

${\displaystyle R_{k+1}(x) \leq \sup _{x\in U} f^{(k+1)}(x) .}$

그런 다음 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 지점에서 f의 k-jet를 다항식으로 정의한다$$.

${\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{f^{f^}{{0}}}{i!}}}}{i}=f(x_{0}})+f'(x_{0}})+\cdots +{\frac {f^{f^{(k)}(x_{0}}}}}{k!}}}}z^{k}.}$

제트는 일반적으로 변수 z에서 추상 다항식으로 간주되며, 해당 변수에서 실제 다항식 함수로 간주되지 않는다.즉, z는 제트기들 사이에서 다양한 대수적 연산을 할 수 있는 불확실한 변수다.제트기가 기능 의존성을 얻는 것은 사실 기준점 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이다.따라서 기준점을 변화시킴으로써 제트기는 모든 지점에서 최대 k의 다항식 순서를 산출한다.이것은 제트기와 잘린 테일러 시리즈의 중요한 개념적 차이를 나타낸다. 일반적으로 테일러 시리즈는 기준점이 아니라 기능상 변수에 따라 다르게 간주된다.반면 제트는 테일러 시리즈의 대수적 특성과 기능적 특성을 분리한다.우리는 이 분리의 이유와 적용에 대해 기사 뒷부분에서 다룰 것이다.

한 유클리드 공간에서 다른 유클리드

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}{}^{}}$→ R ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ f$:{\mathb {R}{}^{n}}\오른쪽$ 화살표 {\$mathb {R}^{m}}}}}}$이(가) 적어도 (k + 1) 파생상품이 있는 유클리드 공간 간 함수라고 가정하자.이 경우 테일러의 정리는 다음과 같이 주장하고 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot (x-x_{0})+{}&{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot (x-x_{0})^{\otimes 2}+\cdots \\[4pt]&\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{{(k+1)!}}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes (k+1)}.\end{정렬}}}$

그런 다음 f의 k-jet는 다항식으로 정의된다.

${\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot z+{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot z^{\otimes 2}+\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}}\cdot z^{\otimes k}}$

$여기$서 $z{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, z ${\displaystyle n_{}}$) ${\$$displaystyle {\mathb {R} }[],${\$displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n$

제트기의 대수적 특성

제트기가 운반할 수 있는 두 가지 기본적인 대수 구조가 있다.첫째는 제품 구조인데, 이것이 궁극적으로 가장 덜 중요한 것으로 밝혀지기는 한다.두 번째는 제트기의 구성 구조다.

$f{\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle R^{}}$ ${\displaystyle n\mathbb{}{}^{}}$→ R ${\$ 화살표 ${\mathb {R}}}}}}}}}}}$이(가) 한 쌍의 실제 값 함수라면, 우리는 그 제트기의 곱을 정의할 수 있다.

${\displaystyle J_{x_{0}^{k}f\cdot J_{0}^{k}g=J_{x_{0}}^{k}(f\cdot g)}$

여기서 우리는 제트가 형식적인 다항식이라는 것이 이해되었기 때문에 불확실한 z를 억압해 왔다.이 제품은 일반 다항식 제품인 z, modulo ${\displaystyle z^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${{\$에 불과하다$.$즉, $R{\displaystyle \mathbb{}[}$ z ${\displaystyle ]}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle {\mathrm{z}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {R} }[z]/(z^{k+1})$에서 곱하기인데$,$ 여기서 (${\displaystyle z^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$+ 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle (z^{k+1})$은 순서 order k + ${\displaystyle 1^{}}$의 동종 다항식에 의해 생성되는 이상이다.

우리는 이제 제트기의 구성으로 이동한다.불필요한 기술성을 피하기 위해, 우리는 원점을 원점에 매핑하는 기능의 제트를 고려한다.If ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }}$ and ${\displaystyle g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ with f(0) = 0 and g(0) = 0, then ${\displaystyle f\circ g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {$$\mathb{R}}^{\ell$ $\}\}\}\}\}.$제트기의 구성은 $J{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ k ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}f}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle J_{0}^{k}f\circ J_{0}^{0}g=$로 정의된다.$J_{0}^{k}(f\circ g).$$}$ 체인 규칙을 사용하여 이것이 출발지의 제트기 공간에 대한 연관 비협정적 작전에 해당한다는 것을 쉽게 검증한다$$.

