투영선

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수학에서 투영선은 대략적으로 말해서 무한대 점이라고 불리는 점만큼 통상적인 선의 연장선이다.특수한 경우를 제거함으로써 기하학의 많은 이론의 진술과 증명은 단순화된다. 예를 들어 투영 평면의 두 개의 뚜렷한 투영 선이 정확히 한 점에서 만난다('평행'한 경우는 없다).

투영 선을 공식적으로 정의하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 가장 일반적인 방법 중 하나는 일반적으로 P(K)로¹ 표기되는 필드 K 위에 투영 선을 2차원 K 벡터 공간의 1차원 부분 공간 집합으로 정의하는 것입니다.이 정의는 투영 공간의 일반적인 정의의 특별한 인스턴스입니다.

실수에 투영된 선은 다양체입니다. 자세한 내용은 실제 투영 선을 참조하십시오.

균질 좌표

투영선¹ P(K)의 임의의 점은 한 쌍의 형태를 취하는 균질 좌표의 등가 클래스로 표현될 수 있다.

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}}$

둘 다 0이 아닌 K 원소의 경우.이러한 두 쌍은 전체적으로 0이 아닌 계수 θ만큼 차이가 나면 동등합니다.

$\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\sim [\displayda x_{1}:\displayda x_{2}]}$

무한대에서 점만큼 연장된 선

투영 선은 무한대에서 점만큼 연장된 선 K로 식별할 수 있습니다.보다 정확하게는 선 K는 다음과 같이 주어진 P(K)의¹ 서브셋으로 식별될 수 있다.

$\displaystyle \left\{x:1}\in \mathbf {P}^{1}(K)\mid x\in K\right\}.}$

이 부분 집합은 무한대의 점이라고 하는 한 점을 제외한 P(K)의¹ 모든 점을 포함합니다.

$\displaystyle \infty = [ 1 : 0 ]}$

이것은 다음 공식에 의해 K에 대한 산술을 P(K)로¹ 확장할 수 있다.

${{displaystyle {1}{0}}=\infty,\qquad {1}{\infty}}=0,}$

$\displaystyle x\cdot \infty =\infty \displaystyle x\text{if}\display x\not =0}$

$\displaystyle x+\infty =\infty\displaystyle x\text{if}\display x\infty =\infty}$

[0 : 0]이 발생하지 않는 경우, 동종 좌표의 관점에서 이 산술을 변환하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${{displaystyle [x_{1}:y_{2}}=[(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}:x_{2}y_{2}},$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}\cdot [y_{1}:y_{2}=[x_{1}y_{1}:x_{2}y_{2},}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]^{-1}=[x_{2}:x_{1}]}$

예

실제 투영선

실수 위에 투영된 선을 실제 투영 선이라고 합니다.또한 무한대에서 이상화된 점 at과 함께 선 K로 간주할 수 있으며, 점이 K의 양끝에 연결되어 닫힌 루프 또는 위상 원이 생성됩니다.

예를 들어 R의 점을² 단위원 위에 투영한 후 직경 대척점을 식별함으로써 얻을 수 있다.그룹 이론의 관점에서 우리는 부분군 {1, -1}의 몫을 취할 수 있다.

'와 -'를 구별하는 확장실수행을 비교합니다.

복소 투영선: 리만 구

복소 평면에 무한대의 점을 추가하면 위상적으로 구면인 공간이 생성됩니다.따라서 복잡한 투영선은 리만 구(때로는 가우스 구)로도 알려져 있다.콤팩트 리만 표면의 가장 단순한 예로서 복소해석, 대수기하학, 복소다양체 이론에서 지속적으로 사용되고 있다.

유한 필드의 경우

q 요소의 유한 필드_q F에 걸친 투영 라인은 q + 1 포인트를 가집니다.다른 모든 면에서 다른 유형의 필드에 정의된 투영 선과 다르지 않습니다.균질 좌표[x : y]의 관점에서 이들 점의 q는 다음과 같은 형태를 가진다.

[a : 1] F의_q 각 a에 대해

무한대의 나머지 점은 [1 : 0]으로 나타낼 수 있다.

