링 위의 투사선

수학에서, 반지를 넘는 투사선은 한 분야를 넘는 투사선 개념의 연장이다.링 A가 1인 경우, A 위의 투사선 P(A)는 투사 좌표로 식별된 점으로 구성된다.U를 A의 단위 그룹으로 하자; A × A의 쌍(a, b)과 (c, d)는 ua = c, ub = d와 같은 U가 있을 때 관계가 있다.이 관계는 동등성 관계다.대표적인 등가 등급은 U[a, b]라고 쓴다.

P(A) = { U[a, b] : A + bA = A}, 즉, a와 b가 생성하는 이상이 모두 A이면 U[a, b]는 투영선에 있다.

투사선 P(A)에는 호모그래피 집단이 갖추어져 있다.호모그래피는 다음과 같이 A에 매트릭스 링과 그 그룹 V를 통해 표현된다.c가 U의 중심인 Z(U)에 있는 경우, P(A)의 매트릭스 0 ) ${\$의 그룹 작업은 ID 매트릭스의 동작과 동일하다.이러한 행렬은 V의 정규 부분군 N을 나타낸다.P(A)의 호모그래피는 지수군 V/N의 요소에 해당한다.

P(A)는 내장 E : a → u[a, 1]로 인해 A의 사본을 포함하고 있어 A의 연장선으로 간주된다.일반적으로 A의 단위 U 그룹에 제한되는 승법 역방향 매핑 u → 1/u는 P(A)에 대한 동음이의어로 표현된다.

${\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=U[1,a]\틱심 U[a^{-1,1].}$

또한 u,v ∈ U의 경우, uav 매핑 a → uav를 호모그래피로 확장할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\0&v\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}v&0\\\0&u\end{pmatrix}=U[av,u]\thicksim U[u^{1}av,1].}$

u는 임의적이기 때문에 u를⁻¹ 대신할 수도 있다.P(A)에 대한 호모그래피를 선형-추상 변환이라고 한다.

${\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,zc+d]\icksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),1].}$

인스턴스

필드가 가장 친숙한 링:GF(2) 위의 투영 선에는 다음 세 가지 요소가 있다.U[0,1], U[1,0], U[1,1].그것의 동음이의어 그룹은 이 세 가지에 대한 순열 그룹이다.^{[1]: 29}

Z/3Z 또는 GF(3)는 1, 0 및 -1 원소를 가지며, 1과 -1이 모두 단위이므로 그 투영 라인은 U[1,0], U[1,1], U[1,-1] 4개 원소를 가진다.이 투영 라인의 호모그래피 그룹은 행렬 또는 순열로 설명되는 12개의 요소를 가지고 있다.^{[1]: 31} 유한장 GF(q)의 경우 투사선은 갈루아 기하학 PG(1, q)이다. J. W. P. Hirschfeld는 투사선에서 q = 4, 5, 7, 8, 9에 대한 고조파 테트라드를 기술했다.^[2]

유한 링 이상

n이 복합수일 때는 P(Z/nZ)를 고려한다.p와 q가 n을 나누는 뚜렷한 소수라면, Z/nZ에서는 <p>와 <q>가 최대 이상이고, Bézout의 정체성에 의해 Z에는 ap + bq = 1과 같은 a와 b가 존재하므로 U[p, q]가 P(Z/nZ)에 있지만, 그것은 정식 내장 하에 있는 요소의 이미지는 아니다.P(Z/nZ)의 전체는 U[up, vq], u v v, u, v u U = Z/nZ의 단위로 작성된다.여기서 인스턴스 Z/nZ는 n = 6, 10 및 12에 대해 주어지며, 여기서 모듈식 산술에 따르면 링의 단위 그룹은 각각 U = {1,5}, U = {1,3,7,9}, U = {1,5,7,11}이다.모듈식 산술은 각 표에서 주어진 문자가 여러 점을 나타낸다는 것을 확인할 것이다.이 표에서 점 U[m, n]은 표 하단의 행에서 m으로, 표의 왼쪽 열에 n으로 라벨을 표시한다.예를 들어 무한대 A = U[V, 0] 지점, 여기서 v는 링의 단위다.

n = 6, 10, 12의 경우 링 Z/nZ 위에 투사선을 표시하는 표.

