대수학 품종의 형태론

대수 기하학에서 대수적 품종 사이의 형태론은 다항식들에 의해 국소적으로 주어지는 품종들 사이의 함수다.일반지도라고도 한다.대수적 품종에서 아핀 선까지의 형태론을 정규 함수라고도 한다.역도 정규인 일반 지도를 이레골라 하며 대수 품종의 범주에서 이형성이라고 한다.정규 및 이항은 매우 제한적인 조건이기 때문에(프로젝티브 변종에는 일정하지 않은 정규 함수가 없음) 합리적 지도와 혼성 지도의 약한 조건도 자주 사용된다.

정의

If X and Y are closed subvarieties of ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ and ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ (so they are affine varieties), then a regular map ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ is the restriction of a polynomial map ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\to \mat$$hbb {A} ^{m}}$ 명시적으로$$ 다음과 같은 형태를 띠고 있다.^[1]

${\displaystyle f=(f_{1},\properties,f_{m}}}}$

$여기$서 f ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 X의 좌표 링 안에 있다.

${\displaystyle k[X]=k[x_{1},\dots,x_{n}]/I,}$

여기서 I는 이상적인 정의 X이다(참고: f - g가 I에 있는 경우에만 두 다항식 f와 g는 X에서 동일한 기능을 정의한다).이미지 f(X)는 Y에 있으므로 Y의 정의 방정식을 만족한다.즉, ${\displaystyle \mathrm{일반}}$ 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to Y}$는 $구성{\displaystyle }$ 요소가 Y ${\displaystyle Y}$의 정의 방정식을 만족하는 다항식 맵의 제한과 동일하다$.$

보다 일반적으로 f(U) ⊂ V와 f(x)의 제한된 함수 f와 같이 x의 인접 U와 f(x)의 인접 V가 있는 경우 두 변종 사이의 지도 f:X→Y는 한 지점에서 규칙적이다.U→V는 U와 V의 일부 부속 차트에서 함수로서 정규적이다.그리고 X의 모든 지점에서 규칙적인 경우 f를 정규라고 부른다.

• 참고: X와 Y가 붙는 품종이라면, 두 번째 의미에서는 그렇게 될 경우에만 첫 번째 의미에서는 지도 f:X→Y가 규칙적이라는 두 정의가 일치한다는 것은 즉시 명백하지 않다.^[a]또한 규칙성이 첨부 차트의 선택에 따라 달라지는지 여부는 즉시 명확하지 않다(그렇지 않다).^[b]그러나 이러한 종류의 일관성 문제는 공식적인 정의를 채택하면 사라진다.형식적으로 (추상) 대수적 다양성은 특정한 종류의 국소 고리형 공간으로 정의된다.이 정의를 사용할 때, 품종의 형태론은 단지 국소적으로 링된 공간의 형태론일 뿐이다.

정규지도의 구성은 다시 규칙적이기 때문에, 대수적 다양성은 형태론이 정규지도인 대수적 품종의 범주를 형성한다.

아핀 품종 사이의 정기 지도는 좌표 고리 사이의 대수 동형성에 역행적으로 대응한다: f:X→Y가 아핀 품종의 형태론이라면 대수 동형성을 정의한다.

${\displaystyle f^{\#:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f}$

where ${\displaystyle k[X],k[Y]}$ are the coordinate rings of X and Y; it is well-defined since ${\displaystyle g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})}$ is a polynomial in elements of ${\displaystyle k[X]}$. Conversely, if ${\displaystyle \phi :k[Y]\t$$o k[X]}$는 대수적 동형성이며, 그러면 형태주의를 유도한다.

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y}$

주어짐: ${\displaystyle k}$[ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle {}_{}}$[ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$/ J${\displaystyle }$, ${\displaystyle k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,}$

${\displaystyle \phi ^{a}=(\phi({\overline {y_{1}}),\phi,\phi({\overline {y_{m}}}})}$

여기서$$ $y{\displaystyle {\stackrel{\text{'}}{}}_{}}$${\displaystyle i_{}}$${\$은$($는) $y{\displaystyle {}_{}}$i {\$displaystyle$ y_${i}$s의 모습이다.^[c]$참고{\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {a^{}}^{}}$ = # =$=$ {\$displaystyle {\phi^{a}^{\#}=\$phi $}$과(와) f$$ # a${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle f{{.\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {f^{\}^{a}=f.$$}}$ 특히^[d] f는^# 좌표 링의 이형성일 경우에만 아핀 변종의 이형성이다.