대칭군

일반적으로 K에 계수가 있는 호모그래피 그룹은 투영선¹ P(K)에 작용한다.이¹ 그룹 작용은 과도적이어서 P(K)는 그룹을 위한 균질 공간이며, 종종 이러한 변환의 투영적 특성을 강조하기 위해₂ PGL(K)로 작성된다.Transitivity는 어떤 점 Q를 다른 점 R로 변환하는 호모그래피가 존재한다고 말합니다.따라서 P(K)에서¹ 무한대의 점은 좌표 선택의 아티팩트이다: 균질 좌표

$(\displaystyle [X:Y]\sim [\lambda X:\lambda Y]}$

1차원 부분 공간을 0이 아닌 단일 점(X, Y)으로 표현하지만 투영 선의 대칭은 점 θ = [1: 0]을 다른 점으로 이동할 수 있으며, 이는 전혀 구별되지 않습니다.

일부 변환은 i = 1, 2, 3에 대해 주어진 개별_i 점 Q를 다른 개별 점의 3-태플_i R(반복성)로 가져갈 수 있다는 점에서 훨씬 더 사실이다.이 규격의 양은 PGL(K)의₂ 3차원을 '소모'합니다. 다시 말해, 그룹 작용은 급격히 3-과도적입니다.이것의 계산적인 측면은 교차비율이다.사실, 일반화된 반전은 사실이다: 첨예한 3-과도적 그룹 작용은 항상 투영 선상에서 일반화된 형태의₂ PGL(K) 작용과 동일하며, "필드"를 "KT 필드"로 대체하고, "PGL"을 "더 약한 종류의 혁신에 대한 역"으로 대체하고, "PGL"을 투영 선형 ^[1]지도의 상응하는 일반화로 대체한다.

대수 곡선으로서

사영선은 대수 곡선의 기본 예시이다.대수기하학의 관점에서 P(K)는¹ 0속 비단수곡선이다.만약 K가 대수적으로 닫히면, 그것은 K에 대한 유일한 곡선으로, 합리적인 등가까지이다.일반적으로 0속 a(비단수) 곡선은 원뿔형 C에 대해 K를 넘는 이성적으로 등가이며, 원뿔형 C는 C가 K에 대해 정의된 점을 가지고 있는 경우에만 그 자체가 원뿔형 선과 등가이며, 기하학적으로 그러한 점 P를 원점으로 사용하여 명확한 2차 등가를 만들 수 있다.

투영 라인의 함수장은 단일 불확정 T에서 K에 대한 유리 함수의 필드 K(T)이다.K(T) over K의 필드 자기동형은 위에서 설명한 바로₂ 군 PGL(K)이다.

단일점을 제외한 K 위의 대수적 품종 V의 함수장 K(V)는 K(T)와 동형이다.이원 기하학의 관점에서, 이것은 V에서 P(K)까지¹ 일정하지 않은 합리적인 지도가 있을 것이라는 것을 의미한다.이미지는 P(K)의¹ 많은 점만 완전히 생략하고, 전형적인 점 P의 역이미지는 치수 Dim V - 1이 됩니다.이것은 차원으로 유도되는 대수기하학에서의 방법의 시작입니다.유리 지도는 복소 해석의 다형 함수와 유사한 역할을 하며, 실제로 콤팩트 리만 표면의 경우 두 개념이 일치한다.

만약 V가 차원 1이라고 가정한다면, 우리는 전형적인¹ 대수 곡선 C의 그림을 얻게 된다.C가 비단수형이라고 가정하면(K(C)부터 시작하는 일반성의 손실이 없는) C에서 P(K)까지의¹ 이러한 합리적 맵은 실제로 정의되어 있는 모든 곳에 존재한다(예를 들어 곡선이 교차하는 이중점은 합리적인 맵 후에 불확실한 결과를 얻을 수 있기 때문에 특이점이 있는 경우에는 해당되지 않는다).이것은 기하학적 특징이 라미네이션인 그림을 제공한다.

많은 곡선(예: 초감각 곡선)은 투영 선의 라미네이트 커버로 추상적으로 표시될 수 있습니다.리만에 따르면-Hurwitz 공식, 그 속은 오직 파편의 종류에만 의존합니다.

유리곡선은 사영선(합리품종 참조)과 선천적으로 동등한 곡선이며, 그 속은 0이다.투영 공간ⁿ P에서 합리적인 정규 곡선은 적절한 선형 부분 공간에 놓여 있지 않은 합리적인 곡선이다; 다음과 같이 균질 좌표에서 파라메트릭하게 주어진 하나의 예(투영 ^[2]등가까지)가 있는 것으로 알려져 있다.

[1 : t : t²ⁿ : ... : t ]

첫 번째 흥미로운 사례는 꼬임입방체를 참조하십시오.

「 」를 참조해 주세요.

• 투영적으로 확장된 실선
• 교차비율
• 투영 범위
• 뫼비우스 변환
• 대수 곡선
• 링 위에 투영된 선

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