투영 선형군

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

수학에서, 특히 대수학의 그룹 이론 영역에서, 투사 선형 그룹(투사 일반 선형 그룹 또는 PGL이라고도 함)은 관련 투사 공간 P(V)에 대한 벡터 공간 V의 일반 선형 그룹의 유도 작용이다.명시적으로 투영 선형 그룹은 지수 그룹이다.

PGL(V) = GL(V)/Z(V)

여기서 GL(V)은 V의 일반 선형 그룹이고 Z(V)는 V의 모든 비영점 스칼라 변환의 하위 그룹이다. 이것들은 투사 공간에 사소한 작용을 하고 작용의 커널을 형성하기 때문에 지수화되며, "Z"라는 표기법은 스칼라 변환이 일반 선형 그룹의 중심을 형성한다는 것을 반영한다.

투영 특수 선형 그룹 PSL은 관련 투영 공간에 대한 특수 선형 그룹의 유도 작용과 유사하게 정의된다.명시적으로:

PSL(V) = SL(V)/SZ(V)

여기서 SL(V)은 V 위에 있는 특수 선형 그룹이고 SZ(V)는 단위 결정 인자를 가진 스칼라 변환의 하위 그룹이다.여기서 SZ는 SL의 중심이며, F에서 단결의 n번째 뿌리 그룹(여기서 n은 V의 치수, F는 베이스 필드)과 자연스럽게 동일시된다.

PGL과 PSL은 소위 고전적 그룹의 일부인 연구의 일부분이며, PGL의 요소를 투사적 선형 변환, 투사적 변환 또는 동음이의학이라고 한다.V가 필드 F에 대한 n차원 벡터 공간, 즉 V = F인 경우ⁿ 대체 공칭 PGL(n, F)과 PSL(n, F)도 사용된다.

PGL(n, F)과 PSL(n, F)은 F의 모든 요소가 F에 n번째 루트를 갖는 경우에만 이형성이라는 점에 유의한다.예를 들어, PGL(2, C) = PSL(2, C) = PGL(2, R) > PSL(2, R);^[1] 이것은 실제 투영 라인이 방향성을 유지할 수 있는 것에 해당하며, 투영 특수 선형 그룹은 방향성 유지 변환만 된다.

또한 PGL과 PSL은 링 상에 정의될 수 있으며, 중요한 예는 모듈형 그룹 PSL(2, Z)이다.

이름

이름은 투영 기하학에서 유래하며, 여기서 동종 좌표에 작용하는 투영 그룹(x₀:x₁: ... :x_n)은 기하학의 기본 그룹이다.^{[note 1]}다르게 표현하면, V에 대한 GL(V)의 자연 작용은 투영 공간 P(V)에 대한 PGL(V)의 작용으로 귀결된다.

따라서 투영 선형 그룹은 투영 선에 작용하는 뫼비우스 변환(Möbius 그룹이라고도 함)의 사례 PGL(2, C)을 일반화한다.

일반적으로 "선형(벡터 공간) 구조를 보존하는 반전 함수"로 정의되는 일반 선형 그룹과 달리, 투영 선형 그룹은 "선형(벡터 공간) 구조를 보존하는 반전 함수"로 정의하기보다는 관련 벡터 공간의 일반 선형 그룹의 몫으로 구성적으로 정의된다.투사형 선형 구조".이는 표기법에 반영된다: PGL(n, F)은 GL(n, F)과 연관된 집단이며, n-차원 투사공간이 아닌 (n-1)차원 투사공간으로 이루어진 투사 선형집단이다.

콜라인먼트

관련 집단은 콜라인화 집단을 말하며, 이는 자명하게 정의된다.선은 선으로 선인 점을 선인 점으로 보내는 반전성(또는 더 일반적으로 일대일) 지도다.특정 공리를 만족하는 발생 구조(점 P, 선 L 및 어떤 선에 어떤 점이 놓여 있는지 명시하는 발생 관계 I)의 관점에서 자명하게 투영 공간을 정의할 수 있다. 즉 투영 공간의 자동형성으로 정의한 후 점 집합의 자동형 f와 자동형 g로 정의된다.선, 발생 관계를 보존하는 선,^{[note 2]} 이것은 정확히 그 자체에 대한 공간의 줄임말이다.투사형 선형 변환은 콜라인먼트(벡터 공간의 평면은 관련 투사 공간의 선에 해당하며, 선형 변환은 지도 평면을 평면으로, 따라서 투사형 선형 변환)이지만 일반적으로 모든 선형이 투사형 선형 변환인 것은 아니다 – PGL은 일반적으로 콜라인라인의 적절한 하위그룹이다.티온 그룹