사실, k-jets의 구성은 다항식 modulo의 구성일 뿐이며 순서 > > ${\displaystyle >k}$의 동질적인 다항식 이상이다

예:

• 한$$ 차원에서는 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{로그}\log }$(${\displaystyle 1}$ - x${\displaystyle }$)$${\$displaystyle f(x)=\log(1-x)},$${\displaystyle }g{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) = ${\displaystyle sin}$ x$${\$displaystyle$ g$(x)=\sin$\,$x$ 그런 다음

${\displaystyle (J_{0}^{3}f)(x)=-x-{\frac {x^{2}}-{2}}-{\frac{x^{3}}{3}}}}}}}$

${\displaystyle (J_{0}^{3}g)(x)=x-{\frac{x^{3}{6}}}}$

그리고

${\displaystyle {\begin{aligned}&(J_{0}^{3}f)\circ (J_{0}^{3}g)=-\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{3}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{3}{\pmod {x^{4}}}\\[4pt]={}&-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

유클리드 공간의 한 지점에 있는 제트: 엄격한 정의

분석적 정의

다음의 정의는 제트기와 제트 공간을 정의하기 위해 수학적 분석으로부터 아이디어를 이용한다.바나흐 공간 간의 기능, 실제 또는 복잡한 영역 간의 분석 기능, p-adic 분석 및 기타 분석 영역 간의 원활한 기능을 위해 일반화할 수 있다.

Let ${\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ be the vector space of smooth functions ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$. Let k be a non-negative integer, and let p be a point of ${\displaysty$$le {\mathb{R}}^{n$ f와 g의 값이 p에서 같을 경우 f와 g의 두 함수가 순서 k와 같으며, 이들의 모든 부분파생상품은 (그리고 k-th 순서 파생상품도 포함) p까지 일치한다고 선언하여 이 공간에$$ 동등성 관계 ${\displaystyle {Ep}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$를 정의한다.간단히 말해서 ${\displaystyle }$~ ${\displaystyle g}$ $displaystyle f\sim$ g$\,\!}$ iff$$ $f{\displaystyle }$- ${\displaystyle g}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f-g=0}$ ~ k-th 순서로 한다$$.

The k-th-order jet space of ${\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ at p is defined to be the set of equivalence classes of ${\displaystyle E_{p}^{k}}$, and is denoted by ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^$${n},{\mathb {R} }^{m$

The k-th-order jet at p of a smooth function ${\displaystyle f\in C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ is defined to be the equivalence class of f in ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$.

알헤브로-기하학 정의

다음의 정의는 제트기와 제트 공간의 개념을 정립하기 위해 대수 기하학 및 정류 대수학으로부터의 사상을 이용한다.이 정의는 se 당 대수 기하학에서 특별히 사용하기에 적합하지 않지만, 매끄러운 범주에 주조되기 때문에 그러한 용도에 쉽게 맞출 수 있다.

Let ${\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ be the vector space of germs of smooth functions ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ at a point p in ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$.Let ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ be the ideal consisting of germs of functions that vanish at p. (This is the maximal ideal for the local ring ${\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$.)그러면 이상적인 $m{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}^{}}$ p ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$는 p에 k를 주문하기 위해 사라지는 모든 기능 세균으로 구성된다$$.우리는 이제 p by까지 제트 공간을 정의할 수 있다.

${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathb {R} }^{n},{\mathb {R}^{m})=C_{p}^{\inful }{\mathb {R}{}^{n},{\mathb {R}^{m}}/{\mathfrak {m}_{p}^{k+1}:{k+1}:{\\\mathb {R}}{mathfrak {m}}^{k+1}}}}$

If ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ is a smooth function, we may define the k-jet of f at p as the element of ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ by setting

${\displaystyle J_{p}^{k}^{k}f=f{\pmod {{\mathfrak{m}^{p}^{k+1}:{k+1}:{n2}}:$

이것은 좀 더 일반적인 공사다.For an ${\displaystyle \mathbb {F} }$-space ${\displaystyle M}$, let ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ be the stalk of the structure sheaf at ${\displaystyle p}$ and let ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ be the maximal ideal of the local ring ${\displaystyle {\ma$$thcal {{F}_{p$ .The kth jet space at ${\displaystyle p}$ is defined to be the ring ${\displaystyle J_{p}^{k}(M)={\mathcal {F}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$(${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$ is the product of ideals).

