체계(수학)

수학에서 대수적 다양한 그런 multiplicities(방정식들이) 돌아선 0과 미국)0 같은 대수적 다양성과 다른 계획을 정의하)고(예를 들어, 페르마 곡선에 따라 달라져"품종"어떤 가환환에서 정의된 허용하는 계좌로 몇가지 면에서 개념을 확대한 제도는 수학적 구조체입니다. t정수).

체계 이론은 알렉산더 그로텐디크에 의해 1960년에 그의 논문 "Eléments de géométrie ^[1]algébrique"에서 소개되었다; 그것의 목적 중 하나는 베일 추측과 같은 대수기하학의 깊은 문제를 해결하기 위해 필요한 형식주의를 개발하는 것이었다.교환대수에 강하게 기초하는 체계론은 위상학과 상동대수의 방법을 체계적으로 사용할 수 있게 한다.체계 이론은 또한 대수 기하학을 많은 수의 이론과 통합하고, 결국 페르마의 마지막 정리에 대한 와일스의 증명으로 이어졌다.

형식적으로 스킴은 열린 서브셋을 따라 교환 링의 스펙트럼(최소 이상의 공간)을 접착함으로써 발생하는 모든 개방 세트에 대한 교환 링과 함께 위상 공간이다.즉, 국소적으로 교환환의 스펙트럼인 고리형 공간이다.

상대적인 관점은 대부분의 대수기하학이 개별적인 체계보다는 형태론 X → Y에 대해 개발되어야 한다는 것이다.예를 들어, 대수 표면을 연구할 때, 모든 체계 Y에 걸친 대수 표면군을 고려하는 것이 유용할 수 있습니다.많은 경우, 주어진 유형의 모든 다양한 종류의 패밀리는 모듈리 공간이라고 알려진 다양성 또는 체계로 볼 수 있습니다.

체계 이론의 상세한 정의에 대해서는 체계 이론의 용어집을 참조한다.

발전

대수기하학의 기원은 대부분 실수에 대한 다항식 연구에 있다.19세기에 이르러서는 (특히 장빅토르 폰슬렛과 베른하르트 리만의 작품에서) 대수기하학이 복소수 영역에 걸쳐 작업함으로써 단순화되었고, 이는 대수적으로 ^[2]닫힌다는 이점을 가지고 있다는 것이 명백해졌다.20세기 초에 두 가지 문제가 점차 관심을 끌었는데, 어떻게 대수적으로 닫힌 분야, 특히 양의 특성에서 어떻게 대수기하학이 개발될 수 있을까?(복잡한 품종을 연구하는 데 사용되는 위상 및 복합 분석 도구는 여기에 적용되지 않는 것 같습니다.)임의의 분야에 걸친 대수기하학은 어떨까요?

힐베르트의 늘스텔렌사츠는 대수적으로 닫힌 필드 k에 대한 대수기하학에 대한 접근을 제안한다: 다항식 고리 k[x₁, ...,x_n]의 최대 이상은 k 원소의 n-tuples 집합ⁿ k와 일대일 대응하며, 소수 이상은 아핀 변종으로 알려진 k의 환원ⁿ 불가능한 대수 집합에 대응한다.이러한 아이디어에 의해, 에미 노에터와 볼프강 크럴은 1920년대와 1930년대에 ^[3]가환대수의 주제를 발전시켰다.그들의 작업은 대수기하학을 순수하게 대수적인 방향으로 일반화한다: 다항식 환의 원시 이상을 연구하는 대신, 어떤 교환환의 원시 이상을 연구할 수 있다.예를 들어, 크럴은 교환환의 차원을 기본 이상으로 정의했다.적어도 고리가 노에테르식일 때, 그는 기하학적 차원의 개념에서 원하는 많은 특성들을 증명했다.

노에테르와 크룰의 교환대수는 대수적 다양성을 아핀하는 대수적 접근법으로 볼 수 있다.그러나, 대수기하학의 많은 논거들은 투영적 다양성에 더 잘 작용하는데, 이는 근본적으로 투영적 다양성이 작기 때문이다.1920년대부터 1940년대까지 B. L. 판 데르 바덴, 앙드레 베일, 오스카 자리스키 등은 사영(^[4]또는 준사영) 다양성의 풍부한 설정에서 대수기하학의 새로운 기초로서 교환대수를 적용했다.특히 Zariski 토폴로지는 (복소수의 토폴로지에 근거해) 복잡한 다양성의 고전적인 토폴로지를 어느 정도 대체하여 대수적으로 닫힌 모든 필드에 걸쳐 다양한 토폴로지로 유용한 토폴로지입니다.