구체적으로는 n = 2(투영선)의 경우 모든 점이 일직선이기 때문에, 콜라인먼트 그룹은 정확하게 투영선 점의 대칭군이며, F와₂ F₃(PGL이 전체 대칭군인 경우)를 제외하고, PGL은 이 점들에 대한 전체 대칭군의 적절한 하위군이다.

n ≥ 3의 경우, collineation group은 projective semilinar group, PlL – 이것은 필드 자동화에 의해 꼬여진 PGL이다. 형식적으로는 pγL ≅ PGL ⋊ Gal(K/k)이며, 여기서 k는 K의 프라임 필드다; 이것이 projective 형상의 기본 정리다.Thus for K a prime field (F_p or Q), we have PGL = PΓL, but for K a field with non-trivial Galois automorphisms (such as ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$ for n ≥ 2 or C), the projective linear group is a proper subgroup of the collineation group, which can be thought of as "transforms preserving a projective semi-linear s계시의이에 상응하여, 지수군 PHL/PGL = Gal(K/k)은 "선형 구조물의 주기"에 해당하며, ID(기준점)는 기존의 선형 구조로 되어 있다.

또한 투사적 선형 변환의 자연적 개념이 없는 자명하게 정의된 투사적 공간에 대한 콜라인화 그룹을 정의할 수 있다.그러나, 비 데카게스 평면을 제외하고, 모든 투사 공간은 분할 링에 대한 선형 공간의 투영이지만, 위에서 언급한 바와 같이, 선형 구조의 다중 선택, 즉 갈(K/k)에 대한 토스터(n ≥ 3)가 있다.

요소들

투영 선형 그룹의 원소는 축 중 하나를 따라 "평면을 기울인 다음 원래 평면에 투영하는" 것으로 이해할 수 있으며 치수 n도 있다.

A more familiar geometric way to understand the projective transforms is via projective rotations (the elements of PSO(n+1)), which corresponds to the stereographic projection of rotations of the unit hypersphere, and has dimension ${\displaystyle \textstyle {1+2+\cdots +n={\binom {n+1}{2}}}.}$ Vi일반적으로, 이것은 출발지에 서서(또는 출발지에 카메라를 배치) 시야각을 돌린 다음 평평한 평면에 투영하는 것에 해당한다.Rotations in axes perpendicular to the hyperplane preserve the hyperplane and yield a rotation of the hyperplane (an element of SO(n), which has dimension ${\displaystyle \textstyle {1+2+\cdots +(n-1)={\binom {n}{2}}}.}$), while rotations in axes parallel to the hyperplane are proper projective지도, 그리고 나머지 n개의 차원을 설명하라.

특성.

• PGL은 시준점을 시준점에 보내지만(투영 선은 보존), 대신 PAZL(n > 2) 또는 n = 2(투영 선)에 대한 전체 대칭 그룹이 아니다.
• 투영 공간의 모든 (이방형) 대수적 자동형은 투영적인 선형이다.쌍생 자동형은 더 큰 집단인 크레모나 그룹을 형성한다.
• PGL은 투사적 공간에 충실하게 작용한다: 비식별적 요소들은 비식별적으로 작용한다.

  구체적으로는 투사적 공간에 대한 GL의 작용의 커널이 정확히 스칼라 맵으로 PGL에 도표되어 있다.

• PGL은 투사적인 공간에 2-변환적으로 작용한다.

  투영공간에서 두 개의 구별되는 지점이 하나의 선형 공간에 놓여 있지 않는 2개의 벡터에 대응하여 선형적으로 독립적이며, GL은 선형 독립 벡터의 k-element 집합에서 전이적으로 작용하기 때문이다.

• PGL(2, K)은 투영 라인에서 3번 날카롭게 행동한다.

  임의의 점 3개는 통상적으로 [0, 1], [1, 1], [1, 0], 대체 표기법에서는 0, 1, ∞에 매핑되어 있다.분수 선형 변환 $표기법$에서 x${\displaystyle \frac{}{}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$c${\displaystyle \frac{}{}\frac{c}{}}$ ${\displaystyle b\frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{c}{}}$ ${\displaystyle \frac{b}{}}$- ${\$는 ↦ 0, b ↦ 1, c ∞ ∞}을 매핑하는$$ 고유 맵이다.이는 교차 비율(x, b; a, c)이다. 자세한 내용은 교차 비율: 변환 접근법을 참조하십시오.