링 Z/6Z 위의 투사 라인 5 B G F E D C 4 J K H 3 I L L I 2 H K J 1 B C D E F G 0 A A 0 1 2 3 4 5

링 Z/10Z 위의 투사 라인 9 B K J I H G F E D C 8 P O Q M L 7 B E H K D G J C F I 6 O L Q P M 5 N R N R R N R N 4 M P Q L O 3 B I F C J G D K H E 2 L M Q O P 1 B C D E F G H I J K 0 A A A A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

링 Z/12Z 위의 투사 라인 11 B M L K J I H G F E D C 10 T U N T U N 9 S V W S O W V O 8 R X P R X P 7 B I D K F M H C J E L G 6 Q Q Q Q 5 B G L E J C H M F K D I 4 P X R P X R 3 O V W O S W V S 2 N U T N U T 1 B C D E F G H I J K L M 0 A A A A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

추가 지점은 확장된 복합 상반면에 있는 이성인 Q ⊂ R ⊂ C와 연관될 수 있다.P(Z/nZ)에 있는 동음이의 집단을 주 일치 부분군이라고 한다.^[3]

위상학적 링 위상

분할 링 위의 투사선은 단일 보조 지점 point = U[1,0]을 생성한다.예로는 실제 투사선, 복잡한 투사선, 분기에 걸친 투사선이 있다.위상학적 고리의 이러한 예는 투영선을 원 포인트 콤팩트화로서 가지고 있다.콤플렉스 숫자 필드 C의 경우는 뫼비우스 그룹을 호모그래피 그룹으로 하고 있다.합리적 숫자 Q에 대해 좌표의 동질성은 P(Q)의 모든 요소가 P(Z)의 요소로 표현될 수 있음을 의미한다.마찬가지로 P(Q)의 동음이의어는 모듈 그룹의 요소인 P(Z)의 자동화에 해당한다.

이중 숫자에 대한 투영 선은 1906년 요제프 그룬왈드에 의해 설명되었다.^[4]이 링은 nn = 0을 만족하는 nonzero nilpotent n을 포함한다.이중 숫자의 평면 { z = x + yn : x,y ∈ R }에는 점 U[1, xn], x ∈ R의 라인을 포함하는 투영 선이 있다.^[5]이사크 야글롬은 이를 보조선이 포함될 때 원통의 위상이 있는 '반복적인 갈릴레이 평면'이라고 표현해 왔다.^{[6]: 149–53} 마찬가지로 A가 국부적인 고리인 경우, A의 최대 이상적 요소에 해당하는 점들에 인접한 점들에 의해 P(A)가 형성된다.

분할 복합 번호의 링 M에 걸친 투영 선은 보조 선 {U[1, x(1 + j)] : x ∈ R } 및 { U[1,x(1 - j)] : x ∈ R }을(를) 도입한다. 입체 투영을 사용하여 분할 복합 번호의 평면은 이 선들과 함께 하나의 시트의 하이퍼볼로이드에 닫힌다.^{[6]: 174–200 [7]}M 위의 투영 선은 동음이의 매핑에 따른 하이퍼볼라의 행위로 특징지어질 때 민코프스키 평면으로 불릴 수 있다.

체인스

복잡한 평면의 실제 선은 뫼비우스 변환에 따라 원과 다른 실제 선으로 퍼머되는데, 이는 실제로 복잡한 투영 선에 실제 투영 선의 표준적 임베딩을 허용한다.A가 F 필드 위에 있는 대수라고 가정하고, F가 실제 숫자 필드이고 A가 복잡한 숫자의 필드인 경우를 일반화한다.P(A)에 P(F)를 표준적으로 내장하는 것은

${\displaystyle U_{F}[x,1]\mapsto U_{A}[x,1],\quad U_{F}[1,0]\mapsto U_{A}[1,0].}$

체인은 P(A)에 있는 동음이의 P(F)의 이미지다.만약 그들의 크로스 레이트가 F. Karl von Staudt가 그의 "실제 스트로크" 이론에서 이 속성을 착취한다면 4점은 체인 위에 놓여있다.^[8]

점-병렬주의

P(A)의 두 지점은 연결 체인이 없는 경우 평행이다.점수는 자신과 평행하다는 규약이 채택되었다.이 관계는 투영 라인에 대한 호모그래피의 작용에 따라 불변한다.쌍으로 된 세 개의 평행하지 않은 점이 주어진다면, 세 개를 연결하는 독특한 체인이 있다.^[9]