수 이론의 적용에 있어서, 판 데 바덴과 베일은 대수적으로 닫힌 것이 아니라, 모든 분야에 걸쳐 대수 기하학을 공식화했다.Weil은 열린 부분 집합을 따라 위상 다지관 모델에 아핀 품종을 붙임으로써 추상 품종(사영 공간에 포함되지 않음)을 최초로 정의했다.그는 야코비아의 다양한 곡선을 어느 분야에서나 구축하기 위해 이 범용성이 필요했다. (나중에 야코비아인들은 Weil, Chow, Matsusaka에 의해 투영적인 변종이라는 것을 보여주었다.)

이탈리아 학파의 대수기하학자는 종종 대수다양성의 일반적인 점이라는 다소 흐릿한 개념을 사용했다.일반 포인트에 대한 설명은 다양성의 "대부분" 포인트에 대한 설명입니다.Weil's Foundations of Algebragory Geometry (1946)에서는 범용 ^[4]영역이라고 불리는 매우 큰 대수적으로 닫힌 영역에서 점을 취함으로써 일반 점이 구성됩니다.비록 이것이 기초가 되었지만, 그것은 어색했다: 같은 품종의 많은 다른 일반적 점들이 있었다. (후기의 체계 이론에서는, 각각의 대수적 품종은 하나의 일반적 점을 가지고 있다.)

1950년대에 클로드 체발리, 나가타 마사요시, 장-피에르 세르는 부분적으로 수 이론과 대수 기하학에 관한 베일 추측에 의해 동기부여를 받았고, 예를 들어 허용된 기저환을 일반화함으로써 대수기하학의 대상을 더욱 확장했다.'스킴'이라는 단어는 1956년 체발리가 ^[5]자리스키의 아이디어를 추구하던 체발리 세미나에서 처음 사용되었다.피에르 카르티에에 따르면, Serre에게 임의의 교환환의 스펙트럼을 대수기하학의 ^[6]기초로서 사용할 수 있는 가능성을 제안한 사람은 Andre Martinau였다.

스킴의 발생원

그 후 그로텐디크는 계획에 대한 결정적인 정의를 제시하여 실험적인 제안과 부분적인 ^[7]개발을 결론지었다.그는 교환환 R의 스펙트럼 X를 자연 위상(자리스키 토폴로지라고 함)을 갖는 R의 주요 이상 공간이라고 정의했지만, 교환환_X O(U)를 할당한 모든 열린 부분 집합 U에 대해 링 다발로 증가시켰다.이러한 오브젝트 Spec(R)은 아핀 스킴이며, 그 후 일반적인 스킴은 아핀 스킴을 "접착"함으로써 얻을 수 있습니다.

대수기하학의 대부분은 k장 위의 사영 또는 준사영적 다양성에 초점을 맞춘다.실제로 k는 종종 복소수로 간주된다.이러한 종류의 스킴은 임의의 스킴에 비해 매우 특별합니다.아래의 예를 참조해 주세요.그럼에도 불구하고 그로텐디크가 독단적인 계획을 위해 많은 이론을 개발한 것은 편리하다.예를 들어, 모듈리 공간을 먼저 스킴으로 구성한 후 투영 품종과 같은 보다 구체적인 객체인지 여부를 나중에 연구하는 것이 일반적입니다.또한, 수 이론의 적용은 어느 필드에서도 정의되지 않은 정수에 대한 스킴으로 빠르게 이어집니다.

정의.

아핀 스킴은 국소환 공간으로서 교환환 R의 스펙트럼 스펙(R)과 동형이다.스킴은 각 U(로컬 링된 공간으로서)가_i 아핀 ^[8]스킴이 되도록 오픈 세트_i U에 의한 커버링을 허용하는 로컬 링된 공간 X이다.특히 X에는 U상의 정규 함수의 링이라고 불리는 교환환_X O(U)를 모든 열린 서브셋 U에 할당하는 시프_X O가 부속되어 있습니다.이 스킴은 아핀 스킴인 "좌표 차트"로 커버되어 있다고 생각할 수 있습니다.이 정의는 Zariski 토폴로지를 사용하여 아핀 스킴을 결합함으로써 스킴을 얻는 것을 의미합니다.