• n ≥ 3의 경우 PGL(n, K)은 임의의 집합이 아닌 다른 3개의 콜린어 포인트에 3개의 콜린어 포인트를 보내야 하기 때문에 3-변환적으로 작용하지 않는다.n = 2의 경우 공간은 투영 선이기 때문에 모든 점이 일직선으로 되어 있으며 이는 제한이 없다.
• PGL(2, K)은 PGL¹(2, 3 제외), PGL(2, 3)이 3+1=4점을 가지므로 3-변환성은 4-변환성을 내포함) 투영선에서 4-변환 작용하지 않는다; 보존되는 불변량은 교차비로서, 다른 모든 지점이 전송되는 위치를 결정한다: 3개의 지점이 매핑되는 위치를 지정하면 지도가 결정된다.따라서 특히 F와₂ F를₃ 제외한 투영 라인의 전체 콜라인 그룹이 아니다.
• PSL(2, q)과 PGL(2, q) (q > 2의 경우, PSL의 경우 q 홀수)는 자센하우스의 네 가족 중 두 가족이다.
• PGL(n, K)은 치수 n-1의² 대수적 그룹이며 투영 공간 P의ⁿ²⁻¹ 열린 하위 그룹이다.정의한 바와 같이 펑터 PSL(n,K)은 대수 그룹이나 심지어 fppf 피복(fppf sheaf)을 정의하지 않으며, fppf 위상에서의 피복은 사실 PGL(n,K)이다.
• PSL과 PGL은 중심성이 없다 – 이는 대각 행렬이 중심일 뿐만 아니라 하이퍼 중심이기 때문이다(그 중심에 의한 집단의 지수가 반드시 중심성이 없는 것은 아니다).^{[note 3]}

분수 선형 변환

뫼비우스 변환의 경우, 그룹 PGL(2, K)은 K에 계수가 있는 부분 선형 변환으로 해석할 수 있다.K 위의 투영 선의 점은 K의² 쌍에 해당하며, 두 쌍은 비례할 때 등가한다.두 번째 좌표가 0이 아닌 경우 점은 [z, 1]로 나타낼 수 있다.그런 다음 ad-bc 0 0일 때 PGL(2, K)의 작용은 선형 변환에 의한 것이다.

${\displaystyle [z,\1]{\pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\\\\[az+b,\cz+d]\\\\\좌측[{\frac {az+b}{cz+d},\1\우측]}$

이러한 방식으로 연속 변환은 그러한 행렬에 의해 올바른 곱셈으로 기록될 수 있으며, 매트릭스 곱셈은 PGL(2, K)에서 그룹 제품에 사용될 수 있다.

유한장

유한 필드 F에_q 대한 투영 특수 선형 그룹 PSL(n, F_q)은 PSL(n, q) 또는 L_n(q)로 작성되는 경우가 많다.이들은 최소 2가 될 때마다 유한 단순 집단이며, 두 가지 예외는 S에₃ 이형이며, 3글자에 대칭이며, 해결 가능한₂ L(2)와 A에 이형이며, 4글자에 교번 그룹이며, 또한₄ 해결 가능한 L(3₂)이다.^[2]이러한 예외적인 이소형성은 투영 선에서의 작용에서 발생하는 것으로 이해할 수 있다.

따라서 특수 선형 그룹 SL(n, q)은 단순 그룹의 완벽한 중앙 확장(n = 2 및 q = 2 또는 3)으로 구현된다.

역사

집단 PSL(2, p)은 에바리스테 갈루아에 의해 1830년대에 건설되었으며, 교대 그룹에 이어 유한단순집단의 두 번째 계열이었다.^[3]갈루아는 그것들을 부분적인 선형 변환으로 구성했고, p가 2나 3인 경우를 제외하고는 단순하다는 것을 관찰했다. 이것은 그가 체발리에에게 보낸 마지막 편지에 포함되어 있다.^[4]같은 편지와 첨부된 원고에서 갈루아는 p의^ν 일반 방정식의 갈루아 집단을 연구하면서 원시 분야인 GL((, p) 위에 일반 선형 집단을 구성하기도 했다.

그 후 PSL(n, q) 그룹(일반 n, 일반 유한 분야)은 카밀 조던, 특성 대체 및 에쿼레이션 알제브리크에 의해 1870년 고전 텍스트로 구성되었다.

주문

PGL(n, q)의 순서는

(qⁿ - 1)(qⁿ - q)(qⁿ - q²ⁿ⁻¹ - q) ⋅qⁿ -(q - q)/(q - 1) = q^n2–1 – O(q^n2–3),

GL(n, q)의 순서에 해당하며, projectivization은 q - 1로 나눈다. 이러한 공식에 대한 논의는 q-analog를 참조한다.도수는 n² - 1로 대수군으로서의 치수와 일치한다는 점에 유의한다."O"는 "하위 질서를 포함하는 용어"를 의미하는 큰 O 표기법이다.이는 또한 SL(n, q)의 순서와 같으며, q - 1로 나누는 것은 결정요인에 기인한다.