예를 들어, X가 부류 Y의 폐쇄적인 하위 변종이고 f가 포함인 경우, f는^# Y에서 X까지의 정규 함수의 제한이다.자세한 예는 아래 #예제를 참조하십시오.

정규 함수

특히 Y가 A와¹ 같은 경우 정규지도 f:X→A를¹ 정규함수라고 하며, 미분 기하학에서 연구된 매끄러운 함수의 대수적 유사점이다.정규함수의 링(좌표 링 또는 보다 추상적으로 구조체 피복의 글로벌 부분의 링)은 아핀 대수 기하학에서 기본적인 물체다.투사적 다양성에 대한 유일한 정규 함수는 일정하다(이는 복합 분석에서 리우빌의 정리를 대수학적 아날로그로 볼 수 있다).

스칼라 함수 f:X→A는¹ x의 일부 개방형 어핀 근방에서 x에 규칙적인 합리적인 함수인 경우 x 지점에서 규칙적이다. 즉, x 근처에 f = g/h 및 h가 x에서 사라지지 않는 규칙적인 함수 g, h가 있다.^[e] 주의: 조건은 모든 쌍(g, h)에 대한 것이 아니다. 예를 참조하십시오.

X가 준 투영 품종인 경우, 즉 투영 품종의 개방형 하위 품종인 경우, 함수 필드 k($X)$는 X의 폐쇄 $X{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $}$의 그것과 동일하며, 따라서 X에 대한 합리적인 함수는 일부 균질 좌표 링 $k$에서 같은 수준의 h인 g/h 형식이다.${\displaystyle [}$ ${\displaystyle X\stackrel{}{}}$${\displaystyle \stackrel{}{}}$$]{\displaystyle k[{\overline{X$$}}}}$의 X $}{\$}}}($$cf).투영 버라이어티#변량 구조)그 다음 X에 대한 합리적인 함수 f는 $k{\displaystyle }$[${\displaystyle \stackrel{}{}X}$]$${\$displaystyle$ k$[{\overline{X}}}}$에 같은 수준의 동질 원소 g가 있는 경우에만 x 지점에서 규칙적이어서 f = g/h 및 h가 사라지지 않는다$$.이러한 특성화는 때때로 정규 함수의 정의로 받아들여지기도 한다.^[2]

계획의 형태론과 비교

만약 X = Spec A와 Y = Spec B가 붙는 체계라면, 각 고리 동형성 : : B → A는 형태론을 결정한다.

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}\mapsto \pi ^{-1}({\mathfrak {p})}$

최고의 이상에 대한 선입견을 가지면서아핀 체계 사이의 모든 형태는 이런 유형이며, 그러한 형태론을 붙이는 것은 일반적으로 계획의 형태론을 제시한다.

Now, if X, Y are affine varieties; i.e., A, B are integral domains that are finitely generated algebras over an algebraically closed field k, then, working with only the closed points, the above coincides with the definition given at #Definition. (Proof: If f : X → Y is a morphism, then writing ${\displaystyle \phi =f^{\#}}$, we n보여 주도록 유도된

${\displaystyle {\mathfrak{m}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}_{x}}}}}$

where ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}}$ are the maximal ideals corresponding to the points x and f(x); i.e., ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}}$. This is immediate.)

이 사실은 아핀 다양성의 범주가 k에 대한 아핀 계획의 전체 하위 범주로 식별될 수 있다는 것을 의미한다.품종의 형태는 어핀 체계의 형태론을 붙임으로써 얻어지는 것과 같은 방식으로 어핀 체종의 형태론을 붙임으로써 얻어지기 때문에, 그 종류들의 범주는 k에 대한 체계 범주의 완전한 하위 범주라는 것을 따른다.

자세한 내용은 [1]을 참조하십시오.

