완전 미분

다변량 미적분학에서 미분 또는 미분 형식은 일부 다른 함수 Q에 대해 일반 미분 dQ와 같으면, 불분명한 미분과는 대조적으로 정확하거나 완전하다고 한다(정확한 미분이라고 함).

정확한 미분(fact differential)은 때로는 완전 미분(total differential) 또는 완전 미분(full differential)이라고도 하며, 미분 기하학의 연구에서는 정확한 형태라고 부른다.

모든 통합 경로에 대한 정확한 차이의 통합은 경로에 독립적이며, 이 사실은 열역학에서 상태 기능을 식별하는 데 사용된다.

개요

정의

여기서 3차원으로 작업한다고 해도, 다른 차원에 대한 정확한 차이의 정의는 3차원의 정의와 유사하다.3차원으로, 타입의 형태

${\displaystyle A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,ddy+C(x,y,z)\,dz}$

미분형이라고 불린다.$이{\displaystyle }$ 형식은 D ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $도메인$에서 정확히$$ 불리며, D ${\$displaystyle $D}$에 정의된$$ 다른 ${\displaystyle \mathrm{스칼라}}$ 함수 $Q{\displaystyle }$= $Q(x$,$$, $z$) ${\displaystystylean D$}에 정의되어 있다.

${\displaystyle dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{x,z}\,dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\,dz,}$ $dQ=A\,dx+B\,dy+C\,dz}$

전체$$$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$에서 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle$ x$,y,z}$은 직교 좌표(예: Cartesian, 원통형 또는 구형 좌표)이다.즉, 3차원 공간의 어떤 영역에서 미분형식은 다른 기능의 일반적인 미분형과 동일하다면 정확한 미분형이다.

참고: 이 수학 식에서 괄호 밖의 첨자는 분화 중에 일정하게 유지되는 변수를 나타낸다.부분파생상품의 정의 때문에 이러한 첨자는 필수는 아니지만, 상기 사항으로 포함되어 있다.

적분 경로 독립성

The exact differential for a differentiable function ${\displaystyle Q}$ is equal to ${\displaystyle dQ=\nabla Q\cdot d\mathbf {r} }$, that is the scalar product between the conservative vector field ${\displaystyle (A,B,C)=\nabla Q}$ (where the right hand side is the gradient of ${\d$해당 잠재적 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$ 및 일반$$ 차동 변위 벡터$({\displaystyle d}$ x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= d ${\displaystyle r\mathbf{}}$ ${\$에 대한 $isplaystyle$ Q$}$ $).$

그라데이션 정리는 다음과 같다.

${\displaystyle \int \{i}^dQ=\int _{i}^{f}\nabla Q(\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r}=Q\좌(f\right)-Q\좌(i\right)}$

지정된 경로 $끝점{\displaystyle }$ i ${\displaystyle i}$과(와) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 사이에 어떤 통합 경로를 선택하느냐에$$ 따라 달라지지 않는다.따라서 정확한 차이의 적분은 주어진 경로 끝점 사이의 적분 경로 선택(경로 독립성)과는 무관하다는 결론이 내려진다.

3차원 공간의 경우 이 일체형 경로 독립성은 벡터 미적분학 $\times {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle (\nabla Q}$)${\displaystyle }$= 0 ${\$ (\$nabla Q)=\mathbf {$0}}}과(와) 스톡스의$$ 정리를 통해서도 증명할 수 있다.

${\displaystyle \partial \Sigma }\nabla Q\cdmatbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \nabla Q)\cdot d\mathbf {a} =0}$

매끄러운 표면 $[\$$displaystyle \partial \Sigma }$이$($가) 들어 있는 폐쇄 루프 for${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{for}}${\$displaystyle \Sigma$ }.

