파노 평면

유한 기하학에서 파노 평면(Gino Fano 이후)은 순서 2의 유한 투영 평면이다. 점 및 선 수가 가장 적은 유한 투영 평면(모든 선에 3개, 모든 점을 통과하는 3개 점)이다. 이 평면의 표준 표기법은 투영 공간 계열의 구성원으로서 PG(2, 2)이며, 여기서 PG는 "투영 기하학"을 의미하며, 첫 번째 매개변수는 기하학적 치수, 두 번째 매개변수는 순서다.

Fano 평면은 유한 입사 구조의 한 예로서, 그 특성 중 많은 부분은 입사 기하학 연구에 사용되는 조합 기법과 기타 도구를 사용하여 설정할 수 있다. 투영 공간이기 때문에 대수학 기법도 연구에 효과적인 도구가 될 수 있다.

동일좌표

Fano 평면은 두 개의 원소를 가진 유한장 위에 투영 평면으로 선형 대수학을 통해 구성할 수 있다. 파노 평면이 가장 작을 때 다른 유한한 영역에도 마찬가지로 투영 평면을 구성할 수 있다.

균일한 좌표를 통한 투사 공간의 표준 구조를 사용하여, 파노 평면의 7개 지점에는 이진수 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111의 7개의 0이 아닌 순서의 3배수로 라벨을 붙일 수 있다. 이것은 두 점 p와 q마다, 라인 pq의 세 번째 점에는 p와 q modulo 2의 라벨을 추가하여 라벨을 형성하는 방식으로 이루어질 수 있다. 즉, 파노 평면의 점들은 순서 2의 유한장 위에 차원 3의 유한 벡터 공간의 0이 아닌 점에 해당한다.

이 공사로 인해 파노 평면은 너무 작아서 (10점, 10선이 필요한) 비데아게스 구성을 포함할 수 없음에도 데사게스 평면으로 간주되고 있다.

또한 파노 평면의 선에는 0이 아닌 이진수 3배수를 사용하여 균일한 좌표가 주어질 수 있다. 이 좌표계에서는 점의 좌표와 선에 대한 좌표가 0이 아닌 비트를 갖는 짝수의 위치를 갖는 경우, 예를 들어, 점 101은 두 개의 공통 위치에서 0이 아닌 비트를 가지기 때문에 선 111에 속한다. 기초 선형대수학에서 점 및 선을 나타내는 벡터의 내부생산이 0이면 점은 선에 속한다.

선은 세 가지 유형으로 분류할 수 있다.

• 선 중 세 개에서 점의 이항 삼중의 0은 일정한 위치에 있다: 선 100(점 001, 010, 011 포함)은 첫 번째 위치에 0이 있고 선 010과 001은 같은 방식으로 형성된다.
• 3개의 선에서 각 점의 이진 3배에서 2개의 선은 같은 값을 갖는다: 110번 선(점 001, 110, 111)에서 1번과 2번 선은 항상 같으며 101번과 011번 선은 같은 방식으로 형성된다.
• 나머지 111행(포인트 011, 101, 110 포함)에서 각 이진 트리플은 정확히 두 개의 0이 아닌 비트를 가진다.

집단이론적 건설

또는 평면의 7개 지점은 그룹(Z₂₂)³ = Z × Z × Z의₂₂ 7개 비식별 요소에 해당한다. 평면의 선은 순서 4의 부분군, Z₂ × Z에₂ 이형화된다. 그룹(Z₂)³의 오토모피즘 그룹 GL(3,2)은 파노 평면의 그룹이며, 오더 168을 가지고 있다.

레비 그래프

어떤 발생 구조와 마찬가지로, 파노 평면의 Levi 그래프는 양분 그래프로서, 한 부분의 정점은 점을 나타내고 다른 부분은 선을 나타내며, 해당 점과 선이 인시던트일 경우 두 정점이 결합된다. 이 특정 그래프는 연결된 입방 그래프(도 3의 정규 그래프)로, 둘레 6이 있으며 각 부분에는 7개의 꼭지점이 있다. 그것은 독특한 6-cage인 Heawood 그래프 입니다.^[1]

콜라인먼트

파노 평면의 콜라인화, 자동형성 또는 대칭성은 공선성을 보존하는 7개 점의 순열이다. 즉, 공선점을 (동일한 선에) 공선점에 운반한다. 사영 기하학의 기본 정리까지 PGLᆪ,[2]또한}PGL3(F 2){\displaystyle \mathrm{PGL}_ᆮ(\mathbb{F}_{2})를 설명은 가득한 공선 변환 그룹(또는 자기 동형:내부 자기 동형이 집단, 또는 대칭 그룹)은 사영 선형 군. 분야 하나만 0이 아닌 요소, 이 그룹을 프로에 동형이다.jective 특수 선형 그룹 PSL(3,2), 일반 선형 그룹 GL(3,2). PSL(2,7)에 대해서도 이형이다.^[3]

이것은 잘 알려진 168 = 2,3³·7 순서의 집단으로, 순서 60(크기로 정렬)의 A₅ 다음에 오는 비아벨리안 단순 집단이다.

