벨트라미-클레인 모델

Beltrami Klein 모델에서 점 P를 통과하는 많은 쌍곡선 a 선과 교차하지 않음

Beltrami-Klein 모델 투영에서의 쌍곡 삼각형 타일링

기하학에서, 투영 모델, 클라인 디스크 모델, 케이리-클레인 모델이라고도 불리는 벨트라미-클레인 모델은 쌍곡 기하학의 모델로서, 단위 디스크(또는 n차원 단위 공) 내부의 점으로 점들이 표현되고 선은 화음, 직선 세그먼트로 표현되며 이상적인 끝점이 있는 직선 세그먼트가 표시된다. 경계 구역

벨트라미-클레인 모델은 이탈리아의 지구계 유제니오 벨트라미와 독일의 펠릭스 클라인의 이름을 따온 것이고, 케이리-클레인 모델의 '케일리'는 영국의 지구계 아서 케일리(Arthur Cayley)를 가리킨다.

벨트라미-클레인 모델은 지오데틱(구형 기하학의 큰 원)이 직선에 매핑된다는 점에서 구형 기하학의 지노모닉 투영과 유사하다.

이 모델은 순응적이지 않은데, 이는 각도와 원이 뒤틀려 있다는 것을 의미하는 반면, 푸앵카레 디스크 모델은 이를 보존한다.

이 모델에서 선과 세그먼트는 직선 유클리드 세그먼트인 반면, 푸앵카레 디스크 모델에서 선은 직교적으로 경계를 충족하는 호이다.

역사

이 모델은 1868년에 출판된 Eugenio Beltrami의 두 회고록에서 쌍곡 기하학을 위해 처음으로 등장했는데, 처음에는 치수 n = 2를 위해 그리고 나서 일반 n을 위해, 이 에세이는 보통의 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학의 동일성을 증명했다.^[1]^[2]^[3]

벨트라미의 논문은 최근까지 거의 주목을 받지 못했고 이 모델은 클라인("클라인 디스크 모델")의 이름을 따서 명명되었다. 이 일은 다음과 같이 일어났다. 1859년 아서 케일리는 유클리드 기하학이 투영 기하학을 사용하여 어떻게 정의될 수 있는지를 보여주기 위해 라구에르에 기인하는 각도의 교차 비율 정의를 사용했다.^[4] 그의 거리에 대한 정의는 나중에 Cayley 미터법으로 알려지게 되었다.

1869년, 젊은 (20세) 펠릭스 클라인이 케이리의 작품을 알게 되었다. 그는 1870년 위어스트라스 세미나에서 케일리의 작품에 대해 강연을 하고 다음과 같이 썼다고 회상했다.

"케일리와 로바체프스키의 사상 사이에 연관성이 있는 것이 아닐까 하는 질문을 끝으로 끝냈다. 나는 이 두 체제가 개념적으로 광범위하게 분리되어 있다는 답변을 받았다."^[5]

후에 펠릭스 클라인은 케일리의 사상이 비유클리드 비행기의 투영 모델을 낳는다는 것을 깨달았다.^[6]

클라인의 표현대로, "나는 이러한 반대에 대해 나 자신이 납득할 수 있도록 허락했고 이미 성숙된 이 생각은 접어두었다." 그러나 1871년 그는 이 아이디어로 돌아와 수학적으로 공식화하여 출판하였다.^[7]

거리 공식

Beltrami-Klein 모델의 거리 함수는 Cayley-Klein 미터법이다. 열린 단위 공에서 두 개의 뚜렷한 p와 q를 주어진 경우, 이들을 연결하는 고유한 직선은 a와 b라는 두 이상적인 지점에서 경계를 교차하며, 점들이 순서대로 a, p, q, b, aq > ap과 pb > qb가 되도록 라벨을 붙인다.

p와 q 사이의 쌍곡선 거리는 다음과 같다: $d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}$ $d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}$ , $d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}$ ) $d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}$ = 1 $d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}$ $d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}$ $d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}$ p b a p $d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}$ $d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}$ $displaystyle d(p,q)={\frac {1}{1$ }:{1 $}\frac {\\좌측 aq\right,\좌측 pb\right}{\}}}}}}}$

수직 막대는 모델에서 이들 지점 사이의 유클리드 거리를 나타내며, 로그는 자연 로그이며, 모델의 표준 곡률 -1을 제공하려면 1/2의 인자가 필요하다.