초기에는 이것을 프리켐이라고 불렀고, 스킴은 분리된 프리켐으로 정의되었다.프레셰임이라는 용어는 사용되지 않게 되었지만, 그로텐디크의 "에레앙스 드 게오메트리 알제브라이크"와 멈포드의 "레드북"^[9]과 같은 오래된 책들에서 여전히 찾아볼 수 있다.

아핀 스킴의 기본 예는 자연수 n에 대해 필드 k 위의 아핀 n 공간이다.정의상, A는ⁿ
_k 다항식 링 k[x₁, ...,x_n]의 스펙트럼이다.스킴 이론의 정신에서, 아핀 n-공간은 사실상 스펙(R[x₁, ...,x_n])을 의미하는 어떤 교환환 R 위에 정의될 수 있다.

스킴의 카테고리

스킴은 로컬로 링된 공간의 형태로서 정의된 형태와 함께 카테고리를 형성합니다.(「스킴의 형태」도 참조).체계 Y의 경우 체계 X over Y는 체계들의 형태론 X → Y를 의미한다.교환환 R 위의 스킴 X는 형태론 X → 스펙(R)을 의미한다.

필드 k에 대한 대수적 다양성은 특정 특성을 갖는 k에 대한 체계로 정의될 수 있다.정확히 어떤 계획을 다양성이라고 불러야 하는지에 대한 다른 규약이 있다.한 가지 표준 선택은 k보다 다양성이 ^[10]k보다 유한한 유형의 정수 분리 체계를 의미한다는 것이다.

스킴의 형태론 f:X → Y는 정규함수의 링상의 풀백 동형성을 결정한다.f* : O(Y) → O(X)아핀 스킴의 경우, 이 구성은 스킴의 형태론 Spec(A) → Spec(B)와 링 동형사 B ^[11]→ A 사이에 일대일 대응성을 제공한다.이런 의미에서, 스킴 이론은 완전히 교환환의 이론을 가정한다.

Z는 교환환 카테고리의 초기 객체이므로 스킴카테고리에는 단말 객체로서 Spec(Z)이 있습니다.

교환환 R 위의 스킴 X에서 X의 R점은 형태론 X → Spec(R)의 단면을 의미한다.X의 R점 집합에는 X(R)를 쓴다.예에서, 이 정의는 X의 정의 방정식의 해 집합의 오래된 개념을 R의 값으로 재구성합니다.R이 필드 k일 때 X(k)는 X의 k-합리점 집합이라고도 합니다.

보다 일반적으로 교환환 R 및 임의의 교환환 R-대수 S에 대한 스킴 X에서 X의 S점은 형태론 Spec(S) → X over R을 의미한다.X의 S-점 집합에 대해 X(S)를 쓴다. (이것은 필드 k에 대한 일부 방정식이 주어진다면 k의 필드 확장 E에서 방정식의 집합을 고려할 수 있다는 오래된 관찰을 일반화한다.)스킴 X over R의 경우 할당S x X(S)는 교환 R-대수에서 집합까지의 펑터입니다.이 ^[12]점의 함수에 의해 체계 X/R이 결정된다는 것은 중요한 관찰입니다.

스킴의 파이버 제품은 항상 존재합니다.즉, 체계 Y에 대한 형태소를 갖는 체계 X와 Z에 대해 섬유제품 X×_YZ는 체계 범주에 존재한다.X와 Z가 필드 k에 대한 스킴일 경우, 규격(k)에 대한 섬유제품은 k-스켐의 범주에서 제품 X × Z로 불릴 수 있다.예를 들어, 아핀 공간^m A/k의ⁿ 곱은 아핀 공간^m+n A/k이다.

스킴의 카테고리에는 파이버 제품 및 터미널 오브젝트 Spec(Z)이 있기 때문에 모든 유한한 제한이 있습니다.