평면의 7개 지점에 작용하는 순열 그룹으로서, 정렬 그룹은 두 배의 전이성을 가지며, 어떤 정렬된 점 쌍이 적어도 하나의 정렬에 의해 다른 정렬된 점 쌍에 매핑될 수 있다.^[4] (아래 참조)

콜라인화는 Heawood 그래프의 색상 보존 자동화로도 볼 수 있다(그림 참조).

이중성

발생을 보존하는 점 집합과 라인 집합 사이의 편차를 이중성, 순서 2의 이중성을 극성이라고 한다.^[5]

이중성은 Heawood 그래프의 맥락에서 색 반전 자동화로 볼 수 있다. 극성의 예는 오른쪽에 주어진 히우드 그래프 표현을 이등분하는 수직선을 통한 반사에 의해 주어진다.^[6] 이 극성의 존재는 파노 평면이 스스로 이중화됨을 보여준다. 이것은 또한 앞의 절에서 자세히 설명한 것과 같이 균일한 좌표 측면에서 발생 관계의 정의에서 점들과 선들 사이의 대칭의 즉각적인 결과물이다.

사이클 구조

그림에서 번호가 매겨진 7개의 점의 순열 그룹으로 생각되는 콜라인먼트 그룹은 다음과 같이 생성된다.^[7]

(1432657), (162)(374), (14)(27), (17)(24), (17)(24)(36).

그것은 6개의 결합 수업으로 구성되어 있다. 다음 사이클 구조는 각각 단일 결합 클래스를 정의한다.

• 아이덴티티 순열
• 2주기가 2개인 순열 21개
• 4사이클과 2사이클의 순열 42개
• 두 개의 3 사이클이 있는 56개의 순열

완전한 7 사이클의 48 순열은 24개의 요소를 가진 두 개의 뚜렷한 결합 클래스를 형성한다.

• 지도는 B, B에서 C, C에서 D로 한다. 그러면 D는 A와 B와 같은 선에 있다.
• 지도는 B, B에서 C, C에서 D로 한다. 그러면 D는 A, C와 같은 선에 있다.

전체 목록은 Fano 평면 줄선을 참조하십시오.

따라서, Polya 열거 정리에 의해, n가지 색상을 가진 Fano 평면의 불평등 색상 수는 다음과 같다.

${\displaystyle {1 \over 168}\왼쪽(n^{7}+21n^{5}+98n^{3}+48n\오른쪽).}$

전체 사분면 및 Fano 하위 평면

어떤 투영 평면에서 세 개의 점 중 세 개도 없는 4개의 점 집합과 이들 점의 쌍을 연결하는 6개의 선은 완전한 사각형이라고 알려진 구성이다. 선은 면이라고 하고, 네 점 중 한 지점에서 만나지 않는 면의 쌍을 반대면이라고 한다. 반대쪽이 만나는 지점을 대각선 점이라고 하는데 그 중 3개가 있다.^[8]

만약 이 구성이 투사 평면에 놓여 있고 대각선 3개가 일직선으로 되어 있다면, 확장된 구성의 7개 지점과 7개 선은 파노 평면에 이형화된 투사 평면의 서브 평면을 형성하고 Fano 서브 평면으로 불린다.