테일러의 정리

Regardless of the definition, Taylor's theorem establishes a canonical isomorphism of vector spaces between ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ and ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}[z_{1}$$,\dotsc ,z_{n}]/(z_{1},\dotsc ,z_{n}}^{k+1$}1$\}.$그래서 유클리드 문맥에서 제트기는 전형적으로 이러한 이형성 하에서 그들의 다항식 대표자와 동일시된다.

점에서 점까지의 제트 공간

${\displaystyle P_{}^{}}$ $지점{\displaystyle }$ P${\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R^{}}$${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$$displaystyle J_{p}^{k}({\mathb {R}{}^{n}},{\$$mathb {R}}^{$$m})$의 제트기$$ 공간을 정의했다$.$f(p) = q를 나타내는 함수 제트들로 구성된 이것의 하위 공간

${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathb {R}}}^{n}},{\mathb {R}^{m}}}_{q}=\left\{{\}}})J^{k}f\in J_{p}^{k}({\mathb {R}}{}^{n},{\mathb {R}{}^{m}}}}, mid f(p)=q\right\}}}}}}}}.$

두 매니폴드 사이의 기능 제트

M과 N이 두 개의 매끄러운 다지관일 경우 f${\displaystyle }$:${\displaystyle M}$ → ${\displaystyle N}${\$displaystyle$ f$:$$M\rightarrow N$M과 N의 로컬 좌표를 사용하여 그러한 제트기를 정의하려고 시도할 수 있을 것이다.이것의 단점은 제트기가 따라서 불변적인 방식으로 정의될 수 없다는 것이다.제트기는 텐서로 변형되지 않는다.대신에, 두 다지관 사이의 기능 제트는 제트 다발에 속한다.

실제 라인에서 다지관까지의 기능 제트

M이 점 p를 포함하는 매끄러운 다지관이라고 가정하자.우리는 p를 통한 곡선의 제트를 정의해야 하며, 그에 따라 평균적인 평활함수 ${\displaystyle f\mathbb{}}$: ${\displaystyle R}$→ M ${\displaystyle f:{\mathb {R}} }\오른쪽$ 화살표 $M}$을(를) f(0) = p. 동등성 관계 $E{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$}^{k$}}$를 다음과 같이$$ 정의해야 한다.f와 g를 p를 통한 한 쌍의 곡선이 되게 하라.그런 다음,${\displaystyle }smooth{\displaystyle }$ : U${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$: 모든 매끄러운 기능에 대해 p의 근린 U가 ${\displaystyle \mathrm{있는}}$ 경우 f와 g는 p에서 오더 k와 동등하다고 말할 것이다.$U\rightarrow {\mathb{R$ ${\displaystyle {J\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle f}$∘ ${\displaystyle f}$f${\displaystyle }$) = ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle g}$ ∘${\displaystyle g}$ g${\displaystyle }$) ${\displaysty J_{0}^{k}(\varphi \circirc$ f$)=$$J_{0}^{k}(\varphi \circg$ 복합함수${\displaystyle \phi }$ f ${\displaystyle \varphi \circg}$와${\displaystyle }\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaysty \varphi \circircg}$는 실제 선에서 그 자체로 매핑된$$ 것일 뿐이므로 이들 제트가 잘 정의되어 있다는 점에 유의한다.이러한 동등성 관계를 p에서 곡선들 사이의 k-차 접촉의 관계라고 부르기도 한다.