점 중 하나가 원점이고 점 사이의 유클리드 거리가 r인 경우 쌍곡선 거리는 다음과 같다.

{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r

{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r

{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r

{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r

(

{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r

+

{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r

{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r

-

{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r

)

{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r

=

{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r

{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r

r

{\displaystyle {\frac {1}{1

}2

}}\ln \left

({\

frac {1+r}{1-r}\right)=\operatorname {artanh} r}

여기서

{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r

artanh는 쌍곡선의 역 쌍곡 함수다.

클라인 디스크 모델

쌍곡면 투영 모델의 선

2차원에서는 Beltrami-Klein 모델을 클라인 디스크 모델이라고 부른다. 디스크로 디스크의 내부는 쌍곡면 전체의 모델이다. 이 모형의 선은 경계 원(절대라고도 함)의 화음으로 표현된다. 경계 원 위의 점들은 이상적인 점이라고 불리며, 잘 정의되어 있지만 쌍곡면에 속하지 않는다. 디스크 밖에 있는 점들 중 어느 것도 매우 이상적인 점이라고 불리지 않는다.

모형은 정합성이 없으며, 이는 각도가 왜곡되고 쌍곡면의 원은 일반적으로 모형에서 원형이 아니라는 것을 의미한다. 경계 원의 중심에 중심을 둔 원만 왜곡되지 않는다. 호로사이클과 하이퍼사이클처럼 다른 모든 원은 왜곡되어 있다.

특성.

경계 원 위에서 만나는 화음은 평행선을 제한하고 있다.

디스크 바깥으로 확장되었을 때 각각 다른 화음의 극을 통과한다면 두 개의 화음은 수직이다. (화음의 극은 화음의 끝점에서 디스크에 접하는 부분이 만나는 디스크 바깥 지점이다.) 디스크의 중심을 통과하는 화음은 화음의 방향에 직교하는 무한대에 극을 가진다(이는 직경의 직각이 왜곡되지 않음을 의미한다).

나침반 및 직선 구조

모델에서 나침반과 직선 구조를 사용하여 쌍곡면에서의 기본 구성의 효과를 얻을 수 있는 방법은 다음과 같다.

선의 극. 쌍곡면(극이 매우 이상적인 지점)의 점은 아니지만, 대부분의 구조는 한 가지 이상의 방법으로 선의 극을 사용할 것이다.

선에 대해: 선의 이상적인 (끝) 점을 통해 경계 원에 접선을 생성한다. 이 접선이 교차하는 지점은 극이다.

디스크 직경의 경우: 극은 직경에 수직인 무한대에 있다.

주어진 점을 통해 주어진 선에 수직으로 구성하려면 주어진 점을 통과하는 선의 극에서 선을 그린다. 디스크 안에 있는 광선의 부분은 수직이다.

선이 디스크의 직경인 경우 수직은 (유클리드) 그 직경에 수직이고 주어진 지점을 통과하는 화음이다.

주어진 세그먼트 $A$ $B$ {\ $displaystyle AB}$ 의 중간점을 찾으려면 $AB$ $A$ $B$ {\ $displaystyle AB}$ 에 수직인 선과 B를 통해 선을 그린다 $AB$ 위 참조) 이들 선의 이상적인 점을 연결하는 선을 그린다. 이 선들 중 두 선이 $세그먼트$ $A$ B $AB$ 와 교차하며 동일한 $AB$ 지점에서 이 작업을 수행한다. 이 점은 A $B$ $AB$ 의 (하이퍼볼릭) 중간점이다 $AB$ ^[8]
주어진 각도 $\angle BAC$ $\angle BAC$ C $\angle BAC$ 을(를) 이등분하려면 $\angle BAC$ : 광선 AB와 AC를 그리십시오. 광선이 경계 원과 교차하는 원에 접선을 그린다. 접선이 교차하는 지점까지 A에서 선을 그린다. A와 경계원 사이의 이 선의 부분은 이등분이다.^[9]
두 선의 공통 수직은 확장되었을 때 화음의 양쪽 극을 통과하는 화음이다.

