고복합수

높은 합성수(반 프라임이라고도 함)는 더 작은 양의 정수가 가진 것보다 더 많은 디비저를 가진 양의 정수다. 큰 복합수의 관련 개념은 최소 더 작은 양의 정수만큼의 디비저를 갖는 양의 정수를 가리킨다. 두 개의 높은 합성수(1과 2)가 실제로 합성수가 아니기 때문에 명칭은 다소 오도될 수 있다.

고인이 된 수학자 장-피에르 카헤인은 플라톤이 5040을 도시의 이상적인 시민 수로 선택했기 때문에 5040을 그것보다 적은 숫자보다 더 많은 점수로 선택했기 때문에 매우 복합적인 숫자에 대해 알고 있었을 것이라고 제안했다.^[1] 라마누잔은 1915년에 이 주제에 대한 논문을 쓰고 제목을 붙였다.^[2]

예

초기 또는 최소 38개의 고도로 복합된 숫자가 아래 표에 나열되어 있다(OEIS의 순서 A002182). 구분자 수는 d(n) 레이블로 표시된 열에 주어진다. 별표는 높은 합성수를 나타낸다.

주문	HCN n	전성기의 인자화	전성기의 지수	번호를 붙이다 전성기의 요인들	d(n)	태고의 인자화
1	1			0	1
2	2*	${\displaystyle 2}$	1	1	2	${\displaystyle 2}$
3	4	${\displaystyle 2^{2}}$	2	2	3	${\displaystyle 2^{2}}$
4	6*	$2\cdot 3}$	1,1	2	4	${\displaystyle 6}$
5	12*	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3}$	2,1	3	6	$2\cdot 6}$
6	24	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3}$	3,1	4	8	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6}$
7	36	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}}$	2,2	4	9	${\displaystyle 6^{2}}$
8	48	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3}$	4,1	5	10	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6}$
9	60*	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3\cdot 5}$	2,1,1	4	12	$2\cdot 30}$
10	120*	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5}$	3,1,1	5	16	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30}$
11	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	2,2,1	5	18	$6\cdot 30}$
12	240	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5}$	4,1,1	6	20	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30}$
13	360*	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	3,2,1	6	24	$2\cdot 6\cdot 30}$
14	720	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	4,2,1	7	30	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30}$
15	840	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	3,1,1,1	6	32	${\displaystyle 2^{2}\cdot 210}$
16	1260	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	2,2,1,1	6	36	$6\cdot 210}$
17	1680	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	4,1,1,1	7	40	${\displaystyle 2^{3}\cdot 210}$
18	2520*	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	3,2,1,1	7	48	$2\cdot 6\cdot 210}$
19	5040*	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	4,2,1,1	8	60	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 210}$
20	7560	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	3,3,1,1	8	64	${\displaystyle 6^{2}\cdot 210}$
21	10080	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	5,2,1,1	9	72	$2^{3}\cdot 6\cdot 210}$
22	15120	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	4,3,1,1	9	80	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 210}$
23	20160	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	6,2,1,1	10	84	$2^{4}\cdot 6\cdot 210}$
24	25200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	4,2,2,1	9	90	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30\cdot 210}$
25	27720	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	3,2,1,1,1	8	96	$2\cdot 6\cdot 2310}$
26	45360	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7}$	4,4,1,1	10	100	${\displaystyle 6^{3}\cdot 210}$
27	50400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	5,2,2,1	10	108	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 210}$
28	55440*	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	4,2,1,1,1	9	120	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 2310}$
29	83160	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	3,3,1,1,1	9	128	${\displaystyle 6^{2}\cdot 2310}$
30	110880	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	5,2,1,1,1	10	144	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 2310}$
31	166320	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	4,3,1,1,1	10	160	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
32	221760	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	6,2,1,1,1	11	168	${\displaystyle 2^{4}\cdot 6\cdot 2310}$
33	277200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	4,2,2,1,1	10	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30\cdot 2310}$
34	332640	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	5,3,1,1,1	11	192	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
35	498960	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	4,4,1,1,1	11	200	${\displaystyle 6^{3}\cdot 2310}$
36	554400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	5,2,2,1,1	11	216	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 2310}$
37	665280	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	6,3,1,1,1	12	224	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
38	720720*	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13}$	4,2,1,1,1,1	10	240	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30030}$

처음 15개의 고도로 복합된 숫자의 구분점은 다음과 같다.

n	d(n)	n의 구분자
1	1	1
2	2	1, 2
4	3	1, 2, 4
6	4	1, 2, 3, 6
12	6	1, 2, 3, 4, 6, 12
24	8	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36	9	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
48	10	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
60	12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
120	16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
180	18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
240	20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240
360	24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360
720	30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720
840	32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840

아래 표는 2개의 숫자로 36개의 다른 방법으로 작성함으로써 10080의 72개의 디비저를 모두 보여준다.