예

• 모든 아핀 스킴 Spec(R)은 스킴이다.(여기서와 아래에서는 고려되는 모든 링이 가환적입니다.)
• 필드 k 위의 다항식 f f f [ k[x_n, ..., x]는₁ k 위의 아핀ⁿ 공간 A에서 닫힌 서브헴 f = 0을 결정하는데, 이를 아핀 초면이라고 한다.형식적으로는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
  $$\displaystyle \operatorname {Spec} k[x_{1},\ldots,x_{n}/(f)}$$

  
  예를 들어, k를 복소수로 간주하면, x = y²(y+1) 방정식은² 아핀 평면²
  _C A에서 노드 입방곡선이라고 하는 특이 곡선을 정의합니다.
• 임의의 가환환 R 및 자연수 n에 대해 개방 서브셋에 따라 R 위의 아핀 n-공간 n+1 카피를 접착함으로써 투영공간ⁿ
  _R P를 스킴으로 구성할 수 있다.이것은 아핀 스킴을 넘어서는 동기를 부여하는 기본적인 예시입니다.아핀 공간에 대한 투영 공간의 주요 장점은 P가 R에 대해 적절하다는 것이다ⁿ
  _R. 이것은 콤팩트함의 대수기하학 버전이다.관련된 관찰은 복잡한 투영 공간ⁿ CP는 (C의 토폴로지에 기초한) 고전적인 토폴로지의 콤팩트 공간인 반면ⁿ, C는 (n > 0의 경우) 그렇지 않다는 것이다.
• 다항식 링 R[x₀, ..., x_n]에서 양의 균질 다항식 f는 R 위의 투영 공간ⁿ P에서 닫힌 서브헴 f = 0을 결정하며, 이를 투영 초서면이라고 한다.Proj 건설의 관점에서 이 서브켐은 다음과 같이 기술될 수 있습니다.
  $$\displaystyle \operatorname {Proj} R[x_{0},\ldots,x_{n}]/(f)}$$

  
  예를 들어, P의 닫힌²
  _Q 서브헴 x³ + y³ = z는³ 유리수에 대한 타원 곡선입니다.
• 2개의 원점을 가지는 행(필드 k를 넘다)은 k 위의 아핀 행의 2개의 복사본에서 시작하여 ID 맵에 의해2개의 오픈서브셋¹ A - 0을 접착함으로써 정의되는 스킴입니다.이것은 분리되지 않은 방식의 간단한 예입니다.특히,^[13] 그것은 아핀이 아니다.
• 아핀 스킴을 넘어서는 단순한 이유는 아핀 스킴의 오픈 서브셋이 아핀일 필요는 없기 때문입니다.예를 들어, 복소수 C에 대해 X = Aⁿ - 0이라고 가정하면, X는 n 2 2에 대해 아핀이 아니다(n에 대한 제한은 필요하다: 아핀 선에서 원점을 뺀 것이 아핀 체계 Spec(C[x⁻¹, x])와 동형이다).X가 아핀이 아님을 나타내기 위해 X의 모든 정규 함수가 n 2 2일 때 A의 정규ⁿ 함수까지 확장된다는 것을 계산한다. (이것은 복소 분석에서 하토그스의 보조함수와 유사하지만 증명하기가 더 쉽다.)즉, 포함 f: X → A는ⁿ O(Aⁿ) = C[x₁, .., x_n]에서 O(X)로 동형성을 유도한다.만약 X가 아핀이라면, f는 동형사상일 것이다.그러나 f는 주관적이지 않고 따라서 동형사상이 아니다.따라서 스킴 X는 ^[14]아핀이 아닙니다.
• k를 필드로 합니다.$\mathrm{다음}$으로, 체계 규격$$δ ($\underset{}{\overset{}{\theta }}\underset{}{\overset{}{}}$n $\underset{}{\overset{}{=}}$ $\underset{}{\overset{}{1}}$k $)(\$ \$left(\text$ _${n=1}^{\infty }k\right)$는 (이산 위상을 갖는) 양의 정수의 스톤-체크 콤팩트화가 기본 위상 공간인 아핀 체계이다.실제로 이 고리의 주요 이상은 양의 정수 상의 울트라 필터와 일대일 대응하며, 이상$\underset{\delta m}{}$ k$$\$textyle$ \$prod$ _${m\neq$ n$}k$는 양의 정수 ^[15]n과 관련된 주요 울트라 필터에 대응합니다$$.이 위상 공간은 0차원이며, 특히 각 점은 축소할 수 없는 구성요소입니다.아핀 스킴은 준콤팩트하기 때문에, 이것은 무한히 많은 환원 불가능한 컴팩트 스킴의 한 예이다.(반면 Noetherian 스킴은 환원 불가능한 컴포넌트가 매우 많습니다).