We now define the k-jet of a curve f through p to be the equivalence class of f under ${\displaystyle E_{p}^{k}}$, denoted ${\displaystyle J^{k}\!f\,}$ or ${\displaystyle J_{0}^{k}f}$. The k-th-order jet space ${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}$$}$은(는) p에 있는 k-rays 집합이다$$.

p가 M에 따라 다르기 때문에, J ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle R}$,${\displaystyle {}_M}$ ) p ${\$는 M: k번째 순서 접선 번들 위에 섬유 번들을 형성하는데$$, 종종 TM이^k 문헌에 표시한다(이 혼동을 일으킬 수 있지만).k=1의 경우, 1차 접선 번들은 일반적인 접선 번들이 된다.T¹M = TM.

TM이^k 사실 섬유 번들임을 증명하기 위해서는 $로컬{\displaystyle {}_{}^{}}$ 좌표에서$$ ${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}R}$, ${\displaystyle M{}_{}}$) p ${\$의 속성을 검토하는 것이 좋다.(xⁱ)= (x¹,...,xⁿ)는 p의 근린 U에서 M의 로컬 좌표계가 되도록 한다.표기법을 약간 남용하면, 우리는ⁱ (x)를 국부적 차이점동형${\displaystyle }$(${\displaystyle x{}^{}}$i )${\displaystyle }$: M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$$M\rightarrow \mathb{R} ^{n$

클레임. f와 g에서 p까지의 두 곡선은 $J{\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)$$${\displaystyle \circ }$ f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ k${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle x^{}}$ i${\displaystyle {}^{}}$)$$${\displaystyle \circ }$ $){\$인 경우에만$$ 등가 모듈로 E $k$이다.$J_{0}^{k}\왼쪽(x^{i})\circle g\오른쪽)}$.

이후 각각의 n의 기능들 MR{\displaystyle{\mathbb{R}...주재 ,xn은 매끈매끈한 기능}}x1 실제로 유일한 한 부분인 경우. 동등 관계의 정의에 의해 그래서 Epk{\displaystyle E_{p}^{k}}게 분명하다 2등가 곡선)J 0km그리고 4.9초 만()나는 g∘){\disp J 0k()나는 f∘)이 있어야 한다.($ystyle J_{0}^{k}(x^{i}\circ f)=$$J_{0}^{k}(x^{i}\circ$ g$)}$.

$반대$로, {$${\$displaystyle \varphi$}$$;은 p의 근방에 있는 M의 매끄러운 실제 값 함수라고 가정하자.매끄러운 함수마다 로컬 좌표식이 있기 때문에 좌표에서 함수로서 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$ $\}\text{'}$을 표현할 수 있다.구체적으로는 q가 p에 가까운 M점이라면,

${\displaystyle \varphi (q)=\properties(x^{1}(q),\properties,x^{n}(q))}$

n개의 실제 변수의 일부 부드러운 실제 값 함수 ψ.따라서, f와 g에서 p까지의 두 곡선의 경우,

${\displaystyle \varphi \varphi \f=\f(x^{1}\f,\f,\f,\f,\f)}$

${\displaystyle \varphi \varphi \cHB(x^{1}\cHB g,\cHB ,x^{n}\cHB g)}$

체인 룰은 이제 그 청구에 대한 if의 일부를 설정한다.예를 들어, f와 g가 실제 변수 t의 함수라면 ,

$왼쪽.{\frac {d}{dt}\왼쪽(\varphi \f\right)\오른쪽 _{t=0}=\sum _{i=1}^{n}\왼쪽.{\frac {d}{dt}{dt}(x^{i}\circ f)\오른쪽 _{t=0}\(D_{i}\psi )\circle f(0)}$

f(0)=g(0)=p와 f와 g가 좌표계(xⁱ)에서 k번째 순서 접점에 있음을 상기하면서 g에 대해 평가할 때 동일한 식과 같다.

