극과 극

점 O를 중심으로 한 반지름 r의 원과 관련하여 점 Q에 대한 극선. 점 P는 Q의 반전점이며, 극은 O, P, Q를 포함하는 선에 수직인 P를 통과하는 선이다.

기하학에서 극과 극은 각각 주어진 원뿔 단면에 대해 고유한 상호관계를 갖는 점과 선이다.

주어진 원의 경우, 원 안의 상호화는 평면의 각 점을 극선으로, 평면의 각 선을 극으로 변환하는 것을 의미한다.

특성.

극과 극은 몇 가지 유용한 특성을 가지고 있다.

점 P가 선 l에 놓여 있다면, 선 l의 극 L은 점 P의 극 p에 놓여 있다.
점 P가 선 l를 따라 이동하면, 그것의 극 p는 선 l의 극 L을 중심으로 회전한다.
만약 두 개의 접선선이 극에서 원뿔 부분으로 그려질 수 있다면, 그것의 극성은 양쪽 접선 지점을 통과한다.
점이 원뿔 단면에 있는 경우, 원뿔 단면에 대한 이 지점을 통과하는 탄젠트 극성이 된다.
점 P가 자체 극선에 놓여 있으면 원뿔 부분에 P가 있다.
각 선은 비감속 원뿔 단면에 대하여 정확히 하나의 극을 가진다.

동그라미 특례

원 C에 있는 선 L의 극은 원의 중심에서 가장 가까운 L에 있는 점 Q의 C의 반전인 점 P이다. 반대로 원 C에서 점 P의 극선(또는 극선)은 원 중심에서 가장 가까운 점 Q가 C에서 P의 반전인 L선이다.

점 A가 다른 점 Q의 극선 Q에 놓여 있다면 Q는 A의 극선 A에 놓여 있다. 보다 일반적으로, 라인 q에 있는 모든 점의 폴라는 폴 Q를 통과해야 한다.

폴과 폴라의 관계는 상호적이다. 따라서 점 A가 점 Q의 극선 Q에 놓여 있는 경우 점 Q는 점 A의 극선 A에 놓여 있어야 한다. 두 극선 a와 q는 평행할 필요가 없다.

점 P의 극선이 C 원 외부에 있는 경우 다른 설명이 있다. 이 경우 원과 접하는 P를 통과하는 두 개의 선이 있으며, P의 극은 두 개의 접선점(여기는 표시되지 않음)과 결합하는 선이다. 이것은 극과 극선이 평면의 투영 기하학에서 개념이며, 원 C 대신 비경상 원뿔체로 일반화한다는 것을 보여준다.

상호주의와 투영적 이중성

점과 선 사이의 이중성과 "침입"의 이중적 의미를 그림으로 나타내십시오. 두 선 a와 k가 한 점 Q를 통과하면 Q의 극 q는 각각 선 a와 k의 극 q와 결합한다.

극의 개념과 극선의 개념은 투영 기하학에서 발전했다. 예를 들어, 극선은 원뿔에 대해 주어진 점인 극의 투사적 조화 결합체로 볼 수 있다. 모든 점을 극성으로, 그 반대 방향으로 교체하는 작업을 극성으로 알려져 있다.

극성은 또한 비자발적인 상관관계다.

일반 원뿔 단면

선 p는 P, l to L, m to M 지점까지의 극선이다.

p는 P 지점까지의 극선이고 m은 M 지점까지의 극선이다.

극, 극, 호혜의 개념은 타원, 하이퍼볼라, 파라볼라 등 원뿔형 부분까지 일반화할 수 있다. 이러한 일반화는 원뿔 부분이 다른 원 안에 있는 원의 상호 작용에서 비롯되고 발생률과 교차 비율과 같은 관련 특성이 모든 투영적 변환 하에서 보존되기 때문에 가능하다.

점의 극성 계산

일반 원뿔 부분은 평면의 데카르트 좌표(x, y)에 2차 방정식으로 작성할 수 있다.

A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0\,

여기서 A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, C는 방정식을 정의하는 상수다. 그러한 원뿔 단면의 경우, 주어진 극점까지의 극선(), polar)은 방정식으로 정의된다.

Dx+Ey+F=0\,

여기서 D, E, F는 마찬가지로 극좌표(ξ, η)에 의존하는 상수다.

{\reasoned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\,\ended{정렬}}}

선의 극값 계산

비감소 원뿔 섹션에 상대적인 $Dx+Ey+F=0$ $Dx+Ey+F=0$ x $Dx+Ey+F=0$ + $Dx+Ey+F=0$ $Dx+Ey+F=0$ + $Dx+Ey+F=0$ = 0 $Dx+Ey+F=0$ 의 극

A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0\,

두 단계로 계산할 수 있다.