열역학 상태 함수

열역학에서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle dQ}$이 정확할 때 함수 Q ${\displaystyle$ Q$}$는 $시스템$의 상태 함수(평형 상태에 도달하기 위해 취한 시스템 경로에 따라 달라지지 않고 현재 평형 상태에 대해서만 달라지는 수학적 함수)이다$$.내부 에너지 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ U$\},$ $Entropy{\displaystyle }$ S ${\displaystyle$ $S$$\},$ Enthalpy $H{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $H{\displaystyle }$$\},$ Helmholtz 자유 $에너지$ A {\$displaystystyle$ A$\},$ $Gibbs{\displaystyle }$ 자유$$에너지 G {\$displaystysty G}$은 상태 기능이다.일반적으로 작업 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$이나 $열{\displaystyle }$ Q ${\displaystyle Q}($열을 나타내는 공통 문자, 정확한 차이를 나타내는 데 $동일$한 문자 Q$${\$displaystyle$ Q$}$을 사용하더라도 이를$$ 정확한 차등이라고 혼동하지 마십시오.)는 상태 함수다.

원차원

하나의 차원, 차동 형태

$(\displaystyle A(x)\,dx}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 해독제가 있는 경우(단, 반드시 기본 함수에 관한 것은 아님)에만 정확하다.If ${\displaystyle A}$ has an antiderivative and let ${\displaystyle Q}$ be an antiderivative of ${\displaystyle A}$ so ${\displaystyle {\frac {dQ}{dx}}=A}$, then ${\displaystyle A(x)\,dx}$ obviously satisfies the condition for exactness.If ${\displaystyle A}$ does not have an antiderivative, then we cannot write ${\displaystyle dQ={\frac {dQ}{dx}}dx}$ with ${\displaystyle A={\frac {dQ}{dx}}}$ for a differentiable function ${\displaystyle Q}$ so ${\displaystyle A(x)\,dx}$ is inexact.

2차원과 3차원

두 번째 파생상품의 대칭성에 따라, 모든 "잘된" (비병리학적) 함수 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$에 대해$,$ 우리는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\,\partial y}={\partial ^{2}Q}{\partial y\,\partial x}}}.}$

따라서 xy 면의 단순 연결 영역 R에서 차동 형태

$(\displaystyle A(x,y)\,dx+B(x,y)\,dy}$

방정식이 정확한 차이인 경우에만

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\partial B}{\partial x}\right)_{y}}}}}$

holds. If it is an exact differential so ${\displaystyle A={\frac {\partial Q}{\partial x}}}$ and ${\displaystyle B={\frac {\partial Q}{\partial y}}}$, then ${\displaystyle Q}$ is a differentiable (smoothly continuous) function along ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y$$}$, so ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$. If ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$ holds, then ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ are differentiable (again, smoothly continuous) functions along ${\displaystyle y}$ and ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ respectively, and ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\part$$ial x}\오른쪽)_{y}}}}$이(가)의 경우일$$ 뿐이다.

3차원의 경우, xyz-coordinate 시스템의 단순 연결 영역 R에서, 유사한 이유로, 차등.

${\displaystyle dQ=A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$

기능 A, B, C 사이에 관계가 존재하는 경우에만 정확한 차이점

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\오른쪽)_{x,z}\!\!\!=\왼쪽({\frac {\partial B}{\partial x}\오른쪽)_{y,z}}$; ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\\partial z}\오른쪽)_{x,y}\!\!\=\왼쪽({\frac {\partial C}{\partial x}\오른쪽)_{y,z}}$; ${\displaystyle \left({\frac {\partial B}{\partial z}\\right)_{x,y}\!\!\=\왼쪽({\frac {\partial C}{\partial y}\}\오른쪽)_{x,z}}$

이러한 조건은 다음 문장과 같다.G가 이 벡터 값 함수의 그래프인 경우 표면 G의 모든 접선 벡터 X, Y에 대해 s(X, Y) = 0이며, s(X, Y)는 s이다.

일반화가 쉬운 이러한 조건은 제2차 파생상품의 계산에서 상이한 순서의 독립성에서 비롯된다.따라서 4개의 변수의 함수인 차등 dQ가 정확한 차등이기 위해서는 충족해야 할 6가지 조건($C{\displaystyle }$ ${\displaystyle (4,}$ 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle$ C $(4,2)=6$이 있다.