예

• A의ⁿ 정규함수는 정확히 n개의 변수에 있는 다항식이고 P의ⁿ 정규함수는 정확히 상수다.
• X를 아핀 곡선 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$2$\}\}.$ $그러면$
  $${\displaystyle f:X\to \mathbf {A}^{1},\(x,y)\mapsto x}$$

  
  형태론이다; 역 $g{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$)과 함께 비거주적이다$.$ ($x)=(x,x^{2$}). g도 형태론이기 때문에 f는 품종의 이형성이다$.$
• ${\displaystyle X^{}}$를 아핀 곡선 $y{\displaystyle {}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 그러면
  $${\displaystyle f:\mathbf {A}^{1}\to X,\,t\mapsto(t^{2}-1,t^{3}-t)}}$$

  
  형태론이다.그것은 고리 동형성에 해당한다.
  $${\displaystyle f^{\#:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}$$

  
  (f는 추월적이기 때문에) 주입하는 것으로 보인다.
• 앞의 예제를 계속하면서 U = A¹ - {1}을(를) 두십시오.U는 하이퍼플레인 t = 1의 보완물이므로 U는 아핀이다.제한 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ X ${\displaystyle f:$$U\to$ X$}$은(는) 비굴하다.But the corresponding ring homomorphism is the inclusion ${\displaystyle k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]}$, which is not an isomorphism and so the restriction f _U is not an isomorphism.
• X를² 아핀 곡선 x² + y = 1로 하고
  $${\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}}$$

  
  그렇다면 f는 X에 대한 합리적인 함수다.X에 대한 합리적인 함수로서 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$+ y ${\$로 표기할 수 있기 때문에 표현에도 불구하고 (0, ${\displaystyle 1}$)에서 규칙적이다$.$
• X = A² - (0, 0)로 두십시오.그렇다면 X는 품종의 공개 부분집합이기 때문에 대수적 품종이다.If f is a regular function on X, then f is regular on ${\displaystyle D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}}$ and so is in ${\displaystyle k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k$$[x,x^{-1},y$ 마찬가지로 k${\displaystyle }$[${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle {\mathrm{y},}^{}}$ y - 1${\displaystyle {}^{}}$]$${\$displaystyle k[x,y,$y^{-$1$ 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.
  $${\displaystyle f={g \over x^{n}={h \over y^{m}}}$$

  
  여기서 g, h는 k[x, y] 단위의 다항식이다.그러나 이것은 g가 x에ⁿ 의해 분할될 수 있다는 것을 의미하므로 f는 사실상 다항식이다.따라서 X에 대한 규칙적인 기능의 링은 k[x, y]에 불과하다.(이것은 만약 X였다면, X는 그것의 좌표 고리에 의해 결정되기 때문에 X는 아핀될² 수 없다는 것을 보여준다.)
• P¹ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}{}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$의 점 x와${\displaystyle }$∞ = (1 : 0)로 점(x : 1)을 식별하여$$ A의 점(x : 1)과 ∞ = (1 ${\displaystyle \mathrm{:}}$ 0${\displaystyle )}$을$\표시$ \$mathbf${P}$^{$1}=\$mathbf$ {A$} ^{1$}\cupty $\}}}$을(으)로 가정해 보자.σ(x : y) = (y : x) = (y : x)가 주는 P의¹ 자동형성 σ이 있는데, 특히 σ은 0과 ∞을 교환한다.만약 f가 P의¹ 합리적인 함수라면,
  $${\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}$$

  
  그리고 f(1/z)가 0으로 규칙적인 경우에만 f가 ∞에서 규칙적이다.
• 불가역 대수 곡선 V의 함수 필드 k(V)를 취하면 함수 영역의 함수 F는 모두 V에서 k.^{[clarification needed]} (cf. #Properties)를 통한 투영 선까지의 형태로서 실현될 수 있다.이미지는 단일 점 또는 전체 투영 선(이것은 투영 품종의 완전성의 결과)이 될 것이다.즉, F가 실제로 일정하지 않는 한, 우리는 V의 일부 지점에서 값 value을 F에 귀속시켜야 한다.
• 모든 대수 품종 X, Y, 투영에 대해
  $$[\displaystyle p:X\time Y\to X,\,\(x,y)\mapsto x}$$

  
  다양성의 형태론이다.X와 Y가 붙으면 그에 상응하는 고리 동형성은
  $${\displaystyle p^{\#}k[X]\to k[X]=k[X]=k[X]\otimes _{k}k[Y]\,f\mapsto f\otimes 1}$$

  
  여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle (f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y)=f(x$

특성.

다양성 사이의 형태론은 자리스키 토폴로지의 원천과 대상과 관련하여 지속된다.