화음 중 하나가 경계 원의 직경일 때, 공통 수직은 직경에 수직인 화음이고 연장되었을 때 다른 화음의 극을 통과하는 화음이다.

선 l에 점 P를 반영하기 위해: 선상의 점 R에서 l을 통해 선을 그린다. X가 절대점과 교차하는 이상적인 지점이 되게 하라. 선 l에서 X까지의 극에서 광선을 그리고 Y를 절대점과의 다른 교차점이 되게 한다. 세그먼트 RY를 그리십시오. 점 P의 반사는 L에서 P까지의 선 극에서 나온 광선이 RY와 교차하는 지점이다.^[10]

원, 하이퍼사이클 및 호로사이클

쌍곡 기하학의 클라인-벨트라미 모델의 원.

쌍곡면의 선은 클라인 디스크 모델에서 그리기 쉽지만, 원, 하이퍼사이클, 호로시클에서는 같지 않다.

모델에서 원(특정 지점에서 주어진 거리에 있는 평면의 모든 점의 집합, 그 중심)은 가장자리에 가까워질수록 타원이 점점 평평해진다. 또한 클라인 디스크 모델의 각도가 변형된다.

원, 하이퍼사이클, 호로사이클 또는 직각이 아닌 쌍곡면 구조물의 경우 푸앵카레 디스크 모델 또는 푸앵카레 반면 모델을 사용하는 것이 좋다.

푸앵카레 디스크 모델과의 관계

반구 모델(파란색)을 통해 클라인 디스크 모델(노란색)에서 푸앵카레 디스크 모델(빨간색)까지 결합된 투영

Beltrami-Klein 모델(사진 속 K)은 반구형 모델의 직교 투영법이며 하이퍼볼로이드(O)의 중심을 중심으로 한 하이퍼볼로이드 모델(Hy)의 지노모닉 투영법이다.

푸앵카레 디스크 모델과 클라인 디스크 모델 모두 쌍곡면 모델이다. 푸앵카레 디스크 모델의 장점은 일치한다는 것이다(원 및 각도가 왜곡되지 않음). 단점은 기하학적 선이 디스크의 경계 원에 직교하는 원형 호라는 점이다.

이 두 모델은 반구 모델 위 또는 반구 모델에서 투영을 통해 관련된다. 클라인 모델은 반구 모델에 대한 직교 투영이고 푸앵카레 디스크 모델은 입체 투영이다.

두 모델에서 동일한 라인을 하나의 디스크에 투영할 때 두 라인은 동일한 두 개의 이상적인 지점을 거친다. (이상적인 점은 같은 자리에 남아 있다) 또한 화음의 극은 호를 포함하는 원의 중심이다.

P가 Beltrami-Klein 모델의 단위 원 중심에서 $s$ 거리 $s$ $s$ 인 경우, Poincaré 디스크 모델의 해당 지점은 동일한 반경에서 u의 거리:

u={\frac {s}{1+{\sqrt{1-s^{2}}:}}={\frac {1-{\sqrt{1-s^{2}}:}{s}}}}{s}}}}}.

반대로 P가 Poincaré 디스크 모델의 단위 원 중심에서 $u$ 거리 $u$ 인 경우, Beltrami-Klein 모델의 해당 지점은 동일한 반경에서 s의 거리인 것이다.

s={\frac {2u}{1+u^{2}}.

하이퍼볼로이드 모델과 디스크 모델의 관계

하이퍼볼로이드 모델과 클라인 디스크 모델 모두 쌍곡면 모델이다.

클라인 디스크(K, 그림 속)는 하이퍼볼로이드(O)의 중심과 하이퍼볼로이드의 가장 가까운 지점에 접하는 투영면을 중심으로 한 하이퍼볼로이드 모델(Hy)의 지노모닉 투영이다.^[11]

거리 및 미터법 텐서

일반 쌍곡선 도데카헤드럴 벌집, {5,3,4}

유클리드 공간에서 모델의 오픈 유닛 볼에서 두 개의 구별되는 점 U와 V가 주어진 경우, 이들을 연결하는 고유한 직선은 두 개의 이상적인 점 A와 B에서 단위 구를 교차하며, 따라서 점들이 A, U, V, B를 따라 순서대로 표시되도록 한다. 모델의 단위 공의 중심을 원점으로 삼고, 위치 벡터 u, v, a, b를 U, V, A, B 지점에 각각 할당하면, -a - v‖ > ua - u‖ 및 ‖u - b‖ - b‖이 있는데, 여기서 ‖ · ‖은 유클리드 규범을 나타낸다. 그러면 모델링된 쌍곡선 공간에서 U와 V 사이의 거리는 다음과 같이 표현된다.