높은 합성수: 10080 10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3) × 5 × 7
1 × 10080	2 × 5040	3 × 3360	4 × 2520	5 × 2016	6 × 1680
7 × 1440	8 × 1260	9 × 1120	10 × 1008	12 × 840	14 × 720
15 × 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28 × 360	30 × 336	32 × 315	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42 × 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70 × 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105
주: 굵은 글씨로 된 숫자는 그 자체로 매우 복합적인 숫자들이다. 단지 20번째 고복합 7560 (= 3 × 2520)만이 없다. 10080은 이른바 7-smooth 숫자(OEIS의 순서 A002473).

1만5000번째 고복합 번호는 아킴 플램멘캄프 홈페이지에서 확인할 수 있다. 그것은 230 프라임의 산물이다.

${\displaystyle a_{0}^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},}$

여기서 ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 연속된 소수들의 순서이며, 모든 생략된 용어(a₂₂₂₂₈ ~ a)는 1과 같은 지수를 갖는 요인이다(즉, 숫자는 2 ${\displaystyle {14}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$× ${\displaystyle {6\mathrm{}}^{}\times }$× ${\displaystystyle$2^{$14}\cd}\cdots$ 5$^{6}\cdots 1451}\$cdots 1451}\cdots 1451$}).$ 좀 더 간결하게 말하면, 그것은 일곱 개의 뚜렷한 영장류의 산물이다.

${\displaystyle b_{0}^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{118}}}}}}}}$

여기서 b ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 0 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ a ${\displaystyle n_{}}$ ${\$^[3]의 초기 $단계$다.

프라임 인자화

대략적으로, 어떤 숫자가 고도로 복합적이 되려면 가능한 한 작은 주요 요인을 가져야 하지만, 같은 요인을 너무 많이 포함하지는 않아야 한다. 산술의 근본적인 정리에 의해, 모든 양의 정수 n은 고유한 프라임 인자를 가진다.

${\displaystyle n=p_{1}^{1}^{c_{1}:{2}}:\cdots \cdots \cdots \{k}^{c_{k}}}\qquad(1)}$

여기서 < > p k ${\$는 prime이고, 지수 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 양의$$ 정수다.

n의 모든 요인은 각 프라임에서 동일하거나 덜 다중성을 가져야 한다.

${\displaystyle p_{1}^{1}^{1}:{d_{2}}\cdots \cdots \cdots \cd_{k}^{d}}{d}}\0\leq d_{i}\leq c_{i}},0<i\leq k}$

따라서 n의 구분자 수는 다음과 같다.

${\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\c_{2}+1)\cdots \cdots \cs(c_{k}+1)\c_d.\qquad (2)}$

따라서, 매우 복합적인 숫자 n의 경우,

• k 주어진 소수 p는_i 정확히 첫 번째 k 소수여야 한다(2, 3, 5, ...). 그렇지 않으면 주어진 소수 중 하나를 작은 소수 단위로 대체할 수 있고, 따라서 같은 수의 소수점(예: 10 = 2 x 5는 6 = 2 × 3으로 교체될 수 있으며, 둘 다 4개의 소수점)으로 n보다 작은 소수점을 얻을 수 있다.
• 멱지수의 시퀀스,non-increasing야 한다 c 1≥ c2≥ ⋯ ≥ ck{\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots(c_{k}}, 그렇지 않으면입니다.에 의해 교환하는 두 밑이 우리는 다시 회복보다 적n과 같은 번호의 제수(예를 들면 18=21×32로 대체 될 수도 있12=22×31;둘 다 6개 diviso.개발).

또한, 두 개의 특별한 경우를 제외하고, n = 4와 n = 36을 제외하고, 마지막 지수 c는_k 1이어야 한다. 1, 4, 36은 제곱합성이 높은 유일한 숫자라는 뜻이다. 지수 순서가 비증가적이라고 말하는 것은 고도로 복합적인 숫자가 원시적 산물이라고 말하는 것과 같으며, 또는 그 대신 원시적 서명의 경우 가장 작은 숫자라고 말하는 것과 같다.