따라서 표면적인 섬유 묶음 TM은^k 각 좌표 근방의 지역적 사소한 부분화를 인정한다.이 시점에서 이 표면적인 섬유다발이 사실상 섬유다발이라는 것을 증명하기 위해서는 좌표 변화 하에서 비음향적 전환 기능을 가지고 있다는 것을 입증하는 것으로 충분하다.Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle R^{}}$ n ${\$$M\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$ be a different coordinate system and let ${\displaystyle \rho =(x^{i})\circ (y^{i})^{-1}:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$ be the associated change of coordinates diffeomorphism of Euclidean space to itself.$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$의 부속 변환을 통해 일반성을 잃지 않고 without(0)=0으로 가정할 수 있다$.$이 가정에서는 J ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$: J ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}^{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}{}^{}}$, ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}{}^{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$, R $){\displaystyle J_{0}^{k}\rho$:를 입증하기에 충분하다.$J_{0}^{}^{n},{\mathb {R}{}^{n}},{\mathb {R}{{$n}}\오른쪽 화살표 $J_{0}^{k}({\mathb {R}}}^{}}}}},{\$mathb ${R}}^{n}}}}}}}}}}}$은 제트 구성 시 되돌릴 수 없는 변환이다$$.(제트 그룹도 참조하십시오.)그러나 ρ은 차이점형이기 때문에 $\rho {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$도 매끄러운 맵핑이다.그러므로,

${\displaystyle I=J_{0}^{k}I=J_{0}^{k}(\rho \circle \rho ^{-1}=J_{0}^{k}(\rho )\circ J_{0}^{k}(\rho ^{-1})}$

$이것$은 ${\displaystyle {J\mathrm{}}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle J_{0}^{k}\rho }}$이(가) 비송음적이라는 것을 증명한다.게다가, 비록 우리가 여기서 그 사실을 증명하지는 못하지만, 그것은 순탄하다.

직관적으로, 이것은 우리가 그것의 테일러 시리즈를 M의 국부 좌표에서 p를 통해 곡선의 제트를 표현할 수 있다는 것을 의미한다.

로컬 좌표의 예:

• 앞에서 설명한 것처럼 p를 통과하는 곡선의 1제트는 접선 벡터다.p에서 접선 벡터는 p에서 매끄러운 실질 가치 함수에 작용하는 1차 차등 연산자다.국부좌표에서 모든 접선 벡터는 형태를 가진다.

${\displaystyle v=\sum _{i}v^{i}{\frac {\frac {}{\properties x^{i}}}}}}}}}}}$

그러한 접선 벡터 ${\displaystyle v}$를 고려할 때 f는 xⁱ ${\displaystyle {좌표계}^{}}$에서 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= t ${\displaystyle v^{}}$ i ${\$ x$^{i}\circ f(t)=tv^{i}}}}.$φ(p) = 0인 p의 근방에서 매끄러운 함수라면, f가 되도록 한다.

${\displaystyle \varphi \circule f:{\mathb {R}}\오른쪽 화살표 {\mathb{R}}}}}}}$

1-제트가 주어지는 한 변수의 부드러운 실제 값 함수

${\displaystyle J_{0}^{1}^{1}(\varphi \circf(t)=\sum _{i}tv^{i}{\frac {\partial \pi}{\partial x^{i}}}}}(p)}).}$

이는 그 점을 통과하는 곡선의 1-25분의 1이 있는 지점에서 접선 벡터를 자연스럽게 식별할 수 있다는 것을 증명한다.

• 한 점을 통과하는 곡선 2제트의 공간.

p점을 중심으로 한 국부좌표계 x에서ⁱ f(t)에서 p by까지 곡선 f(t)의 2차 테일러 다항식을 표현할 수 있다.

${\dplaystyle J_{0}^{2}(x^{i})(f)=t{\frac {dx^{i}}{dt}}}{dt}}}+{d^{d^{2}}{{d^{2}x^{i}{dt^{ni}}}}{dt^{2}}}}}}}(0)(0).}$

따라서 x 좌표계에서는 곡선 ~ ${\displaystyle {}^{}}$의 2제트는 실제 숫자 목록$({\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$˙ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{¨}}^{}}$ i$){\dot{x}^{i},{\dot{x$}^{{\ddot{x$}^{i}}}}}$로 식별된다$.$ 한 점에서 접선 벡터(곡선의 1제트)와 마찬가지로 곡선 2제트는 좌표 전이 법칙을 따른다.네일스