d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left\ \mathbf {v} -\mathbf {a} \right\ \,\left\ \mathbf {b} -\mathbf {u} \right\ }{\left\ \mathbf {u} -\mathbf {a} \right\ \,\left\ \mathbf {b} -\mathbf {v} \right\ }},

곡률 -1을 만드는 데 1/2 인자가 필요한 경우.

관련 메트릭 텐셔너는 다음과 같이 지정된다.

{\displaystyle ds^{2}=g(\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )={\frac {\left\ d\mathbf {x} \right\ ^{2}}{1-\left\ \mathbf {x} \right\ ^{2}}}+{\frac {(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2}}{{\bigl (}1-\left\ \mathbf {x} \right\ ^{2}{\bigr )}^{2}}}={\frac {(1-\left\ \mathbf {x} \right\ ^{2})\left\ d\mathbf {x} \right\ ^{2}+(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2}}{{\bigl (}1-\left\\mathbf {x} \right\ ^{2}{\bigr )^{2}}:

^[12]^[13]

하이퍼볼로이드 모델과의 관계

Beltrami-Klein 관점에서 볼 수 있는 하이퍼볼로이드의 부분 {7,3} 쌍곡선 타일링.

File:Hyperboloid-tiling-klein-animation.webm

미디어 재생

Beltrami-Klein 관점으로 회전하는 하이퍼볼로이드의 부분 {7,3}개의 쌍곡 타일링 애니메이션.

하이퍼볼로이드 모델은 (n + 1)차원 민코프스키 공간 내의 쌍곡 기하학의 모델이다. 밍코스키 이너 제품은 다음과 같다.

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}\,},

표준 by $\left\|\mathbf {x} \right\|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}$ x $\left\|\mathbf {x} \right\|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}$ ‖ $\left\|\mathbf {x} \right\|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}$ = $\left\|\mathbf {x} \right\|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}$ $\left\|\mathbf {x} \right\|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}$ $\left\|\mathbf {x} \right\|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}$ \ $displaystyle \left\\mathbf {x} \right\ ={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x$ 쌍곡면은 벡터 x에 ‖x‖ = 1과 x₀("timelike 구성 요소") 양성으로 삽입된다. 그런 다음 u와 v 지점 사이의 내적 거리(내장 거리)를 다음과 같이 지정한다.

d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbname {arcosh}(\mathbf {u}\cdot \mathbf {v}).

이것은 동질적 형태로도 쓰여질 수 있다.

{\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u}{}{\\\mathbf {u}{}}}{\mathbf {u}}}}}}}}}\mathbf {v}오른쪽\}}}}}}}}}}}\mathbf.

벡터 크기를 조정하여 편의성을 높인다.

Beltrami-Klein 모델은 모든 벡터를 재포장하여 하이퍼볼로이드 모델에서 얻으며, 따라서 시간적 구성요소는 1이며, 즉, 원점을 통해 내장된 하이퍼볼로이드를₀ 평면 x = 1에 투영하여 얻는다. 거리 함수는 동질적인 형태로 변하지 않는다. 하이퍼볼로이드 모델의 내적 선(지오데틱스)은 밍코프스키 원점을 통한 임베딩의 교차점이기 때문에, 벨트라미-클레인 모델의 내적 선은 구의 화음이다.

푸앵카레 볼 모델과의 관계

푸앵카레 볼 모델과 벨트라미-클레인 모델은 모두 R의ⁿ n차원 단위 볼에 있는 n차원 쌍곡선 공간의 모델이다. $u$ $u$ 이 $u$ (가) Poincaré 디스크 모델의 한 점을 나타내는 하나 미만의 표준 벡터인 경우, Beltrami-Klein 모델의 해당 지점은 다음과 같다.

s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.

반대로, Beltrami-Klein 모델의 한 점을 나타내는 하나 미만의 표준의 $s$ $벡터$ s $s$ 에서 Poincaré 디스크 모델의 해당 지점은 다음과 같다.

u={\frac {s}{1+{\sqrt{1-s\cdot s}}}={\frac {1-s\cdot s}}}{s\cdot s}}}.