품종 형태론의 이미지는 열거나 닫을 필요가 없다(${\displaystyle 예}$를 들어, $A{\displaystyle {\mathbf{}}^{\mathrm{}}}$ → ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$, (${\displaystyle }$x ,${\displaystyle y}$ )${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \mathbf {A} ^2}\to \mathbf$ {$A}$^{2$},$ (x$,y)\mapsto (x,x)}$는 열거나 닫히지 않는다$$.그러나 f가 품종들 사이의 형태론이라면 f의 이미지는 그것의 닫힘의 개방된 밀도 하위 집합을 포함한다. (cf. constructible set)

대수형 변종의 형태론 f:X→Y는 조밀한 이미지를 가지고 있으면 지배적이라고 한다.그러한 f의 경우, V가 Y의 비어 있지 않은 개방형 부속품인 경우, F(U) v V와 F${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$#${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle K}$[ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ]}$→ $K{\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f^{\#}:k[V]\to[U]}$가 주입되는$$ X의 비어 있지 않은 개방형 부속품 U가 있다.따라서 지배적 지도 f는 기능장 레벨에 대한 주입을 유도한다.

${\displaystyle k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\\g\mapsto g\circ f}$

여기서 한계는 Y의 모든 비빈 개방 부속품 위로 흐른다.(더 추상적으로 이것은 ${\displaystyle Y}$의 일반 지점의 잔류 필드에서 X의 잔류 필드까지 유도된 지도) 반대로 필드 k ($Y{\displaystyle }$)${\displaystyle \hookrightarrow }$ k (${\displaystyle X}$ )${\displaystyle k(Y)\hook$ rightarrow $k(X)}$의 모든 포함은 X에서 Y까지의 지배적인 합리적 지도에 의해 유도된다$$.^[3]따라서 위의 구조는 필드 k에 대한 대수적 변종 범주와 이들 사이의 지배적인 합리적 지도와 미세하게 생성된 필드 확장 k 범주 사이의 반비례적 등가성을 결정한다.^[4]

X가 매끄러운 전체 곡선(예¹: P)이고 f가 X에서 투영 공간 P까지의^m 합리적인 지도라면 f는 일반 지도 X → P이다^m.^[5]특히 X가 매끄러운 완전곡선일 때 X에 대한 어떤 합리적 함수는 형태론 X → P로¹, 반대로 X에 대한 합리적 함수로써 그러한 형태론을 볼 수 있다.

정상적인 품종(특히 부드러운 품종)에서 이성적인 기능은 코디네이션의 극이 없는 경우에만 규칙적이다.^[f]이것은 하토그스의 확장 정리를 대수적으로 비유한 것이다.이 사실에 대한 상대적 버전도 있다. [2]를 참조한다.

기초적인 위상학적 공간들 사이의 동형성인 대수적 품종들 사이의 형태론은 이소모르피즘이 될 필요가 없다(프로베니우스 $형태론{\displaystyle }$ t ${\displaystyle \mapsto }$ t ${\displaystyle p^{}}$ p${\displaysty$t$\mapsto t^{p}}).$ 한편 f가 편향적 생식이고 f의 목표 공간이 정상 품종이라면 f는 이소형이다.. (cf. 자리스키의 주요 정리)

복잡한 대수학 품종 사이의 정규 지도는 홀로모르픽 지도다.(실제로 약간의 기술적 차이가 있다:정규지도는 단수점을 탈부착할 수 있는 메로모르픽 지도이지만, 실제로는 그 구분이 보통 무시된다)특히 복잡한 숫자에 대한 정기적인 지도는 일반적인 홀모픽 함수(복제 분석 함수)에 불과하다.

투영 공간에 대한 형태론

내버려두다

${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{m}}}$

투사적 다양성에서 투사적 공간에 이르는 형태론이다.X의 지점이 되게 하라.그 다음 f(x)의 일부 i번째 균일 좌표는 0이 아니다. 예를 들어 i = 0은 단순성을 나타낸다.그리고 연속성에 의해 x의 오픈 아핀 근린 U가 있다.

${\displaystyle f:U\to \mathbf {P}^{m}-\{y_{0}=0\}}}}}}$

형태론이다. 여기서_i y는 균일한 좌표다.Note the target space is the affine space A^m through the identification ${\displaystyle (a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})}$.따라서 정의에 의해 제한 f는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle f _{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))}$

여기서 g는_i U의 정규 함수다. X는 투영적이므로, 각 g는_i X의 동질 좌표 링 k[X]에서 같은 정도의 동질 원소의 일부분이다.분수는 모두 f라고₀ 하는 동일한 동분모를 가지도록 배열할 수 있다.그러면_i 우리는_i 일부 동질 원소 f에 대해 k[X]로 g = f/f를_i0 쓸 수 있다.균일한 좌표로 돌아가면

${\displaystyle f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\display :f_{m}(x)}$

f가_i x에서 동시에 사라지지 않는 한 모든 x in U와 모든 x in X에 대한 연속성에 의해.X 지점에서 동시에 사라지는 경우 위의 절차에 따라 x에서 동시에 사라지지 않는 다른 f 세트를_i 선택할 수 있다(섹션 끝의 참고 참조).