PSL(n, q)의 순서는 위와 같으며, SZ(n, q)로 나누거나, 결정인 1을 갖는 스칼라 행렬의 수, 또는^× F/(F^×)ⁿ로 균등하게 나누거나, n번째 루트가 없는 원소의 등급의 수, 또는 균등하게 F의_q 통일의 n번째 루트의 수로 나눈다.^{[note 4]}

예외 이형성

이형성 외에도

L₂(2) ≅ S₃, L₂(3) ≅ A₄, PGL(2, 3) ≅ S₄,

투사적인 특수 선형 그룹과 교대 그룹 사이에는 다른 예외적인 이형성이 있다. (이 그룹들은 모두 5자 이상의 교대 그룹이 단순하기 때문에 모두 단순하다).

${\displaystyle L_{2}(4)\cong A_{5}}$

${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle 5}$) ${\displaystyle \cong }$ A ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ ${\$증거는 여기를 참조)

${\displaystyle L_{2}(9)\cong A_{6}}$

${\displaystyle L_{4}(2)\cong A_{8}.}$^[5]

이형성 L₂(9) ≅ A는₆ A의₆ 이국적인 외형 자동화를 자기장 자동화와 매트릭스 조작의 관점에서 볼 수 있게 한다.이형성 L₄(2) ≅ A는₈ 마티외 그룹 M의₂₄ 구조에 관심이 있다.

관련 확장 SL(n, q) → PSL(n, q)은 범용 퍼펙트 중앙 확장자의 고유성에 의해 A₄, A의₅ 교대 그룹(범용 퍼펙트 중앙 확장)을 포괄하고 있으며, L₂(9) a₆ A의 경우 관련 확장자는 완벽한 중앙 확장이지만 범용 확장자는 아니다: 3-폴드 커버 그룹이 있다.

F₅ 이상의 집단은 여러 가지 예외적인 이형성을 가지고 있다.

PSL(2, 5) ≅ A₅ ≅ I, 5개 원소의 교대 그룹 또는 동등하게 이두면체 그룹

PGL(2, 5) ≅ S₅, 5개 원소의 대칭 그룹;

SL(2, 5) ≅ 2 ⋅ A₅ ≅ 2I 교번군 A의₅ 이중 커버 또는 동등하게 이항 이차면 그룹.

또한 아래 기술된 바와 같이 이국적인 지도₅ S → S의₆ 축조에도 사용할 수 있다.그러나 GL(2, 5)은 S의₅ 이중 커버가 아니라 오히려 4중 커버라는 점에 유의한다.

또 다른 이형성은 다음과 같다.

L₂(7) ≅ L₃(2)는 순서의 단순 그룹인 168의 두 번째로 작은 비아벨리안 단순 그룹이며 교대 그룹이 아니다. PSL(2,7)을 참조한다.

돌출적인 특수 선형 집단을 포함하는 위의 예외적인 이소모형은 유한단순 집단의 가족들 사이의 거의 예외적인 이소모형이다; 유일한 예외적인 이소모형은 PSU (4, 2) ( PSP (4,3)이며, 투사적인 특수 단일 집단과 투사적인 공감 집단 사이의 유일한 예외적인 이소모형 집단은 PSP (4, 3)이다.^[3]

투영 라인에 대한 조치

위의 지도 중 일부는 관련 투사선에서 PSL과 PGL의 작용 측면에서 직접 볼 수 있다: PGL(n, q)은 (q-1ⁿ)/(q-1) 포인트를 가진 투사 공간 Pⁿ⁻¹(q)에 작용하며, 이는 투사 선형 그룹에서 (q-1ⁿ)/(q-1) 지점의 대칭 그룹에 이르는 지도를 산출한다.n = 2의 경우, 이것은 (q-1²)/(q-1) = q+1 점을 갖는 투영선 P¹(q)이므로 지도 PGL(2, q) → S가_q+1 있다.

이러한 지도를 이해하려면 다음과 같은 사실을 상기하는 것이 유용하다.

• PGL(2, q)의 순서는

${\displaystyle (q^{2}-1)(q^{2}-q)/(q-1)=q^{3}-q=(q-1)q(q+1);}$

PSL(2, q)의 순서는 이 값과 같거나(특성이 2인 경우) 절반이다(특성이 2인 경우).

• 투사선에서 투사적 선형 그룹의 작용은 날카롭게 3번 변환(신뢰성 및 3번 변환성)이므로 지도는 일대일이고 3번 변환성 부분군 이미지를 가지고 있다.

따라서 이미지는 알려진 순서의 3-변환 부분군이며, 이를 통해 식별될 수 있다.이것은 다음과 같은 지도를 산출한다.