부분미분관계

If a differentiable function ${\displaystyle z(x,y)}$ is one-to-one (injective) for each independent variable, e.g., ${\displaystyle z(x,y)}$ is one-to-one for ${\displaystyle x}$ at a fixed ${\displaystyle y}$ while it is not necessarily one-to-one for ${\displaystyle (x,y)}$, then 각 독립 변수가 다른 변수($예{\displaystyle }$: x${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle x (y,z)})$에 대해 서로 다른 함수이기 때문에 다음과 같은 총 차분이 존재한다$.$

${\displaystyle dx={\left\frac {\reft x}{\reft y}\\{z}\,dy+{\reft\frac{\reft z}\right)}}_{y}\,dz}$

${\displaystyle dz={\left\frac {\reft z}{\put x}\오른쪽)}_{y}\,dx+{\left\frac {\buffer z}{\buffer y}\{x}\,dy.}$

제1차 방정식을 제2차 방정식으로 대체하여 재배열하면, 우리는 이를 얻는다.

${\displaystyle dz={\left\frac {\reft z}{\put x}\오른쪽)}_{y}\왼쪽[{\left\frac {\reft x}{\reft y}\right)_{z}dy+{\reft x}{\reft z}\right)}_{y}dz\right]+{\left\frac {\reft z}{\reft y}}_{x}dy,}$

${\displaystyle dz=\왼쪽[{\왼쪽 사진\frac {\frack z}{\displaysty x}\오른쪽)}}_{{y}{\reft\frac {\reft x}{\reft y}\right}_{z}+{\reft z}{\reflac {\reft y}}}}{x}\reft z}{\retime z}}\right)}}_{y}{\left\frac {\reft x}{\remit z}\오른쪽)}_{y}dz,}$

${\displaystyle \left[1-{\left\frac {\propert z}{\put x}\오른쪽)}}_{y}{\left\frac {\reft x}{\remit z}\오른쪽)}_{y}\오른쪽]dz=\왼쪽[{\leftft\frac {\reft z}{\reft x}\오른쪽)}}_{y}{\left \frac }{\reft y}}{\reft y}\right)}_{z}+{\reft z}{\reft y}}{x}\right]dy.}$

$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 및 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$이(가) 독립 변수이므로$$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle dy}$ 및 d ${\displaystyle z}$ ${\displaystydz}$을(를) 제한 없이 선택할 수 있다$$.이 마지막 방정식이 일반적으로 유지되려면, 괄호 안의 항은 0과 같아야 한다.^[1]왼쪽 괄호는 0과 같고 오른쪽 괄호는 0과 같고, 오른쪽 괄호는 아래와 같이 순환 관계로 이어진다.

상호관계

대괄호에서 첫 번째 항을 수익률 0으로 설정

${\displaystyle {\왼쪽 사진\frac {\filename z}{\filename x}\오른쪽)}}_{y}{\left\frac {\reft x}{\remit z}\오른쪽)}_{y}=1.}$

약간의 재배열은 상호주의적인 관계를 형성하고

${\displaystyle {\왼쪽 사진\frac {\filename z}{\filename x}\오른쪽)}_{y}={\frac{1}{\frac\frac\frac {\reftx}{\reft z}\오른쪽)}}_{y}}}.}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$ y ${\displaystyle y},$ $z$ ${\displaystyle z}$ 사이에 총 3개의 상호주의 관계를 제공하는 앞에서 설명한 파생어의 순열이 두 개 더 있다$.$

순환관계

순환 관계는 순환 규칙 또는 트리플 제품 규칙으로도 알려져 있다.대괄호에서 두 번째 항을 수익률 0으로 설정

${\displaystyle {\왼쪽 사진\frac {\filename z}{\filename x}\오른쪽)}}_{y}{\left \frac {\reft ×}{\reft y}}}_{z}=-{\reft \frac {\reft z}{\reft y}\right)}_{x}.}$

이 방정식에 대해$$ $\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{z}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ y ${\${\$tfrac {\partial$ z$}{\partial$ y$}}$에 대한 상호주의 관계를 사용하고 다시 정렬하면 주기적 관계(트리플 제품 규칙)를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\reftx}{\reft y}}\refrac {\reft y}{\reft z}\right}{\reft z}}}_{x}{\reftz z}{\reft z}}\right)}_{y}=-1.}$

대신${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$subsequent ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{y}{}}$ ${\$ {\tfrac ${\partial x}{\partial y}}$ 및 $\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{y}{}}$ ${\displaystyle \frac{y}{\mathrm{}}}$z ${\$ y$}{\partial z}}}$에 대한 상호주의 관계를 후속 재배치와 함께 사용할$$ 경우, 암묵적 분화의 표준 형식을 얻는다.

