열거형상

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수학에서, 열거 기하학은 주로 교차 이론을 통해 기하학적 질문에 대한 해답의 수를 세는 것과 관련된 대수 기하학의 한 분야이다.

역사

아폴로니우스의 문제는 열거형 기하학의 가장 초기 사례 중 하나이다.이 문제는 주어진 세 개의 원, 점 또는 선에 접하는 원의 수와 구성을 요구합니다.일반적으로, 주어진 세 개의 원에 대한 문제는 8개의 해를 가지는데, 이것은 2로³ 볼 수 있으며, 각각의 접선 조건은 원의 공간에 2차 조건을 부과한다.그러나, 주어진 원의 특별한 배열의 경우, 해는 0에서 6까지의 정수일 수 있다. 아폴로니우스 문제에 대한 7개의 해는 없다.

주요 도구

초급부터 고급까지 다양한 도구가 있습니다.

• 치수 계산
• 베주 정리
• 슈베르트 미적분학 및 코호몰로지에서의 보다 일반적인 특성 클래스
• 코호몰로지와 계수 교차점의 연결은 Poincaré 이중성이다.
• 곡선, 지도 및 기타 기하학적 물체의 모듈리 공간에 대한 연구, 때로는 양자 코호몰로지 이론을 통해.양자 코호몰로지, 그로모프-위튼 불변성 및 거울 대칭의 연구는 클레멘스 추측에 상당한 진전을 가져왔다.

열거형 기하학은 교차 이론과 매우 밀접하게 연관되어 있다.

슈베르트 미적분

열거형 기하학은 헤르만 슈베르트의 ^[1]손에 의해 19세기 말에 눈부신 발전을 보였다.그는 더 넓은 영역에서 기본적인 기하학적, 위상학적 가치를 증명한 슈베르트 미적분을 목적을 위해 도입했다.열거형 기하학의 구체적인 필요성은 1960년대와 1970년대(예를 들어 스티븐 클라이만(Steven Kleiman)이 지적한 바와 같이)에 좀 더 주의를 기울일 때까지 다루어지지 않았다.교차로 번호는 엄격하게 정의되었지만(André Weil에 의해 1942-6년 기초 프로그램의 일부로, 그리고 그 후에 다시 정의됨), 이것은 열거형 질문의 적절한 영역을 소진하지 않았다.

퍼지 인자와 힐베르트의 15번째 문제

다음 예시와 같이 Nave의 치수 카운팅과 Bézout의 정리를 적용하면 잘못된 결과를 얻을 수 있습니다.이러한 문제에 대해, 대수 기하학자들은 모호한 "퍼지 팩터"를 도입했는데, 이는 수십 년이 지난 후에야 엄격하게 정당화 되었다.

예를 들어 투영 ^[2]평면에서 지정된 선 5개에 접하는 원뿔 단면을 세십시오.원뿔은 6개의 계수를 균질 좌표로 하여 치수 5의 투영 공간을 구성하며, 주어진 점을 통과하면 선형 조건이 부과되므로 점들이 일반적인 선형 위치에 있는 경우 5개의 점이 원뿔을 결정한다.마찬가지로, 주어진 선 L에 대한 접선(접선은 다중도 2의 교차점)은 하나의 2차 조건이므로 P의 4차⁵ 조건이 됩니다.그러나 이러한 모든 4진수로 구성된 제수의 선형계는 기저 궤적이 없는 것은 아니다.사실 이러한 각 4차원에는 원뿔을 매개 변수로 하는 베로네스 표면이 포함되어 있습니다.

(aX + bY + cZ)² = 0

'더블 라인'이라고 합니다.이는 투영 평면의 선이 두 배로 교차하기 때문에 평면의 모든 선과 교차하기 때문에 이중 선이 두 배로 교차하므로 교차 조건(다중도 2의 교차점)이 선에 접하는 비이형 원뿔과 동일한 교차 조건(다중도 2의 교차점)을 만족합니다.