형태론의 예

형태론의 예들은 대수학 및 산술 기하학에서 많은 연구 대상을 캡슐화하는 기술적 효과를 보여주기 때문에 체계들의 예로서 고려하는 것 또한 유익하다.

산술 표면

$다항식{\displaystyle }$ f${\displaystyle z\mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$[${\displaystyle x}$ , $]$ { $displaystyle$f \$in \mathbb {Z$} [$$$x$ , ${\displaystyle y]}$ / (${\displaystyle }$f$$) { $displaystyle$ X = \$operatorname {Spec$} ( \ $mathbb {Z }$ [ x , y ] /${\displaystyle y}$] } )를$$$$ 고려할 경우, 아핀 ${\displaystyle \mathrm{스킴}}$ X ${\displaystyle =}$ 스펙${\displaystyle }$( ( Z${\displaystyle }$[ ${\displaystyle specific\mathbb{}}$ ] ( ${\displaystyle Z}$ [ x , y ] / ( x , y ） ${\displaystyle ]}$ ( x , y )는 표준 모피즘을 가지고 있습니다. 표면으로 나타나다.$섬유{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ p $=$ × ${\displaystyle {\mathrm{스펙}\delta \mathbb{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$Z )${\displaystyle \mathrm{스펙}{\mathbb{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$p ){ $display style X_${p$}=X\times$ _${\operatorname {Spec}(\$mathbb {$Z$$})}\operatorname {Spec}(\$mathbb {$F}_{p})$은 ${\displaystyle {}_{}}$P 필드 $위$의 대수 곡선입니다.$splaystyle$ f$(x,y)=y^{2}-x^{3}+ax^{2}+bx+c}$는 타원곡선이며 여기서 $\delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $\$ _${f}$에 의해 생성된 식별궤적 위의 섬유는 다음과 같다.

^[16] 모두 하나의 스킴입니다.$예$를 들어 p$\displaystyle$p가$$ 소수이고판별은 $({$입니다. 특히 이 곡선은 소수 $,$ ${\displaystyle p}$({$displaystyle$ 3$,p$보다 특이합니다.

계획의 동기

다음은 체계가 대수적 다양성에 대한 오래된 개념을 넘어서는 방법 중 몇 가지와 그 중요성입니다.

• 필드 확장자필드 k 위의 n개의 변수에 있는 일부 다항식 방정식이 주어지면, 곱집합ⁿ k에 있는 방정식의 해 집합 X(k)를 연구할 수 있다.필드 k가 대수적으로 닫힌 경우(예를 들어 복소수), X(k)와 같은 집합에서 대수기하학을 기초로 할 수 있다: X(k)에 Zariski 토폴로지를 정의하고, 이 유형의 다른 집합들 간의 다항식 매핑을 고려하는 등.그러나 k가 대수적으로 닫히지 않으면 집합 X(k)가 충분히 풍부하지 않습니다.실제로 주어진 방정식의 해 X(E)를 k의 임의의 필드 확장 E로 연구할 수 있지만, 이러한 집합은 합리적인 의미에서 X(k)에 의해 결정되지 않는다.예를 들어, 실수를 미국+y2)−1에 의해 정의된 평면 곡선 X 비어 있지만 X(C) 비어 있지 않다.(사실, X(C)C− 0입니다.)를 대조적으로 확인할 수 있습니다, 야전 k에 대한 계획 XX(R)다 충분한 정보는 모든 확장 필드에 대해 Ek.의 특별한(, A2R defi의 대표적인 subscheme에서 집합 X(E)E-rational 포인트를 결정해야만 한다.nedx² + y² = -1은 비어 있지 않은 위상 공간입니다.)
• 범용 포인트아핀선¹
  _C A의 점들은 하나의 일반 점(폐쇄가 전체 도식)과 함께 하나의 복잡한 점(복소수마다 하나씩)이다.일반점은 자연 형태론 Spec(C(x) → A의¹
  _C 이미지이며, 여기서 C(x)는 하나의 변수에서 유리 함수의 필드이다.구성표에 실제 "일반점"을 갖는 것이 유용한 이유를 알아보려면 다음 예를 참조하십시오.
• X를 복소수 위의 평면 곡선² y = x(x-1)(x-5)라고 하자.이것은 A의 폐쇄²
  _C 서브헤임입니다.이것은 x좌표에 투영함으로써 아핀선¹
  _C A의 라미네이트 이중커버로 볼 수 있다.A의¹ 일반점 위의 형태소 X → A의¹ 섬유는 정확히 X의 일반점이며 형태소를 생성한다.
  $$\displaystyle \operatorname {C}(x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}}\right)\ to \operatorname {Spec} \mathbf {C}(x).}$$