모듈

The projective line P(A) over a ring A can also be identified as the space of projective modules in the module ${\displaystyle A\oplus A}$. An element of P(A) is then a direct summand of ${\displaystyle A\oplus A}$. This more abstract approach follows the view of projective geometry as the geometry of subspaces of a vector s페이스는 때때로 개럿 비르코프의^[10] 격자 이론이나 라인홀드 배어의 선형 대수학 및 투영 기하학과 관련이 있다.이성적 정수 Z의 링의 경우, P(Z)의 모듈 합계는 U[m, n]로, m coprime을 n으로 좁히고 A가 위상학일 때 P(A)의 주요 특징인 임베딩을 생략한다.1981년 W. 벤츠, 한스-조아힘 사마가, 헬무트 셰이퍼의 기사는 직접적인 합계 정의에 대해 언급하고 있다.

"투사적 표현: 링 위의 투사선"^[11]이라는 글에서 매트릭스 링 M₂(R)의 단위 그룹과 모듈 및 바이모듈의 개념은 링 위에 투사선을 정의하는데 사용된다.단위 그룹은 GL(2,R)로 표시되며, 일반 선형 그룹에서 표기법을 채택하며, 여기서 R은 보통 필드로 간주된다.

투영선은 R × R의 자유순환하편 R(1,0)의 GL(2,R)에 따른 궤도의 집합이다. 벤츠의 정류 이론을 확장하면, 고리 원소의 오른쪽 또는 왼쪽의 승법 역의 존재는 P(R)와 GL(2,R)과 관련이 있다.디데킨드-핀라이트 속성이 특징이다.가장 중요한 것은 분할 링 K 위에 투영된 공간에서 P(R)의 표현은 왼쪽 K-벡터 공간인 (K,R)-바이모듈 U와 오른쪽 R-모듈로 이루어진다.P(R)의 포인트는 P(K, U × U) 이형체의 하위 스페이스로 보완된다.

크로스 레이티오

a, b, c 세 개의 특정 고리 원소를 투사 선으로 가져가는 호모그래피 h를 U[0,1], U[1,1], U[1,0]라고 한다.때로는^[12][13] 네 번째 점 x : (x,a,b,c) = h(x)의 값으로 교차 비율을 취하기도 한다.

a, b, c 제너레이터 호모그래피에서 h를 빌드하려면

${\displaystyle {\pmatrix}0&#1\1&0\end{pmatrix},{\\pmatrix}1&0\t&1\end{pmatrix},{\nd{pmatrix}u&0\1\end{pmatrix}}}}}}}$

고정점에 주의하여 사용함: +1과 -1은 반전하로 고정됨, U[1,0]는 번역하로 고정됨, U[0,1]와 U[1,0]가 고정된 상태에서 "회전"이 유지됨.지시사항은 c를 먼저 배치한 후 번역과 함께 a를 U[0,1]에 가져오고, 마지막으로 교대로 b를 U[1,1]로 이동시키는 것이다.

보조정리: A가 정류 링이고 b - a, c - b, c - a가 모두 단위라면,

${\displaystyle \frac{}{}\frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{b}{}}$- ${\displaystyle \frac{c}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle c\frac{\mathrm{}}{}}$ -${\$은(는) 단위다$$.

proof: Evidently ${\displaystyle {\frac {b-a}{(b-c)(c-a)}}={\frac {(b-c)+(c-a)}{(b-c)(c-a)}}}$ is a unit, as required.

정리 :${\displaystyle }$(${\displaystyle b}$- ${\displaystyle c{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$+ ${\displaystyle (c}$- ${\displaystyle a{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$가 단위라면$$ G(A)에는 다음과 같은 동음이의어 h가 있다.

h(a) = U[0,1], h(b) = U[1,1], h(c) = U[1,0].

증명: $p{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle b}$- c${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$+ (${\displaystyle c}$- a${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$는 a를 0으로 넣은 후 U[1,0]로 반전시킨 후 c의 이미지를$$ U[0,1]로 가져온다.p는 단위이므로, 회전에 사용되는 그것의 역은 p를 U[1,1]로 이동하여 a, b, c가 모두 적절하게 배치된다.보조정리란 h가 존재하기에 충분한 조건을 말한다.