• PSL(2, 2) = 순서 6의 PGL(2, 2) → S₃, 즉 이형성.
  • 역지도(S의₃ 투영적 표현)는 조화 그룹에 의해 실현될 수 있으며, 보다 일반적으로 모든 분야에 임베딩 S₃ → PGL(2, q)을 산출한다.
• PSL(2, 3) <수주 12와 24의 PGL(2, 3) → S₄, 그 중 후자는 이형이며, PSL(2, 3)은 교대군이다.
  • 조화 그룹은 반대 방향으로 부분 지도를 주어 S₃ → PGL(2, 3)을 점 -1의 스태빌라이저로 매핑한다.
• PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S₅, 순서 60, 교류 그룹 A를₅ 산출한다.
• PSL(2, 5)< PGL(2, 5) → S₆, 60, 120 오더에 S(존중, A₅)의 전이적₆ 서브그룹으로서 S₆(존중, A)를₅ 내장하고 있다.이것은 이국적인 지도₅ S → S의₆ 예로서, S의₆ 예외적인 외형 자동화를 구성하는 데 사용할 수 있다.^[6]이소형성 PGL(2, 5) ≅ S는₅ 이 프레젠테이션에서 투명하지 않다: PGL(2, 5)이 작용하는 5개 원소의 특별히 자연적인 집합은 없다.

p 포인트에 대한 조치

PSL(n, q)은 자연스럽게 (q-1ⁿ)/(q-1) = 1+q+...+qⁿ⁻¹ 포인트, 더 적은 포인트에 대한 비주기적 동작이 더 드물다.실제로 PSL(2, p)의 경우 p = 2, 3, 5, 7 또는 11인 경우에만 p 포인트에 비독점적으로 행동하며, 2와 3의 경우 그룹이 단순하지 않은 반면 5, 7, 11의 경우 그룹은 p 포인트보다 적은 포인트에도 비독점적으로 행동하지 않는다.^{[note 5]}이것은 에바리스테 갈루아가 1832년 체발리에에게 보낸 마지막 편지에서 처음 관찰되었다.^[7]

이는 다음과 같이 분석할 수 있다. 2와 3의 경우 동작이 충실하지 않으며(비비례 인용구, PSL 그룹은 단순하지 않으며), 5, 7, 11의 경우 동작이 충실하며(집단이 단순하고 동작이 비례하므로), S에_p 임베디드된다.마지막 경우인 PSL(2, 11)을 제외한 모든 경우에서, 그것은 예외적인 이형성에 해당하며, 여기서 가장 오른쪽 그룹이 p 지점에 대해 분명한 작용을 한다.

• ${\displaystyle {}_{}\mathrm{L}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cong }$ S ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ S ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}: 표지$$ 지도를 통해;
• ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}{3\mathrm{}}_{}}$ C 3 ${\$ rightarrow $A_{3}\cong C_{3}}}}$
• ${\displaystyle L_{2}(5)\cong A_{5}.}$ To construct such an isomorphism, one needs to consider the group L₂(5) as a Galois group of a Galois cover a₅: X(5) → X(1) = P¹, where X(N) is a modular curve of level N.이 커버는 12 포인트로 압착되어 있다.모듈형 곡선 X(5)는 속 0을 가지며 복잡한 수의 영역 위에 있는 구체에 이형성을 띠며, 이 12점에 대한 L₂(5)의 작용은 이형체의 대칭군이 된다.그런 다음 5개의 연관된 사면체에서 이코사면체의 대칭 그룹의 작용을 고려할 필요가 있다.
• 1+2+4 = Fano₂ 평면의 7 포인트에 작용하는 L₂(7) ≅ L(2₃); 이는 보완적 Fano 평면인 순서 2 양면에서의 작용으로도 볼 수 있다.
• L₂(11)은 보다 미묘하고 아래에 상세히 기술되어 있으며, 순서 3 양면기에 작용한다.^[8]

또한, L2(7)과 L2(11), 기하학적으로 이러한 p포인트 및 p블록 p포인트에 둘 다 조치지만,(그들은 다른 점 안정 장치들이)conjugate지 않는 지점에서 액션과 블록에서 액션 – 복엽기에 대한 작용으로 실현된다;그들은 대신 외부 automorp에 의해 관련된 p포인트에 두inequivalent 행동을 가지고 있다.안녕무리의 ^[9]sm