먼저 x, y, z의 숫자를 계산한다.

{\bmatrix}x\\y\z\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\A_{xy}&A_{y}&B_{y}\\B_{x}&B_{x}&B_{c\end{bmatrix}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}\E\F\end{bmatrix}

이제 폴은 좌표 $\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)$ z $\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)$ , y $\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)$ ) ${\$ 가 있는 지점이다.

극-극 관계 표

원뿔형의	방정식	$P=(x_{0},y_{0})$ = $P=(x_{0},y_{0})$ ( x $P=(x_{0},y_{0})$ , $P=(x_{0},y_{0})$ 0 $P=(x_{0},y_{0})$ ) ${\디스플레이$ 스타일 P=(x_{ $0},y_{0}}}}$
원을 그리다	${\displaystyle x^{2}+y^{2}}}=r^{2}}:$	$x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$
타원형	$\좌측 \frac {x}{a}\우측)^{2}+\좌측 \frac {y}{b}\우측)^{2}=1$	${\frac {x_{0}x}{a^{2}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}=1$
쌍곡선	$\left({\frac {x}{a}\오른쪽)^{2}-\leftleft\frac {y}{b}\오른쪽)^{2}=1$	${\frac {x_{0}x}{a^{2}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}=1$
포물선	$y=ax^{2}$	$y+y_{0}=2ax_{0}x$

원뿔형의	방정식	선의 극 u x + v y = w
원을 그리다	${\displaystyle x^{2}+y^{2}}}=r^{2}}:$	${\displaystyle({\frac {r^{2}u}{w}},\\\frac {r^{2}v}{w}}}}}}}}$
타원형	$\좌측 \frac {x}{a}\우측)^{2}+\좌측 \frac {y}{b}\우측)^{2}=1$	${\displaystyle({\frac {a^{2}u}{w},\\\frac {b^{2}v}{w}}}}}}}}$
쌍곡선	$\left({\frac {x}{a}\오른쪽)^{2}-\leftleft\frac {y}{b}\오른쪽)^{2}=1$	${\displaystyle({\frac {a^{2}u}{w},\\\frac {-b^{2}v}{w}}}}}}}}$
포물선	$y=ax^{2}$	${\displaystyle({\frac {-u}{2av},\;{\frac {-w}{v}})}$

전체 쿼드랭글을 통해

완전한 사분면을 이루는 4개의 점들이 주어진다면, 점들을 연결하는 선들은 추가적인 3개의 대각선 점들에서 교차한다. 원뿔 C에 없는 점 Z를 주어진 경우, A, B, D, E 지점에서 Z에서 C 교차점까지 두 개의 세컨트를 그린다. 그런 다음 이 네 개의 점이 대각선 점 중 하나에 Z와 함께 완전한 사분선을 형성한다. 다른 두 대각선 점들과 결합하는 선은 Z의 극이며, Z는 이 선의 극이다.^[1]

적용들

폴란드와 폴라는 요셉 디아즈 게르곤에 의해 정의되었으며 아폴로니우스의 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 한다.^[2]

평면 역학에서 극은 회전의 중심이고 극은 작용의 힘줄이며 원뿔은 질량-내부 행렬이다.^[3] 극-극 관계는 평면 강체 신체의 타악의 중심을 규정하는 데 사용된다. 극이 경첩점이라면 극은 평면 나사 이론에서 설명한 것처럼 타악선 작용이다.

참고 항목

참고 문헌 목록

Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle. New York: Dover Publications. pp. 100–105.
Coxeter HSM, Greitzer SL (1967). Geometry Revisited. Washington: MAA. pp. 132–136, 150. ISBN 978-0-88385-619-2.
Gray J J (2007). Worlds Out of Nothing: A Course in the history of Geometry in the 19th century. London: Springer Verlag. pp. 21. ISBN 978-1-84628-632-2.
Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. pp. 43–45. LCCN 59014456. 도버 출판사에서 발행한 페이퍼백 버전은 ISBN 978-0-486-41147-7이 있다.
Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 190–191. ISBN 0-14-011813-6.

참조

^ G. B. Halsted(1906) 합성 투영 기하학, 인터넷 아카이브를 통해 25페이지
^ "Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections" (PDF). Retrieved 2013-06-04.
^ John Alexiou Statist, 5장 80–108 웨이백 기계에 보관된 2011-07-19

외부 링크

[1] G. B. Halsted(1906) 합성 투영 기하학, 인터넷 아카이브를 통해 25페이지

[2] "Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections" (PDF). Retrieved 2013-06-04.

[3] John Alexiou Statist, 5장 80–108 웨이백 기계에 보관된 2011-07-19

[1]

[2]

[3]

Search