일반화된 원

"클라인" 또는 "원"이라고도 하는 일반화된 원은 직선 또는 원이다.직선과 원은 그 기하학에서 매우 유사한 성질을 가지고 있고 함께 가장 잘 처리되기 때문에 이 개념은 주로 역행 기하학에서 사용된다.

반전 평면 기하학은 무한대에서 1점씩 확장된 평면에 공식화된다.그러면 직선은 무한대의 점근점을 통과하는 원의 하나로 생각된다.반전 기하학의 근본적인 변화인 반전은 일반화된 원들을 일반화된 원들에 매핑하는 속성을 가지고 있다.뫼비우스의 변혁은, 반전의 구성인, 그 속성을 계승한다.이러한 변환은 반드시 선을 선에 매핑하고 원을 원에 매핑하는 것은 아니다. 즉, 선과 원을 혼합할 수 있다.

반전에는 두 가지 종류가 있다: 원에서의 반전, 선에서의 반사가 있다.두 사람은 성질이 매우 비슷하기 때문에, 우리는 그것들을 결합하여 일반화된 서클에서 반전에 대해 이야기한다.

확장된 평면에서 세 개의 구별되는 점을 볼 때, 세 점을 통과하는 하나의 일반화된 원이 정확하게 존재한다.

확장된 평면은 입체 투영을 사용하여 구체와 동일시할 수 있다.그러면 무한의 지점은 구의 평범한 지점이 되고, 모든 일반화된 원은 구의 원이 된다.

확장 복합 평면의 방정식

반전 기하학의 확장면은 확장된 복잡한 평면으로 식별할 수 있으므로 복잡한 숫자의 방정식을 사용하여 선, 원 및 반전을 설명할 수 있다.

원 γ은 중심점 γ에서 반경 r에 놓여 있는 평면의 점 z의 집합이다.

${\displaystyle \Gamma ,r)=\{z:{\text{{}z{\text{{}}\gamma{\text{}}}}}}\data{\text{}}}}}}}}}$

복합면을 이용하면 γ을 복합수로 취급하고 circle 원을 복합수 집합으로 할 수 있다.

복합수에 그것의 결합을 곱한 것이 그 수량의 제곱을 우리에게 주고, 그 수량이 그 원점으로부터의 유클리드 거리라는 특성을 이용하여 γ에 대한 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\좌측 z-\properties \우측 }=r}$

${\displaystyle {\좌측 z-\reft \right }^{2}=r^{2}}:$

${\displaystyle (z-\property ){\overline {(z-\properties )}=r^{2}}:$

${\displaystyle z{\bar{z}-{\bar{\bar}}-{\bar{z}\bar+\bar{\bar}=r^{2}}:$

${\displaystyle z{\bar{z}-{\bar {\bar}\bar {z}\bar}+\bar {\bar}-r^{2}=0.}$

우리는 이것을 실제 상수 A로 곱하여 형태 방정식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle Az{\bar{z}+Bz+C{\bar}+D=0}$

여기서 A와 D는 진짜고, B와 C는 복잡한 결합체다.단계를 반대로 하여 이것이 원이 되려면 반지름 제곱이 BC/A² - D/A > 0과 같아야 한다는 것을 알 수 있다. 따라서 위의 방정식은 AD < BC>가 될 때마다 일반화된 원을 정의한다.A가 0일 때 이 방정식은 직선을 정의한다는 점에 유의한다.

변환 w = 1/z

이제 w = 1/z 변환이 일반화된 원을 일반화된 원으로 매핑하는 것을 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}Az{\bar{z}+Bz+C{z}+D&=0\[6pt]A{\frac {1}{w}{\frac {1}{\bar{w}}+B{\frac {1}{w}+C{\frac{1}{w}}+D&=0\[6pt]A+B{\bar {{w}}+Cw+Dw{\bar {w}&=0\[6pt]D{\bar {{w}w+Cw+B{\bar{w}+A&=0.\end{정렬}}}$

We see that the lines through the origin (A = D = 0) are mapped to the lines through the origin, the lines not passing through the origin (A = 0; D ≠ 0) to circles passing through the origin, circles passing through the origin (A ≠ 0; D = 0) to the lines not passing through the origin, and circles not passing through the origin (A ≠ 0; D ≠ 0) to c발원지를 통과하지 않는 다리미

은둔자 행렬에 의한 표현

일반화된 원의 방정식을 정의하는 데이터

${\displaystyle Az{\bar{z}+Bz+C{\bar}+D=0}$

변치 않는 은둔자 행렬의 형태로 유용하게 넣을 수 있다.

${\displaystyle {\mathfrak{C}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}={\mathfrak{C}^{\daugger}}}$

그러한 변절 불가능한 은둔자 행렬 2개는 실제 배수로 차이가 나는 경우에만 동일한 일반화 원을 지정한다.

Möbius 변환 $H{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$mathfak$${H}$에 의해 $C{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$displaystyle {\$mathfak$ {$C}$이(가) 설명하는 일반화된 원을 변환하려면 변환 $H{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 역 $G{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\mathfak {G}$을 선택하고$$ do하십시오$.$

${\displaystyle {\mathfrak {C}\mapsto {\mathfrak {G}^{\text{T}{{\mathfrak{C}{\bar {\mathfrak{G}}}.}$

참조

• Hans Schwerdtfeger, 복잡한 숫자의 기하학, Courier Dover Publishes, 1979년
• Michael Henle, "Modern Geometry: Non-유클리드, Projective, 이산" 2판, 프렌티스 홀, 2001