전통적으로 이상적인 점이라고 불리는 단위 디스크의 경계에 두 점을 부여하면, 벨트라미-클레인 모델에서 이들을 연결하는 직선은 이들 사이의 화음인 반면, 해당 푸앵카레 모델에서는 두 경계점 벡터에 의해 생성된 2차원 아공간에서 선은 원호로서 경계선을 충족한다.직각의 y. 두 모델은 디스크 중심으로부터의 투영을 통해 관련된다; 한 모델 라인의 점을 통과하는 중심에서 나온 광선이 다른 모델에서 라인의 해당 지점을 통과한다.

참고 항목

메모들

^ Beltrami, Eugenio (1868). "Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea". Giornale di Mathematiche. VI: 285–315.
^ Beltrami, Eugenio (1868). "Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante". Annali di Matematica Pura ed Applicata. Series II. 2: 232–255. doi:10.1007/BF02419615.
^ Stillwell, John (1999). Sources of hyperbolic geometry (2. print. ed.). Providence: American mathematical society. pp. 7–62. ISBN 0821809229.
^ Cayley, Arthur (1859). "A Sixth Memoire upon Quantics". Philosophical Transactions of the Royal Society. 159: 61–91. doi:10.1098/rstl.1859.0004.
^ Klein, Felix (1926). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Teil 1. Springer. p. 152.
^ Klein, Felix (1871). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie". Mathematische Annalen. 4 (4): 573–625. doi:10.1007/BF02100583.
^ Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.
^ 쌍곡선 도구 상자
^ 쌍곡선 도구 상자
^ Greenberg, Marvin Jay (2003). Euclidean and non-Euclidean geometries : development and history (3rd ed.). New York: Freeman. pp. 272–273. ISBN 9780716724469.
^ Hwang, Andrew D. "Analogy of spherical and hyperbolic geometry projection". Stack Exchange. Retrieved 1 January 2017.
^ J. W. Cannon, W. J. Floyd, R. Kenyon, W. R. Parry. "Hyperbolic Geometry" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2020-11-01.{{cite web}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
^ 스택 Exchange에서 응답

참조

루이스 산탈로 (1961년), EUDEBA의 기하학자의 유클리디아나스.
Stahl, Saul (1993). The Poincaré Half-Plane. Jones and Bartlett.
Nielsen, Frank; Nock, Richard (2009). "Hyperbolic Voronoi diagrams made easy". 2010 International Conference on Computational Science and Its Applications. pp. 74–80. arXiv:0903.3287. doi:10.1109/ICCSA.2010.37. ISBN 978-1-4244-6461-6.

[1] Beltrami, Eugenio (1868). "Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea". Giornale di Mathematiche. VI: 285–315.

[2] Beltrami, Eugenio (1868). "Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante". Annali di Matematica Pura ed Applicata. Series II. 2: 232–255. doi:10.1007/BF02419615.

[3] Stillwell, John (1999). Sources of hyperbolic geometry (2. print. ed.). Providence: American mathematical society. pp. 7–62. ISBN 0821809229.

[4] Cayley, Arthur (1859). "A Sixth Memoire upon Quantics". Philosophical Transactions of the Royal Society. 159: 61–91. doi:10.1098/rstl.1859.0004.

[5] Klein, Felix (1926). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Teil 1. Springer. p. 152.

[6] Klein, Felix (1871). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie". Mathematische Annalen. 4 (4): 573–625. doi:10.1007/BF02100583.

[7] Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.

[8] 쌍곡선 도구 상자

[9] 쌍곡선 도구 상자

[10] Greenberg, Marvin Jay (2003). Euclidean and non-Euclidean geometries : development and history (3rd ed.). New York: Freeman. pp. 272–273. ISBN 9780716724469.

[11] Hwang, Andrew D. "Analogy of spherical and hyperbolic geometry projection". Stack Exchange. Retrieved 1 January 2017.

[12] J. W. Cannon, W. J. Floyd, R. Kenyon, W. R. Parry. "Hyperbolic Geometry" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2020-11-01.{{cite web}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)

[13] 스택 Exchange에서 응답

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