링드 스페이스

수학에서 고리형 공간은 제한의 역할을 하는 고리 동형식과 함께 위상학적 공간의 열린 하위 집합에 의해 매개변수화된 (명확한) 반지의 가족이다.정확히 말하면, 그것은 구조물 덮개라고 불리는 고리 조각이 장착된 위상학적 공간이다.오픈 서브셋에서 연속(scalar 값) 함수의 링 개념을 추상화한 것이다.

링이 있는 공간들 중에서 특히 중요하고 눈에 띄는 공간은 국소적으로 링이 있는 공간이다: 한 지점에 있는 줄기와 한 지점에 있는 기능의 세균의 링 사이의 유추법이 유효한 링이 있는 공간이다.

고리형 공간은 복잡한 대수 기하학 및 대수 기하학의 체계 이론뿐만 아니라 분석에도 나타난다.

참고: 링이 달린 공간의 정의에서 대부분의 엑스포는 하르트손과 위키피디아를 포함한 링이 서로 다른 링으로 제한되는 경향이 있다.반면에 "Eléments de géometrie algébrique"는 이 책이 주로 상쇄적인 경우를 고려하기는 하지만, 상쇄적인 가정을 강요하지는 않는다.^[1]

정의들

링이 있는 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(X$, ${\mathcal {O}_{X}})$은$$위상학적 공간 ${\$$displaystyle X}$에 있는 ${\displaystyle {링}_{}}$의 O X ${\$과 함께$$ 있는 $공간$이다$.$셰이프 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$을(를) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 구조 셰이프라고 한다$$$.$

로컬 링 공간은 링된 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ )${\displaystyle(X,$ {\$mathcal{O}_{X})$으로, ${\displaystyle {OX}_{}}$ ${\$의 모든 줄기는 로컬 링(즉, 고유한 최대 이상을 가지고 있음)이다$$.$O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}U}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}_{X}(U)}$이(가) 모든 오픈 세트 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 로컬 링이$$ 될 필요는 없다는 점에 유의하십시오$.$ 사실 이는 거의 해당되지 않습니다.

예

임의의 위상학적 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$은(는) X ${\$$displaystyle${\$mathcal{O}_{X}}$을(를) X {\$displaystyle$ X$\}$의 열린 하위 집합에 대한 실제 값(또는 복잡한 값) 연속 함수의 껍질로 취함으로써$$ 로컬 링 공간이라고 볼 수 있다$$.x $지점$의 줄기는 x ${\displaystyle$ x$}$에서 $연속적$인 기능의 모든 세균의 집합으로 생각할 수 있다$$$.$ x ${\displaystyle x}$에서 값이 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$인 세균들로 구성된 고유한 최대 이상형을 가진 로컬 링이다$.$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 어떤 추가 구조를 가진 다지관이라면, 우리는 또한 서로 다르고 복잡한 분석적 기능의 피복도 가져갈 수 있다.이 두 가지 모두 국부적으로 링이 달린 공간을 만들어낸다.

If ${\displaystyle X}$ is an algebraic variety carrying the Zariski topology, we can define a locally ringed space by taking ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ to be the ring of rational mappings defined on the Zariski-open set ${\displaystyle U}$ that do not blow up (become infinite) within ${\di$$splaystyle U$ 이 예제의 중요한 일반화는 모든 정류 링의 스펙트럼이다. 이러한 스펙트럼은 국소적으로 링된 공간이기도 하다.스키마는 정류 링의 스펙트럼을 "함께 접착"하여 얻은 국소 링 공간이다.

형태론

A morphism from ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ to ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ is a pair ${\displaystyle (f,\varphi )}$, where ${\displaystyle f:X\to Y}$ is a continuous map between the underlying topological spaces, and ${\displaystyle \phi :{\mathcal{O}}_Y\to {}_{}}$${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}${\$displaystyle \varphi :{\mathcal{O}_{Y}\to f_{*}{\mathcal{O}_{X}}}}}$는 Y ${\displaystyle Y}$의 구조 피복에서 X의 구조 피복의 직접 이미지에 이르는$$ 형태론이다.즉$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle X}$, ${\displaystyle O_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (X,$ {\$mathcal {O}_{X})$부터 $({\displaystyle Y}$, O ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle ($Y, ${\mathcal {O}_{Y})$까지의 형태론은 다음 데이터로 주어진다$$.

• 연속 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$
• a family of ring homomorphisms ${\displaystyle \varphi _{V}:{\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}$ for every open set ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle Y}$ which commute with the restriction maps.즉, $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$개가$ Y ${\displaystyle Y}$의 두 개의 열린 하위 집합인 경우 다음 다이어그램을 통근해야 한다(수직 지도는 제한 동형).

국부적으로 링된 공간 사이의 형태에 대한 추가 요건이 있다.