좀 더 최근에, 이 지난 3예외적인 행동이 ADE 분류의 한 예로써:[10] 이러한 행동 A4×Z/5Z, S4×Z/7Z, A5×Z/11Z, 플라톤의 고체의 그룹 A4, S4와 A5는isometry 그룹, 그리고 E1, E7에 해당한다, 그리고 E8불행으로 그 집단들의 제품(세트 아니라 그룹으로)에 해당하는 해석되고 있다.그 매케이 슈타츠 서신 왕래이 세 가지 예외적인 경우는 각각 다면체(리만 표면의 기울기)의 기하학적 구조로서도 실현된다: 이코사면체 내부의 5개의 사면체 화합물(성분, 속 0), 클라인 사분위체 내부의 순서 2 양면(성분 Fano 평면), 부크 내부의 순서 3면체(Paley biplane)이다.키볼 표면(genus70).^[11][12]

L2(11)의 행동은 대수적으로 예외적인 포함 L2(5)11점에 ↪ L2(11){\displaystyle L_{2}(5)\hookrightarrow L_ᆱ(11)}–이 L2(11)의 L2(5), 각 11요소와 동형이 여러 종파의 두conjugacy 수업:L2(11)의 접합에 의해서에서 액션 있는 액션 때문에 볼 수 있다.s,nd, 나아가, 두 개의 결합 등급은₂ L(11)의 외부 자동형성에 의해 관련된다. (L₂(7) 이형에서 S까지의₄ 부분군도 동일하며, 이 또한 양면 기하학을 가지고 있다.)

기하학적으로 이 작용은 다음과 같이 정의되는 양면 기하학을 통해 이해할 수 있다.양면 지오메트리는 대칭 설계(점 세트와 동일한 수의 "선" 또는 오히려 블록)로 두 개의 점이 교차하는 반면, 두 개의 선은 두 점으로 교차하는 반면, 한 선을 결정하는 두 점(그리고 한 점을 결정하는 두 개의 선)이 아닌 유한 투영 평면과 유사하다.t), 두 개의 선(점, 점)을 결정한다.이 경우(순서 11의 Paley digraph에서 얻은 Paley biplane) 점은 아편선(유한장) F이며₁₁, 여기서 첫 번째 선은 5개의 0이 아닌 2차 잔류물(점: 1, 3, 4, 5, 9)으로 정의되며, 다른 선은 이(모든 점에 상수 추가)의 아편역이다.L₂(11)은 이 지오메트리를 보존하는 S의₁₁ 서브그룹에 이형성을 띠며(라인에 선을 바꿈) 작용하는 11개의 점(사실상 2: 외부 자동모형에 해당하는 점 또는 선)을 부여하고, L₂(5)은 주어진 선의 스태빌라이저 또는 주어진 점의 다변성이다.

더욱 놀라운 것은 660/11 = 60(그리고 이코사헤드랄 그룹이 작용하는)을 주문하는 코제트₂ 공간 L(11)/Z/11Z는 자연적으로 부키볼의 구조를 가지며 버키볼 표면의 구조에 사용된다.

마티외 그룹

그룹 PSL(3, 4)을 사용하여 산발적으로 단순한 그룹 중 하나인 Mathieu 그룹 M을₂₄ 구성할 수 있다. 이러한 맥락에서 PSL(3, 4)은 M으로 언급되지만₂₁, 적절하게 Mathieu 그룹 자체는 아니다.하나는 4개의 요소를 가진 필드 위의 투영면에서 시작된다. 즉, 타입 S(2, 5, 21)의 Steiner 시스템이다. 즉, 21개의 점, 즉 Steiner 용어로 각 선("블록")은 5개의 점, 그리고 어떤 2개의 점이 선을 결정한다 – 그리고 어떤 PSL(3, 4)이 작용하는지.어떤 사람은 이 Steiner 시스템을₂₁ W("W" for Witt"라고 부르고 나서 그것을 더 큰 Steiner 시스템 W로₂₄ 확장하여, 그 길을 따라 대칭 그룹을 확장한다: 투영적인 일반 선형 그룹 PGL(3, 4) 다음으로 투영적인 반선형 그룹 PGL(3, 4)으로, 그리고 마지막으로 마티외 그룹 M₂₄.

M에는₂₄ M으로₂₂ 최대인 PSL(2, 11)과₂₄ M으로 최대인 PSL(2, 23)의 복사본도 들어 있어₂₄ M을 구성하는 데 사용할 수 있다.^[13]

허위츠 표면

PSL 그룹은 Hurwitz 그룹(Hurwitz 표면의 자동형 그룹 - 최대 대칭 그룹의 대수 곡선)에 따라 발생한다.최하위 속인 클라인 쿼틱(genus 3)의 허위츠 표면은 PSL(2, 7)에 대한 자동형성 그룹 이형성 그룹(3, 2)을 가지며, 2위 속인 맥베아트 표면(genus 7)은 PSL(2, 8)에 대한 자동형성 그룹 이형성을 가진다.