위에서 설명한 조건이 필요하지만 숫자가 고도로 복합적이 되기에 충분하지 않다는 점에 유의하십시오. 예를 들어 96 = 2⁵ × 3은 위의 조건을 만족하고 12개의 칸을 가지지만 칸의 수가 같은 60개 작은 칸이 있으므로 합성이 높지 않다.

점근성장과 밀도

Q(x)가 x보다 작거나 같은 고도로 합성된 숫자의 수를 나타내는 경우, 두 상수 a와 b가 모두 1보다 크며, 다음과 같은 두 상수가 있다.

${\displaystyle (\log x)^{a}\leq Q(x)\leq(\log x)^{b}\,}$

불평등의 1부는 1944년 폴 에르드스에 의해, 2부는 1988년 장 루이 니콜라스에 의해 증명되었다. 우리는^[4] 가지고 있다.

${\displaystyle 1.13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}\leq 1.44\}$

그리고

${\displaystyle \limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}\leq 1.71\ .}$

관련 시퀀스

6보다 높은 합성수 역시 풍부한 숫자다. 이 사실을 확인하기 위해서는 특정 고도로 복합적인 숫자의 가장 큰 세 개의 적절한 구분자를 볼 필요가 있다. 모든 높은 합성수들이 베이스 10에서도 하르샤드 숫자라는 것은 거짓이다. 하르샤드 숫자가 아닌 첫 번째 HCN은 24504만4800으로 숫자 합이 27이지만 27은 24504만4800으로 고르게 나누지 않는다.

처음의 38개의 높은 합성수 중 10개는 높은 합성수보다 우수하다. 고도로 복합된 숫자의 순서(OEIS의 순서 A002182)는 정확히 n개의 구분자를 가진 최소 숫자 k의 순서(OEIS의 순서 A005179)의 하위 집합이다.

Highly composite numbers whose number of divisors is also a highly composite number are for n = 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 (sequence A189394 in the OEIS). 이 순서가 완성되었을 가능성이 매우 높다.

양의 정수 n은 모든 m ≤ n에 대해 d(n) ≥ d(m) ≥ d(m)일 경우 크게 합성된 숫자다. 크게 복합된 숫자의 계수_L 함수 Q(x)가 충족됨

${\displaystyle (\log x)^{c}\leq \log Q_{L}(x)\leq(\log x)^{d}\}$

양수 c의 경우, 0.2${\displaystyle d}$ c ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \mathrm{d}\le }$ 0.5 $[\displaystyle$ 0.$2\leq c\leq d\$leq $d\leq$ 0.5$}$이(가) 있는 d$.$^[5][6]

고도로 복합적인 숫자의 주요 인자화는 첫 번째 k자릿수를 모두 사용하기 때문에, 모든 고 복합적인 숫자는 실제적인 숫자여야 한다.^[7] 분수를 포함하는 계산에 사용하기 쉽기 때문에, 이러한 숫자의 대부분은 전통적인 측정 및 엔지니어링 설계 시스템에 사용된다.

참고 항목

• 우수고복합수
• 높은 토털 수
• 칸막이 표
• 오일러의 토텐 함수
• 라운드 넘버
• 평활수

메모들

참조

• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. pp. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
• Erdös, P. (1944). "On highly composite numbers" (PDF). Journal of the London Mathematical Society. Second Series. 19 (75_Part_3): 130–133. doi:10.1112/jlms/19.75_part_3.130. MR 0013381.
• Alaoglu, L.; Erdös, P. (1944). "On highly composite and similar numbers" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 56 (3): 448–469. doi:10.2307/1990319. JSTOR 1990319. MR 0011087.
• Ramanujan, Srinivasa (1997). "Highly composite numbers" (PDF). Ramanujan Journal. 1 (2): 119–153. doi:10.1023/A:1009764017495. MR 1606180. 주석을 달고 장 루이 니콜라스와 가이 로빈이 서문을 썼다.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Highly Composite Number". MathWorld.
• 고복합수 계산 알고리즘
• 첫 번째 요인으로서 10000개의 높은 합성수
• Achim Flammenkamp, 첫 번째 779674 HCN(시그마, 타우, 인자 포함)
• 온라인 고복합수 계산기

• 5040 및 기타 반 프라임 번호 - Numberphile의 James Grime 박사의 James Grime 박사