  
  이는 필드의 degree-2 확장과 동일합니다.
  $$\displaystyle \mathbf {C}(x)\subset \mathbf {C}(x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right).}$$

  
  따라서 품종의 실제 일반점을 갖는 것은 대수적 품종의 degree-2 형태론과 함수장의 대응하는 degree-2 확장 사이의 기하학적 관계를 산출한다.이는 기본 그룹(토폴로지의 커버 공간을 분류하는 것)과 Galois 그룹(특정 필드 확장자를 분류하는 것) 사이의 관계로 일반화됩니다.사실, 그로텐디크의 에테일의 기본 그룹에 대한 이론은 기본 그룹과 갈로아 그룹을 같은 기반에서 다룬다.

• 무효 요소.X를 x = 0으로 정의된² 아핀 선¹
  _C A의 닫힌 서브켐(지방 점이라고도 함)이라고 합니다.X의 정규함수의 링은 C[x]/(x²)입니다.특히 X의 정규함수 x는 0이 아니라 0입니다.이 스킴의 의미를 나타내려면 , 아핀 라인상의 2개의 정규 함수가, 같은 값과 최초의 도함수를 가지는 경우에 한정해, X 로의 제한이 같습니다.이러한 축소되지 않은 체계를 허용하는 것은 미적분과 무한소수 개념을 대수기하학으로 가져온다.
• 좀 더 상세한 예로서, 매끄러운 복소 품종 Y에서 도수 2의 모든 0차원 닫힌 부분군을 기술할 수 있다.이러한 하위 헴은 Y의 두 개의 서로 다른 복잡한 점으로 구성되거나, 그렇지 않으면 이전 단락에서와 같이 X = 사양 C[x]/(x²)와 동형이다.접선공간 ^[17]TY_y 내의 선과 함께 Y의 복소점 Y에 의해 후자의 서브셈이 결정된다.이는 다시 축소되지 않은 서브셈이 도함수 및 탄젠트 벡터와 관련된 기하학적 의미를 갖는다는 것을 나타냅니다.

코히런트 시브

체계 이론의 중심 부분은 (대칭) 벡터 다발의 개념을 일반화하는 일관성 있는 단층의 개념이다.체계 X에서, 사람들은 정규 함수_X O의 층 위에 모듈을 형성하는 X 위의 아벨 군들의 층인 O-모듈의_X 아벨 범주에서 시작한다.특히 교환환 R 위의 모듈 M은 X = Spec(R) 상에서 관련된 O모듈_X~M을 결정한다.스킴 X상의 준간접성 시프는 X의 각 아핀 오픈 서브셋 상의 모듈에 관련된 O모듈을_X 의미한다.마지막으로 (Noetherian scheme X에서) 간섭성 시프는 X의 각 아핀 오픈 서브셋에서 완전히 생성된 모듈과 관련된 O 모듈이다_X.