Andrew M. Gleason에 따르면 유한 투영 평면의 모든 완전한 사분면이 Fano 하위 평면(즉, 대각선 점들이 시준을 이루고 있음)^[9]으로 확장되는 경우 평면은 데사게시언이라고 한다. Gleason은 이 조건을 만족하는 투영 평면을 Fano 평면이라고 불렀고, 따라서 현대 용어와 약간의 혼동을 일으켰다. 혼란을 가중시키기 위해 파노의 공리는 완전한 사각형의 대각선 점들이 유클리드인과 실제 투영면에 고정되어 있는 조건인 결코 시준되지 않는다고 말한다. 따라서 글리슨이 파노 비행기라고 부른 것은 파노의 공리를 만족시키지 못한다.^[10]

구성

Fano 평면은 다음과 같은 수의 다른 유형의 점 및 선 구성을 포함한다. 각 구성 유형에 대해 구성을 변경하지 않고 유지하는 평면의 대칭 수를 곱한 구성 복사본 수는 각 복사본을 다른 복사본에 매핑할 수 있다면 전체 콜라인 그룹의 크기인 168과 같다(궤도-안정화기 정리 참조). Fano 평면이 자체 이중이기 때문에 이러한 구성은 이중 쌍으로 제공되며 구성을 고정하는 줄의 수가 이중 구성을 고정하는 줄의 수와 동일함을 보여줄 수 있다.

• 24개의 대칭이 임의의 점을 고정하는 7개의 점이 있고, 한 번에 24개의 대칭이 임의의 선을 고정하는 7개의 선이 있다. 대칭의 수는 콜라인먼트 그룹의 2-변환성에서 따르며, 이는 그룹이 포인트에서 전이적으로 행동한다는 것을 의미한다.
• 42개의 순서가 있는 점 쌍이 있으며, 각 점은 대칭에 의해 순서가 정해진 다른 쌍에 매핑될 수 있다. 주문한 쌍에 대해 4개의 대칭이 고정되어 있다. 이에 상응하여, 정렬되지 않은 점 쌍이 21개 있는데, 각 점은 대칭에 의해 정렬되지 않은 다른 쌍에 매핑될 수 있다. 정렬되지 않은 쌍에는 8개의 대칭이 고정되어 있다.
• 그 선에는 선과 점으로 구성된 21개의 깃발이 있다. 각 깃발은 같은 선에 있는 다른 두 점의 순서 없는 쌍에 해당한다. 각 국기에 대해 8개의 다른 대칭이 고정 상태를 유지한다.
• 4개(순서가 없는) 포인트 중 3개 포인트의 쿼드랭글을 선택하는 방법은 7개 포인트 중 3개를 공선형으로 선택할 수 없다. 이 4개의 점은 대각선의 대각선인 선과 대각선이 대각선을 고정하는 경우에만 대각선을 수정한다. 따라서 그러한 사각형을 고정하는 24개의 대칭이 있다. 이중 구성은 3개 선이 아닌 4개의 선으로 구성된 4각형이며, 이 선은 한 지점에서 만나는 지점과 6개의 교차점으로 구성되며, 이는 파노 평면에서 한 점을 보완한 것이다.
• $({\displaystyle 7\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{3}{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 35}$ ${\displaystyle {\tbinom {7}{3}}=35}$개의 점이 있는데$$, 이 중 7개는 공선 3중으로 28개의 비협선 3중이나 삼각형이 남아 있다. 삼각형의 세 점과 이들 점의 쌍을 잇는 세 개의 선으로 구성된 구성은 Heawood 그래프에서 6 사이클로 표현된다. 6사이클의 각 꼭지점을 고정하는 Heawood 그래프의 색보존형 자동화는 반드시 신원 자동형이어야 한다.^[1] 즉, 점의 순열마다 하나씩, 신분적 콜라인에 의해서만 고정된 168개의 라벨링된 삼각형이 있고 라벨링되지 않은 삼각형을 안정시키는 6개의 라벨링만이 있다는 것을 의미한다. 이 28개의 삼각형은 사분위의 28개의 이탄젠트에 해당하는 것으로 볼 수 있다.^[11] 삼각형을 해당 삼각형에 대한 하나의 구별점과 이 구성을 고정하는 두 개의 대칭과 함께 지정하는 84가지 방법이 있다. 삼각형 구성의 이중도 역시 삼각형이다.
• 서로 충돌하지 않는 포인트와 라인을 선택하는 방법(안티플래그), 안티플래그 고정 상태를 유지하면서 파노 비행기를 허용하는 방법(안티플래그)이 28가지다. 모든 비사건 점선 쌍(p,l)에 대해, p와 동일하지 않고 l에 속하지 않는 세 개의 점이 삼각형을 이루고, 모든 삼각형에 대해 나머지 네 개의 점을 반플래그로 그룹화하는 독특한 방법이 있다.
• 세 개의 연속 정점이 선 위에 놓여 있지 않은 육각형을 지정하는 방법에는 28가지가 있으며, 그러한 육각형을 고정하는 6개의 대칭이 있다.
• 3개의 연속 정점이 선 위에 놓여 있지 않는 오각형을 지정하는 방법에는 84가지가 있으며, 어떤 오각형을 고정하는 대칭도 있다.