일반 베주 정리에 따르면 5개의 일반 4진수가 32 = 2개의⁵ 점에서 교차할 것이다.하지만 여기 있는 관련 4진표는 일반적인 위치에 있지 않습니다.(기하학의 관점에서) 정답을 남기기 위해서는 32에서 31을 빼서 베로니스에 귀속시켜야 한다. 즉, 1이다.교차로를 '퇴보' 사례로 귀속시키는 이 과정은 '퍼지 요인'의 전형적인 기하학적 도입이다.

힐베르트의 15번째 문제는 이러한 개입의 명백한 자의성을 극복하는 것이었다; 이 측면은 슈베르트의 미적분 자체의 근본적인 질문을 넘어선다.

클레멘스 추측

1984년 H. 클레멘스는 5차 $3중{\displaystyle }$ X$$ P $(\$X\subset P$^{4})$에서 유리 곡선의 수를 계산하여 다음과 같은 추측에 도달했다.

X${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {P4\mathrm{}}^{}}$({$style$X\$subset P^{4$})를 일반 5진수 $,$ d ({$displaystyle$ d$$$})$를 양의 정수라고 $가정$하면$$X ({$displaystyle$X$\})$의 $차수{\displaystyle }$d (\$displaystyle$ d$)$의 유리 곡선은 유한하다.

이 추측은 $케이스{\displaystyle }$ d${\displaystyle 9}$9 ( $displaystyle$d \ $leq$9 )로 해결되었습니다만, 보다 $높은{\displaystyle }$d ( $displaystyle$d $)$에 대해서는 아직 유효합니다.

1991년에 이론적 입장에서 5차의 삼중에 P4에 거울 대칭에 대해 paper[3]{\displaystyle P^{4}};0{\displaystyle d>0}. 이에 앞서 대수 geometers d≤을 위해서만 이 숫자들 계산할 수 있정도 d합리적인 곡선의 X{X\displaystyle}에 모든 d을에 번호가 있다.5{\di$splaystyle$ d$\leq$ 5$\}$ 입니다.

예

대수기하학에서 역사적으로 중요한 열거의 예는 다음과 같다.

• 2 공간에서 4개의 일반 라인과 만나는 라인의 수
• 8 3개의 일반 원에 접하는 원의 수(아폴로니우스의 문제).
• 27 매끄러운 입방체 표면의 라인 수(Salmon 및 Cayley)
• 2875 일반 5진수 3배의 줄 수
• 3264 일반 위치에서 5개의 평면 원뿔에 접하는 원뿔의 수(채슬)
• 609250 일반 5진수 3배의 원뿔수
• 4407296 8개의 일반적인 4차원 표면 Fulton에 접하는 원뿔의 수(1984년, 페이지 193년)
• 666841088 3공간의 일반 위치에서 주어진 4차원 표면에 접하는 4차원 표면의 수(Schubert 1879, 페이지 106) 하비 오차: 대상 없음: CITREFSchubert 1879(도움말) (Fulton 1984, 페이지 193)
• 5819539783680 3공간에서 일반적인 위치에서 주어진 4차원 표면에 접하는 12개의 꼬임 입방곡선의 수(Schubert 1879, 페이지 184) 하비 오류: 대상 없음: CITREFSchubert 1879(도움말) (S. Kleiman, S. Strömme & S. Xambo 1987)

레퍼런스

• Kleiman, S.; Strømme, S. A.; Xambó, S. (1987), "Sketch of a verification of Schubert's number 5819539783680 of twisted cubics", Space curves (Rocca di Papa, 1985), Lecture Notes in Math., vol. 1266, Berlin: Springer, pp. 156–180, doi:10.1007/BFb0078183, ISBN 978-3-540-18020-3, MR 0908713
• Schubert, Hermann (1979) [1879], Kleiman, Steven L. (ed.), Kalkül der abzählenden Geometrie, Reprint of the 1879 original (in German), Berlin-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-09233-1, MR 0555576

외부 링크

• Bashelor, Andrew; Ksir, Amy; Traves, Will (2008). "Enumerative Algebraic Geometry of Conics". Amer. Math. Monthly. 115 (8): 701–7. doi:10.1080/00029890.2008.11920584. JSTOR 27642583.