${\displaystyle {\left \frac {\reft y}{\reft x}\right}_{\frac {{\frac}{\reft x}\right)}}_{y}}}{{\좌측값\frac {\buffer z}{\buffer y}\오른쪽)_{x}}}$

2차원의 정확한 미분에서 도출된 일부 유용한 방정식

(열역학 방정식 이론에서 정확한 미분 사용에 대한 브리드먼의 열역학 방정식도 참조)

우리가 5개의 상태 함수 $z{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle$ z$,x,y,u$$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) 가지고 있다고 가정하자$.$ 상태 공간이 2차원이고 5개 수량 중 어느 하나라도 다를 수 있다고 가정하자.그럼 체인 룰에 의해

${\displaystyle dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}dy=\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial z}{\partial v}}\right)_{u}dv}$

(1)

그러나 또한 체인 규칙에 의해 다음과 같다.

${\displaystyle dx=\left u}\frac {\put u}\\오른쪽)_{v}du+\left\frac {\put x}{\put v}\precovery v}{u}preciation v}_{u}preci}}}{u}pa}procieca}}}}$

(2)

그리고

${\displaystyle dy=\left u}\frac {\reft y}{\reft u}\right)_{v}du+\left\frac {\reflt y}{\reft v}\right)_{u}u}pa}rec}$

(3)

((2)와 (3)을 (1)로 대체함으로써:

${\displaystyle{\begin{정렬}dz=&, \left[\left({\frac{\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac{\partial)}{\partial 너}}\right)_{v}+\left({\frac{\partial z}{\partial는 y}}\right)_{x}\left({\frac{\partial는 y}{\partial 너}}\right)_{v}\right]du\\+&, \left는 경우에는 \left({\frac{\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac{\partial)}{\partial v.}}\right)_{{u}+\왼쪽_\frac {\put z}{\put y}}\{x}\precovery\frac {\precent y}{\precent v}\right}_{u}\preged}}}}}$

(4)

즉 (4)와 (1)을 비교함으로써 다음을 의미한다.

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}}$

(5)

(5)에서$$ ${\displaystyle v}$= y ${\displaystyle v=y}$을(를) 허용하면 다음이 제공된다.

${\displaystyle \left \frac {\reft z}{\reft u}\오른쪽)_{y}=\left z}{\reft z}{\reflac {\reft x}{\reft uffect u}\right}}}}}}}}{y}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{y}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

(6)

(5)에서$$ $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u=y}$을(를) 허용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \left \frac {\reft y}}{\reft z}{\reft x}\right)_{v}\reft z}{\reft z}{\reft x}{\reft y}}_{v}+\refltx}$

(7)

(5)에서$$ ${\displaystyle u}$= y ${\displaystyle u=y}$ 및$$ $v{\displaystyle }$= ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle v=z}$을(를) 허용하면 다음이 제공된다.

${\displaystyle \left \frac {\reft j}{\reft y}\right)_{x}=-\reft z}{\reft z}{\reflt z}\{\reft x}{\reftime y}\right)_{z}}}}}$

(8)

( ${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle a}$ /${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle b{}_{}}$) c${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 1}$/ (${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ ${\displaystyle b}$/ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ a${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle c}$ ${\$를 사용하면 다음과 같은 삼중 제품 규칙이 제공된다$$.

${\displaystyle \left z}{\reft x}}\right)_{y}\reflac {\reft x}{\reft y}}_{z}\reflac {\reft y}{\reft z}\right)_{x}$

(9)

참고 항목

• 보다 높은 수준의 치료를 위한 폐쇄적이고 정확한 차이점 형태
• 차동(수학)
• 불규칙 미분
• 비정확한 미분방정식을 정확하게 만들어 해결하기 위한 인자 통합
• 정확한 미분 방정식

참조

• 페로트, P. (1998)열역학 A to Z.뉴욕: 옥스퍼드 대학 출판부.
• Dennis G. Zill (14 May 2008). A First Course in Differential Equations. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.

외부 링크

• Inactive Different – Wolfram MathWorld의 제품
• 정확하고 부정확한 차이점 – 애리조나 대학교
• 정확하고 부정확한 차이점 – 텍사스 대학교
• 정확한 차이 - Wolfram MathWorld의 차이점