Fano 평면은 (n₃)-구성, 즉 각 선에 3개의 점이 있고 각 점을 통과하는 3개의 선이 있는 n개의 점 및 n개의 선의 집합이다. fano 평면은 a(7₃)-구성이며, 그러한 구성 중 가장 작다.^[12] 이러한 유형의 슈타인츠^[13] 구성에 의한 정리에 따르면, 곡선이 하나 이상 있는 유클리드 평면(다른 모든 선은 유클리드 선에 놓여 있음)^[14]에서 실현될 수 있다.

블록 설계 이론

Fano 평면은 작은 대칭 블록 설계로, 특히 2-(7,3,1)-설계. 설계점은 평면의 점이며, 설계 블럭은 평면의 선이다.^[15] 이와 같이 (블록) 설계이론의 귀중한 예다.

0, 1, 2, ..., 6이라는 레이블이 붙은 점에서는 (7, 3, 1) 평면 차이의 번역(점 집합으로)이 $그룹{\displaystyle \mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$/ 7 ${\displaystyle Z}$에서 {0, 1, 3}이(가) 부여된다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathb {Z} /7\mathb {Z}}.}$이(가₀) 표시된 선으로$$^[15] 다음과₆ 같이 표시된다.

포인트 라인	0	1	2	3	4	5	6
ℓ0	1	1	0	1	0	0	0
ℓ1	0	1	1	0	1	0	0
ℓ2	0	0	1	1	0	1	0
ℓ3	0	0	0	1	1	0	1
ℓ4	1	0	0	0	1	1	0
ℓ5	0	1	0	0	0	1	1
ℓ6	1	0	1	0	0	0	1

스타이너 시스템

Fano 평면은 블록 설계로서 Steiner 3중 시스템이다.^[16] 그만큼 퀘이시그룹의 구조를 부여받을 수 있다. 이 퀘이시그룹은 옥토니언 제품의 기호가 무시될 경우 8진수 e₁, e₂, ..., e₇ (omating 1) 단위로 정의한 승법 구조와 일치한다(Baez 2002).

마트로이드 이론

파노 매트로이드 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 파노 평면의 포인트를 지면 세트로, 3이온 비협착은 베이스로 하여 형성된다$$.

파노 평면은 매트로이드의 구조 이론에서 중요한 예 중 하나이다. Pano 평면을 매트로이드 단조로 제외하는 것은 일반, 그래픽, 코그래피와 같은 몇 가지 중요한 등급의 매트로이드의 특성을 나타내기 위해 필요하다.

한 줄을 세 개의 2점 선으로 나누면 실제 평면에 삽입할 수 있는 "비 Fano 구성"을 얻게 된다. 그것은 많은 이론들이 보유하기 위해서는 제외되어야 하기 때문에, 모태 이론에서 또 다른 중요한 예다.

PG(3,2)

Pano 평면을 3차원으로 확장하여 PG(3,2)로 표시된 3차원 투영 공간을 형성할 수 있다. 점 15개, 선 35개, 평면이 15개로 가장 작은 3차원 투사 공간이다.^[17] 또한 다음과 같은 속성을 가지고 있다.^[18]

• 각 점은 7개의 선과 7개의 평면에 포함된다.
• 각 선은 3개의 평면에 포함되며 3개의 점을 포함한다.
• 각 평면에는 7개의 점과 7개의 선이 있다.
• 각 평면은 Fano 평면에 이형이다.
• 구별되는 모든 평면 쌍이 선에서 교차함
• 선을 포함하지 않는 선과 평면이 정확히 한 점에서 교차함

참고 항목

• 투영 구성
• 트란실바니아 복권

메모들

참조

• Baez, John (2002), "The Octonions", Bull. Amer. Math. Soc., 39 (2): 145–205, arXiv:math/0105155, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X (온라인 HTML 버전)
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
• Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projective Geometries Over Finite Fields, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850295-1
• Manivel, L. (2006), "Configurations of lines and models of Lie algebras", Journal of Algebra, 304 (1): 457–486, arXiv:math/0507118, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.04.029, ISSN 0021-8693
• Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013), Configurations from a Graphical Viewpoint, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-8363-4
• Polster, Burkard (1998), A Geometrical Picture Book, Springer, ISBN 978-0-387-98437-7
• van Lint, J. H.; Wilson, R. M. (1992), A Course in Combinatorics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-42260-4

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Fano Plane". MathWorld.