간섭성 시브에는 벡터 번들의 중요한 클래스가 포함됩니다. 벡터 번들은 최종적으로 생성된 자유 모듈에서 로컬로 온 시브입니다.예를 들어, 필드 위의 부드러운 다양성의 접선 번들을 들 수 있습니다.단, 간섭성 시브는 보다 풍부합니다.예를 들어 X의 닫힌 서브헴 Y상의 벡터 다발은 Y의 바깥쪽이 제로인 X상의 간섭성 시프로 볼 수 있습니다(직접 화상 구성에 의해).이와 같이 스킴 X의 일관성 있는 시브는 X의 모든 닫힌 서브셈에 대한 정보를 포함한다.게다가, 시프 코호몰로지는 일관성 있는(및 준-코히런트) 시브에 대한 좋은 특성을 가지고 있다.일관성 있는 층 코호몰로지의 결과 이론은 아마도 대수기하학의 ^[18][19]주요 기술적 도구일 것이다.

일반화

스킴은 포인트의 함수로 간주되며, 교환환 카테고리의 Zariski 토폴로지의 집합 집합이며, Zariski 토폴로지에서는 로컬로 아핀 스킴입니다.이것은 몇 가지 방법으로 일반화할 수 있습니다.하나는 에테일 토폴로지를 사용하는 것입니다.Michael Artin은 대수적 공간을 함수자로 정의했는데, 함수자는 에테일 토폴로지에서는 다발이고 에테일 토폴로지에서는 국소적으로는 아핀 스킴이다.등가적으로 대수공간은 도식 등가관계에 의한 스킴의 몫이다.강력한 결과인 Artin 표현성 정리는 함수자가 대수적 ^[20]공간에 의해 표현될 수 있는 간단한 조건을 제공한다.

또 하나의 일반화는 스택의 개념입니다.대략적으로 말하면, 대수적 스택은 각 점에 부착된 대수적 그룹을 갖는 것으로 대수적 공간을 일반화하며, 이는 그 점의 자기동형성 그룹으로 간주된다.예를 들어 대수적 품종 X에 대한 대수적 군 G의 작용은 G의 작용에 대한 안정기 서브그룹을 기억하는 몫스택 [X/G]를 결정한다.더 일반적으로 대수적 기하학에서의 모듈리 공간은 스택으로 보는 것이 가장 좋기 때문에 분류되는 객체의 자기동형성 그룹을 추적한다.

그로텐디크는 원래 스택을 하강 이론의 도구로 도입했습니다.이 공식에서 스택은 (비공식적으로) 카테고리 ^[21]층입니다.이 일반적인 개념으로부터, Artin은 기하학적 객체로 간주될 수 있는 좁은 종류의 대수적 스택(또는 "Artin 스택")을 정의했다.여기에는 스태빌라이저 그룹이 유한한 Deligne-Mumford 스택(위상의 오르비폴드와 유사)과 스태빌라이저 그룹이 사소한 대수적 공간이 포함된다.킬-모리 정리는 유한 안정기군을 가진 대수적 스택은 대수 공간인 거친 모듈리 공간을 가지고 있다고 말한다.

또 다른 형태의 일반화는 구조층을 풍부하게 하여 대수기하학을 호모토피 이론에 가깝게 만드는 것이다.파생 대수 기하학 또는 "스펙트럼 대수 기하학"으로 알려진 이 설정에서 구조 다발은 교환환 다발의 동질 유사체(예를 들어 E-무한환 스펙트럼 다발)로 대체된다.이 층들은 등가관계까지만 연관성과 가환성을 갖는 대수연산을 허용한다.이 등가관계에 의한 몫은 일반 계획의 구조층을 산출한다.그러나, 상동대수에서 파생된 함수가 텐서 곱과 모듈의 호밍 함수와 같은 연산에 대한 더 높은 정보를 산출하는 것과 같은 방식으로, 이 지수를 취하지 않는 것은 더 높은 정보를 기억할 수 있는 이론으로 이어진다.

「 」를 참조해 주세요.

• 평면 형태론, 매끄러운 형태론, 고유 형태론, 유한 형태론, 에테일 형태론
• 안정 곡선
• 이원 기하학
• 에테일 코호몰로지, 초우군, 호지 이론
• 군표, 아벨 다양성, 선형 대수군, 환원군
• 대수 곡선의 모듈리
• 접착 방식

인용문

레퍼런스

외부 링크

• 데이비드 멈포드, 생물학자들에게 계획을 설명할 수 있나요?
• The Stacks Project Authors, The Stacks Project
• https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/ - 코멘트 섹션에는 스킴이론에 대한 흥미로운 토론이 포함되어 있습니다(Terence Tao의 투고 포함).