사실 PSL은 가장 작은 그룹을 포함하는 것으로 유명하지만, 허위츠 그룹(모든 교대 그룹이나 산발적인 그룹은 아니지만 괴물 그룹을 포함함)으로 인해 많은 그룹들이 발생하지만, 모든 단순 그룹이 아니다.

모듈 그룹

PSL(2, Z/nZ) 그룹은 모든 요소 modn을 줄임으로써 PSL(2, Z)을 인수로 연구할 때 발생하며, 커널을 주합성 부분군이라고 한다.

투사 일반 선형 그룹 PGL(2, Z)의 주목할 만한 부분군(그리고 투사 특수 선형 그룹 PSL(2, Z[i])은 집합 {0, 1, 1} } P¹(C)^{[note 6]}의 대칭이다.부분군은 부분군 선형 변환으로 표현하거나 행렬에 의해 다음과 같이 표현될 수 있다(비특이하게).

${\displaystyle x}$	${\displaystyle 1/(1-x)}$	${\displaystyle(x-1)/x}$
${\displaystyle {\pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$	${\displaystyle {\pmatrix}0&1\\-1\end{pmatrix}}$	${\displaystyle {\pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}}$
${\displaystyle 1/x}$	$(\displaystyle$	${\displaystyle x/(x-1)}$
${\displaystyle {\pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$	${\displaystyle {\pmatrix}-1&1\0&1\end{pmatrix}}$	${\displaystyle {\pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}}$
${\displaystyle {\pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}$	${\displaystyle {\pmatrix}-i&i\0&i\end{pmatrix}}$	${\displaystyle {\pmatrix}i&0\\i&i\end{pmatrix}}$

Note that the top row is the identity and the two 3-cycles, and are orientation-preserving, forming a subgroup in PSL(2, Z), while the bottom row is the three 2-cycles, and are in PGL(2, Z) and PSL(2, Z[i]), but not in PSL(2, Z), hence realized either as matrices with determinant −1 and integer coefficients, or as matrices with determinant 1 and Ga우시안 정수 계수

이 값은 감소 모드 n에서 {0, 1, ∞} ⊂ P¹(n)의 대칭에 매핑된다. Notably, for n = 2, this subgroup maps isomorphically to PGL(2, Z/2Z) = PSL(2, Z/2Z) ≅ S₃,^{[note 7]} and thus provides a splitting ${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbf {Z} /2)\hookrightarrow \operatorname {PGL} (2,\mathbf {Z} )}$ for the quotient map ${\displaystyle \mathrm{PGL}(2,\mathbf{Z})\twoheadrightarrow \mathrm{PGL}(2,\mathbf{Z}/2).}$${\displaystyle$$\operatorname {PGL}(2,\mathbf {Z})\2head \hotherwrightarrow \operatorname {PGL}(2,\mathbf {Z} /2)$$}$

이 부분군의 또 다른 속성은 지지도 S₃ → S가₂ 그룹 작용에 의해 실현된다는 것이다.That is, the subgroup C₃ < S₃ consisting of the 3-cycles and the identity () (0 1 ∞) (0 ∞ 1) stabilizes the golden ratio and inverse golden ratio ${\displaystyle \varphi _{\pm }={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}},}$ while the 2-cycles interchange these, thus realizing the map.

개별 2-cycles의 고정 포인트 각각, −1, 1/2,2며 이 집합 또한 permuted, S3의 2-cycles(그 Sylow 2-subgroups)에 접합에 의해 액션에 그리고번 국도 인 ⁡(S 3)≅ S3는 유질 동상 S3→을 실현하는 해당하는 보존 되어 있다.{\displaystyle S_{3}{\overset{\sim}{\to}}\operatorname{.i$nn}(S_{3})\cong S_{3}}$

위상

실제 숫자와 복잡한 숫자에 걸쳐 PGL과 PSL의 토폴로지는 다음을 정의하는 섬유 번들에서 결정할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {Z} &\cong &K*&\to &\mathrm {GL} &\to &\mathrm {PGL} \\\mathrm {SZ} &\cong &\mu _{n}&\to &\mathrm {SL} &\to &\mathrm {PSL} \end{matrix}}}$

긴 정확한 진동 순서를 통해

실물과 콤플렉스에서 모두 SL은 PSL의 피복 공간이며 시트 수는 K에 있는 n번째 루트의 수와 같으며, 따라서 특히 그들의 상위 호모토피 그룹은 모두 동의한다.현실에서 SL은 짝수 n을 위한 PSL의 2배 커버로, n 홀수, 즉 이형성을 위한 1배 커버다.