(yⁱ) 다른 좌표계가 되게 하라.사슬 규칙에 따르면

${\displaystyle {\frac{d}{d}{d}}y^{i}(f(t)&=\sum _{j}{j}{\frac {i}{\frac}}{d}}{d}}}}}}{d}x^{d(t){d(t)\\[5pt]{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{k}(f(t))+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x^{j}(f(t))\end{aligned}}}$

따라서 t = 0으로 이 두 식을 평가함으로써 변환 법칙이 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {y}}^{i}=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\dot {x}}^{j}\\[5pt]&{\ddot {y}}^{i}=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(0){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\ddot {x}}^{j}.\end{정렬}}}$

2-제트의 변환 법칙은 좌표 전환 함수에서 2차라는 점에 유의하십시오.

다지관에서 다지관으로의 기능 분사

우리는 이제 다지관에서 다지관으로의 함수 제트를 정의할 준비가 되어 있다.

M과 N이 두 개의 매끄러운 다지관이라고 가정하자.${\displaystyle p_{}^{}}$가 M의 지점이 되게 $하라{\displaystyle {}_{}^{}}$ 부드러운 $지도{\displaystyle }$f :${\displaystyle M}$ → N$$${\$$displaystyle$$N$$)}$ 공간을$$ 고려하라$.$p의 일부 지역에서 정의된$$ $M\오른쪽$ 화살표 $N}$C p${\displaystyle {}_{}^{}{p}_{}^{}}$ (${\displaystyle M}$, $){\displaystyle C_{p$$}^{k}}$에 대한 동등성 관계 $E{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}${p}{p$}^{\inflt$}($M,N)$를 다음과$$ 같이 정의한다.Two maps f and g are said to be equivalent if, for every curve γ through p (recall that by our conventions this is a mapping ${\displaystyle \gamma :{\mathbb {R} }\rightarrow M}$ such that ${\displaystyle \gamma (0)=p}$), we have ${\displaystyle J_{0}^{k}(f\ci$$rc \cHB )=$$J_{0}^{k}(g\circ \gamma )}$의 근처 0.

The jet space ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}$ is then defined to be the set of equivalence classes of ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$ modulo the equivalence relation ${\displaystyle E_{p}^{k}}$. Note that because the target space N need not possess any algebraic strucTure, $J{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$) ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}$ 또한$$ 그러한 구조를 가질 필요가 없다.이것은 사실 유클리드 공간의 경우와 극명한 대조를 이룬다.

${\displaystyle f}$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle f:$$M\rightarrow N}$은(는) p ${\displaystyle {근처}_{}^{}}$에 정의된 매끄러운 함수로서$$, 그 다음, p, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ p k f {\$displaystyle J_{p}^{k}f$에서 f의 k-jet를 f modulo E ${\displaystyle p_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 동등 등급으로 정의한다$.$

멀티제츠

존 매더는 멀티제트의 개념을 소개했다.느슨하게 말하면, 멀티제트는 다른 기지점 위에 있는 제트기의 유한한 목록이다.매더는 안정된 매핑에 대한 연구에서 사용한 다중점 횡단성 정리를 증명했다.

단면 제트

$E$가${\displaystyle }$투영 m : E →${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :E\rightarrow$ $M$$}$과$($와) 함께 다지관 M 위에 있는 유한 차원 부드러운 벡터 번들이라고 가정하면 E의 섹션은 부드러운 함수 $s{\displaystyle }$ :${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle E}$ ${\displaystytle$ s$:$$\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \pi \circ s}$과 같은 $M\오른쪽$ 화살표 $E}$은(는) M의 정체성 자동모형이다.p 지점 부근에 있는 s 구역의 제트기는 p에서 M에서 E까지 이 부드러운 기능의 제트일 뿐이다.

p에서 단면 제트들의 $공간$은 J ${\displaystyle {}_{}^{}}$ k${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle M}$, $){\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}}}$에 의해 표시된다$.$ 이 표기법은 두 다지관 사이의 기능의 보다 일반적인 제트 공간과 혼동을 일으킬 수 있지만, 문맥은 일반적으로 그러한 모호성을 제거한다.