하나의 교차비 적용은 삼중 a, b, c의 투영적 고조파 결합을 원소 x 만족(x, a, b, c) = -1로 정의한다.그런 사중배는 조화 사중배이다.유한장 GF(q)에 걸친 투사선의 고조파 4차선은 q = 5, 7, 9에 대해 투사 선형 그룹 PGL(2, q)을 구분하고 우발적 이형성을 입증하기 위해 1954년에 사용되었다.^[14]

역사

아우구스트 페르디난드 뫼비우스는 그의 저서 바이꼬틱 미적분(1827년)과 그의 1855년 논문 "기하 기하학자 다르스텔룽의 테오리 데어 크라이스반트샤프트" 사이의 뫼비우스 변형을 조사했다.Karl Wilhelm Feuerbach와 Julius Plucker 또한 균일한 좌표 사용을 시작했다는 공로를 인정받고 있다.1898년 에두아르드 스터디와 1908년 에일리 카탄은 각각 독일어와 프랑스 수학 백과사전을 위한 초복형 숫자에 관한 기사를 썼는데, 이들은 뫼비우스의 산술을 모방할 때 이 산술들을 선형 분수 변환으로 사용한다.1902년에 시어도어 바알렌은 클리포드 대수학의 선형 분수 변환을 탐구하는 짧지만 참조가 잘 된 논문을 기고했다.^[15]이중번호 D의 반지는 요제프 그룬왈드가 1906년에 P(D)를 전시할 기회를 주었다.^[4]코라도 세그르(1912년)는 그 반지로 개발을 계속했다.^[5]

바이오쿼터니온 변환을 통한 초기 상대성 채택자 중 한 명인 아서 콘웨이는 1911년 상대성 연구에서 쿼터니온-복제-반전 변환을 고려했다.^[16]1947년에 아일랜드의 P.G. 고믈리에 의해 반역적인 쿼터니온 기하학의 일부 요소가 설명되었다.^[17]1968년 이사크 야글롬의 기하학 콤플렉스 넘버가 러시아어로 번역된 영어로 등장했다.그곳에서 그는 유클리드 평면의 선 지오메트리를 묘사하기 위해 P(D)를, 로바체프스키 평면의 경우 그것을 묘사하기 위해 P(M)를 사용한다.야글롬의 텍스트 A Simple Non-U클리드 기하학은 1979년 영어로 나타났다.174페이지에서 200페이지까지 그는 밍코우스키안 기하학을 개발하고 P(M)를 "반복적인 밍코우스키 평면"이라고 묘사한다.야글롬의 본문의 러시아 원본은 1969년에 출판되었다.두 판 사이에 월터 벤츠(1973)는 M에서 가져간 균일한 좌표를 포함한 그의 책을^[7] 출판했다.

참고 항목

• 유클리드 과수원

참고 및 참조

• Sky Brewer(2012) "초복형 번호에 대한 투영 교차 비율", 적용 Clifford Algebras, DOI 10.1007/s00006-12-0335-7.
• I. M. 야글롬(1968) 기하학의 복잡한 번호.

추가 읽기

• G. Anchochea(1941) "Le thorem de von Staudt en Géomettrie projective Quaternionienne", 저널 퓌르 수학크, 밴드 184, 헤프트 4, SS 193–8"
• N. B. 리마예(1972) "한 선의 교차 비율과 프로젝트", Matheatische Zeitschrift 129: 49–53, MR0314823.
• B.V. 리마예 & N.B.리마예(1977) "상호반지 위에 투영된 선의 기본 정리", Aequisitiones Mathematica 16:275–81.MR0513873.
• B.V. 리마예 & N.B.리마예(1977) "비확정 로컬 링 위에 투영된 라인의 기본 정리", 아르키브 데르 수티크 28(1):102–9 MR0480495.
• 마르셀 와일드(2006) "임의 길이 두 모듈을 위한 투영 기하학의 기본 정리", 수학의 로키 마운틴 저널 36(6):2075–80.

외부 링크

• 슬로바키아 과학원 천문연구소의 미토드 사니가(2006) 유한 링 위의 투영선(pdf)