실제로 위의 설명은 모든 준프로젝트 버라이어티 $X$의${\displaystyle \stackrel{}{}}$개방형 하위 변수인 모든 준프로젝트 버라이어티 X에 유효하며$,$ F가_i $X$의${\$디스플레이 $스타일 {\overline$ {$X}$의 균일한 좌표 링에 있다는 점이 다르다$.$

참고: 위에서는 투사적 다양성으로부터 투사적 공간에 이르는 형태론이 단일 다항식 집합에 의해 주어진다고 말하지 않는다(어핀 케이스와 달리).예를² 들어, P에서 X를 원뿔 y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle$ y$^{2$}=$xz}$가 되도록 한다.Then two maps ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x:y)}$ and ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (y:z)}$ agree on the open subset ${\displaystyle \{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}}$ of X (since ${\displaystyle (x:y)=(xy:y^2)=(xy:xz)=(}$${\displaystyle (x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)$$=(y:z$ ) 및 이와 같이 $형태론{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$:${\displaystyle }$X → ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^$1}$을(를) 정의한다$.$

형태론의 섬유

중요한 사실은 다음과 같다.^[6]

뭄포드의 붉은 책에서는 노에더의 정상화 보조정리법을 통해 정리가 증명된다.일반적 자유도가 주 역할을 하고 "범용적 카트리네이션 링"의 개념이 입증의 핵심인 대수학적 접근방법은 "대수 기하학을 향한 관점을 가진 통상적 대수학" 14장의 아이젠버드를 참조한다.실제로 그곳의 증거는 f가 평탄하면, 정리의 2.에 있어서의 차원 균등이 일반적으로 (일반적으로만 있는 것이 아니라) 유지된다는 것을 보여준다.

유한 형태론의 정도

Let f: X → Y는 필드 k에 걸친 대수적 변종들 사이의 유한한 굴절형 형태론이다.그 다음, 정의상 f의 정도는 fk^*(Y)에 대한 함수장 k(X)의 유한장 확장의 정도를 말한다.일반적 자유도에 의해 Y에는 일부 비어 있지 않은 개방형 서브셋 U가 있어_Y 구조체 Sheaf O_X to f⁻¹(U)의 제한이 O - module로서 자유롭다.f의 정도는 이 자유 모듈의 등급이기도 하다.

만약 f가 étale이고 X, Y가 완전하다면, Y에 대한 어떤 일관성 있는 sheaf F에 대해 오일러 특성을 위해 writing을 쓰고,

$\displaystyle \chi(f^{*}F)=\deg(f)\chi(F)}$^[7]

(리만-)후르비츠 공식은 여기서 "이탈"을 생략할 수 없다는 것을 보여준다.)

In general, if f is a finite surjective morphism, if X, Y are complete and F a coherent sheaf on Y, then from the Leray spectral sequence ${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{*}F)}$, one gets:

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infit }-1)^{q}\chi(R^{q}f_{*}f^{*}F)=\sum _{q=0}^{}F.}$

In particular, if F is a tensor power ${\displaystyle L^{\otimes n}}$ of a line bundle, then ${\displaystyle R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n}}$ and since the support of ${\displaystyle R^$${q}f_{*}{\mathcal{O}_{X}}$ q가 양이면 양성 코드인 것으로$$ 선행 항을 비교하면 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {deg}(f^{*}L)=\operatorname {deg}(f)\operatorname {deg}(L)}$

($f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$의 일반 순위는 f의 정도이므로$$)

만약 f가 etale이고 k가 대수적으로 닫힌다면, 각 기하학적 섬유⁻¹ f(y)는 정확히 deg(f) 점으로 구성된다.

참고 항목

• 대수함수
• 부드러운 형태론
• Etale morphism – 국소 차이점 유형의 대수적 아날로그.
• 특이점 분해능
• 수축 형태론

메모들

인용구

참조