• the ring homomorphisms induced by ${\displaystyle \varphi }$ between the stalks of ${\displaystyle Y}$ and the stalks of ${\displaystyle X}$ must be local homomorphisms, i.e. for every ${\displaystyle x\in X}$ the maximal ideal of the local ring (stalk) at ${\displaystyle f(x)\in Y}$ is mapped i$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in$ X$}$에 있는 로컬 링의 최대 이상에 도달$.$

두 가지 형태는 새로운 형태론을 형성하기 위해 구성될 수 있으며, 우리는 고리형 공간의 범주와 국부적 고리형 공간의 범주를 얻는다.이러한 범주의 이소모형은 보통과 같이 정의된다.

접선 공간

국부적으로 링이 달린 공간은 접선 공간의 의미 있는 정의를 가능하게 하기에 충분한 구조를 가지고 있다.Let ${\displaystyle X}$ be locally ringed space with structure sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$; we want to define the tangent space ${\displaystyle T_{x}(X)}$ at the point ${\displaystyle x\in X}$. Take the local ring (stalk) ${\displaystyle R_{x}}$ at the point $$${\displaystyle x}${\$displaystyle$ x$\},$ 최대 이상 ${\displaystyle m_{}}$ $x{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\$ 그런 다음 ${\displaystyle k_{}}$ x ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$/ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle x{\mathfrak{}}_{}}$ ${\$$=R_{x}/{\mathfrak{m}_{x}}}$은(는) 필드이며 ${\displaystyle m_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle m{\mathfrak{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은 해당 필드(동탄한 공간) 위에 있는 벡터 공간이다.접선 공간 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x{}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle T_{x}(X)}$은 이 벡터 공간의 이중으로 정의된다$$.

아이디어는 다음과 같다:$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$의 접선 벡터는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$},$즉 R x {\$displaystyle R_{x}$의 요소에서 "기능"을 "차별화"하는 방법을 알려$$ 주어야 $한다{\displaystyle }$.$$이제 다른 모든 기능이 0이므로, x ${\displaystystyle$ x$}$에서 값이$$ 0인 함수를 구별하는 방법을 아는 것으로 충분하다.s는 상수에 의해서만 이것들과 다르며, 우리는 상수를 구별하는 방법을 안다.따라서 $우리$는 m ${\displaystyle x_{}}$ ${\$만 고려하면 된다$.$ 더욱이 $만약{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에서 값이 0인 두 함수가 주어진다면 그들의 제품은 제품 규칙에 의해 x ${\displaysty$ x}에 $파생상품$0이 있다.그래서 $우리$는 m ${\displaystyle x_{}}$ /${\displaystyle {}_{}m{\mathfrak{}}_{}^{}}$ x ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$mathfrak{m}/{\$mathfrak{m}_{x}^{2}}$의 원소에 "number"를 할당하는 방법만 알면 되는데$,$ 이것이 이중 공간이 하는 것이다.

${\displaystyle {\mathcal{O}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$ - modules$$

로컬 링 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle O_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(X,$ {\$mathcal$ {$O}_{X}})$이 지정된 경우$,$ $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$의 특정 모듈 조각이 애플리케이션에서 발생하며$$, $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$modules$$.To define them, consider a sheaf F of abelian groups on ${\displaystyle X}$. If F(U) is a module over the ring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ for every open set ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle X}$, and the restriction maps are compatible with the module structure, then we call ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$ $O$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$ -module$$.이 경우, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 $있는{\displaystyle }$ F$${\$displaystyle$F}의 줄기는 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ X$∈$ X$${\$displaystyle x\in$ X$\}$에 $대해$ 로컬 링($stalk$) R$$x {\displaystyle R_${x$}}} 위에 있는 모듈이 된다$$.

그러한 두 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$modules$$ 사이의 형태론은 주어진 모듈 구조와 호환되는 피복의 형태론이다.고정 로컬 링스페이스${\displaystyle (X}$ , ${\displaystyle O_{}}$X $){\displaystyle(X,$ {\$mathcal$${O}_{X})$에 $대한{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {OX}_{}}${\mathcal ${$O$}_{X}-$modules의$$ 범주는 아벨리안 범주다.

An important subcategory of the category of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules is the category of quasi-coherent sheaves on ${\displaystyle X}$. A sheaf of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules is called quasi-coherent if it is, locally, isomorphic to the cokernel of a map between free $$${\displaystyle {\mathcal{O}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$ - modules$$.A coherent sheaf ${\displaystyle F}$ is a quasi-coherent sheaf which is, locally, of finite type and for every open subset ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle X}$ the kernel of any morphism from a free ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$-modules of finite rank to ${\displaystyle F_{U}}$또한 유한한 유형이다.

인용구

참조

• 섹션 0.4 ofGrothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

외부 링크

• Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Ringed space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press