{±1} → SL(2n, R) → PSL(2n, R)

${\displaystyle \operatorname {SL}(2n+1,\mathbf {R}){\sim }{\\\}\operatorname {PSL}(2n+1,\mathbf {R} )}}$

단지에서 SL은 PSL의 n-폴드 커버다.

PGL의 경우 리얼의 경우 섬유는 R* ≅ {±1}이므로 호모토피까지 GL → PGL은 2배 커버 공간이며, 상위 호모토피 그룹은 모두 동의한다.

단지 위의 PGL의 경우 섬유는 C* ≅ S이므로¹ 호모토피까지 GL → PGL이 원형 묶음이다.원의 상위 호모토피 집단은 소멸하므로 GL(n, C)과 PGL(n, C)의 호모토피 집단은 n ≥ 3에 동의한다.실제로 π은₂ 리 그룹에서는 항상 사라지기 때문에 호모토피 그룹은 n n 2에 동의한다.n = 1의 경우 π₁(GL(n, C) = π₁(S¹) = Z가 있으므로 PGL(n, C)은 간단히 연결된다.

커버링 그룹

실제 숫자와 복잡한 숫자에 걸쳐 투사적 특수 선형 그룹은 특수 선형 리 ${\displaystyle \mathfrak{대수}}$l (${\displaystyle n}$)에 대한 최소 (중심이 없는) 리 그룹 실현이다${\displaystyle }$: ${\$$displaystyle$ ${\$$mathfrak{sl$$}(n)\colon }$ Lie 대수가 ${\displaystyle \mathfrak{l}}$ $)$인 모든 연결된$$ 리 그룹이다$.$, F. 반대로, 그것의 범용 커버 그룹은 최대(간단하게 연결됨) 요소이며, 중간 실현은 커버 그룹들의 격자를 형성한다.

예를 들어 SL(2, R)은 중심 {±1}과 기본 그룹 Z를 가지므로 범용 커버 SL(2, R)을 가지며 중심 없는 PSL(2, R)을 커버한다.

표현 이론

그룹 G에서 투영 선형 그룹으로 그룹 동형성 G → PGL(V)을 선형 표현(동형성 G → GL(V))과 유추하여 그룹 G의 투영적 표현이라고 한다.이들은 Issai Schur에 의해 연구되었는데, 그는 G의 투영적 표현은 G의 중심 확장자에 대한 선형 표현으로 분류될 수 있다는 것을 보여주었다.이것은 슈르 승수로 이어졌는데, 이 문제를 해결하는 데 사용된다.

저차원

투영 선형 그룹은 낮은 치수에 대해 정의할 수 있지만 대부분 n ≥ 2에 대해 연구된다.

n = 0(또는 사실상 n < 0)의 경우 0차원 공간의 1차원 하위공간이 없기 때문에 K의⁰ 투사공간은 비어 있다.따라서 PGL(0, K)은 빈 세트에서 그 자체로 고유한 빈 맵으로 구성되는 사소한 그룹이다.더욱이 0차원 공간에서 스칼라의 작용은 사소한 것이므로 지도 K* → GL(0, K)은 더 높은 차원에 있는 것처럼 포함되기보다는 사소한 것이다.

n = 1의 경우 K의¹ 투사공간은 1차원 서브공간이 하나 있기 때문에 단일점이다.따라서 PGL(1, K)은 단일톤 집합에서 그 자체로 고유한 지도로 구성되는 사소한 그룹이다.Further, the general linear group of a 1-dimensional space is exactly the scalars, so the map ${\displaystyle K^{*}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {GL} (1,K)}$ is an isomorphism, corresponding to PGL(1, K) := GL(1, K)/K* ≅ {1} being trivial.

n = 2의 경우 PGL(2, K)은 비교 대상이 아니지만, 2-변환성일 때 더 높은 차원과는 달리 3-변환성이라는 점에서 특이하다.

예

• PSL(2,7)
• 모듈형 그룹, PSL(2, Z)
• PSL(2,R)
• 뫼비우스 그룹, PGL(2, C) = PSL(2, C)

부분군

• 투영직교군, PO – PGL의 최대 콤팩트 부분군
• 투사적 단일군, PU
• 투영 특수 직교군, PSO – PSL의 최대 콤팩트 부분군
• PSU, Projective 특수 단일군

큰 그룹

투영 선형 그룹은 더 큰 그룹 내에 포함되며, 특히 다음과 같다.

• 투사 반선형 그룹, 필드 자동화가 가능한 PγL.
• Cremona 그룹, Birgular Automotism의 Cr(Pⁿ(k); 모든 2각형 자동형은 선형이기 때문에 PGL은 2각형 자동화 그룹과 일치한다.

참고 항목

• 투영적 변환
• 구성 단위

메모들

참조

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "Projective linear group" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2008년 2월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)