다지관에서 다른 다지관으로의 함수 제트와는 달리, p에서 단면의 제트 공간은 단면 자체의 벡터 공간 구조로부터 물려받은 벡터 공간의 구조를 지니고 있다.p가 M에 따라 다르기 때문에 $J{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ( M${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle E}$ )${\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}$ 제트 공간은 J^k(E)가 나타내는 E의 k번째 순서 제트 묶음인 M 위에 벡터 번들을$$ 형성한다.

• 예:접선 보따리의 1차 제트 보따리.

우리는 한 지점에서 지역 좌표로 일하고 아인슈타인 표기법을 사용한다.벡터 필드 고려

${\displaystyle v=v^{i}(x)\reason /\reason x^{i}}$

M의 p 부근에v의 1제트는 벡터장 계수의 1차 Taylor 다항식을 취함으로써 얻는다.

${\displaystyle J_{0}^{1}v^{i}(x)=v^{i}{0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}(0)=v^{i}+v_{j}}^{i}x^{j}.}$

의 x좌표에서 1-jet는 지점에서 진정한 숫자 목록{\displaystyle(v^{나는},v_{j}^{나는})}(vi와 j나는)과 같은 방법으로/에서는 지점에서 갑자기 다른 방향 벡터는 목록(vi)과, 좌표 전환에 따른 특정 변환 법의 심판을 받확인할 수 있습니다 확인할 수 있습니다, 우리는 목록( 알아야 합니다.${\displaystyle v^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$, v ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle(v^{i},v_{j}^{i}}}}$은(는) 전환의 영향을 받는다$$.

그러므로 다른 좌표계 y에ⁱ 전달할 때 변환 법칙을 고려하십시오.w를^k y 좌표에서 벡터 필드 v의 계수로 한다.그러면 y 좌표에서 v의 1-제트는 새로운 실수의 목록$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$, w ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ )${\displaystyle (w^{i},w_{j}^{i}}}}}}$ 이후부터입니다$.$

${\displaystyle v=w^{k}\cHB /\cHB y^{k}=v^{i}(x)\cHB /\cHB x^{i}}}$

그 뒤를 잇다

${\displaystyle w^{k}(y)=v^{i}(x){\frac {\frac {\frac}{k}}{\flash x^{i}}}(x).}$

그렇게

${\displaystyle w^{k}(0)+y^{j}{\frac {\partial w^{k}}{\partial y^{j}}}(0)=\left(v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x)}$

테일러 시리즈로 확장하면서

${\displaystyle w^{k}={\frac {\frac y^{k}}{\properties x^{i}}(0)v^{i}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle w_{j}^{k}^{k}=v^{i}{\frac {\\frac {\}y^{2}}}}{k}}}}{\floss x^{j}}}+v_{j}}{j}}}}{j}}}}}}}}}{{{j}}}}}}}}}}}^{i}{\frac {\frac {\frac y^{k}}{\propert x^{i}}}.}$

변환 법칙은 좌표 전환 함수에서 2차라는 점에 유의하십시오.

벡터 번들 간의 차등 연산자

이 구간은 비어 있다.덧셈으로 도움받을 수 있다(2020년 9월)

참고 항목

• 제트 그룹
• 제트 다발
• 라그랑고 제도

참조

• Krasil'schik, I. S, Vinogradov, A. M, [et al.] 수학 물리학의 미분 방정식에 대한 대칭과 보존 법칙, 미국 수학 협회, 프로비던스, RI, 1999, ISBN0-8218-0958-X.
• Kola i, I, Michor, P, 슬로바키아, J, 미분 기하학의 자연 작전.Springer-Verlag: 베를린 하이델베르크, 1993.ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
• 선더스, D. J. 케임브리지 대학 출판부, 1989년 ISBN 0-521-36948-7
• 올버, P. J., 동등성, 불변성 및 대칭성, 케임브리지 대학 출판부, 1995, ISBN 0-521-47811-1
• Sardanashvily, G, 이론가를 위한 고급 미분 기하학: 섬유 묶음, 제트 다지관 및 라그랑지 이론, 램버트 학술 출판, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7; arXiv:0908.1886