베르누이 다항식

수학에서, 제이콥 베르누이의 이름을 딴 베르누이 다항식들은 베르누이 숫자와 이항계수를 결합한다.그것들은 기능의 직렬 확장에 사용되고 오일러-매크로린 공식과 함께 사용된다.

이러한 다항식들은 많은 특수 기능들, 특히 리만 제타 기능과 허위츠 제타 기능에 대한 연구에서 발생한다.이 시퀀스는 호칭 시퀀스(즉, 일반 파생상품 운영자의 셰퍼 시퀀스)이다.베르누이 다항식의 경우 단위 간격에서 x축의 교차 횟수가 정도와 함께 올라가지 않는다.큰 정도 한계에서, 그들은 적절히 크기를 조정할 때 사인 및 코사인 함수에 접근한다.

생성함수에 기초한 유사한 다항식 집합은 오일러 다항식 계열이다.

표현

베르누이 다항식 B는_n 생성함수에 의해 정의될 수 있다.그들은 또한 다양한 파생적 표현을 인정한다.

함수 생성

베르누이 다항식의 생성 함수는

${\displaystyle {\frac{te^{xt}{e^{t}-1}=\sum _{n=0}^{\n=0}^{\b_{n(x){\frac {t^{n}{n}{n!}}.}$

오일러 다항식의 생성 함수는

${\displaystyle {\frac{2e^{xt}{e^{t}+1}=\sum _{n=0}^{n}^{n}(x){\frac {t^{n}{n}{n!}}.}$

명시식

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \선택 k}B_{n-k}x^{k}}}}$

${\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m}{m \선택 k}{{E_}}{2^{k}}}}\좌측(x-{\frac {1}{1}{1}:{2}}\오른쪽)^{m-k}\,}$

n ≥ 0의 경우, 여기서 B는_k 베르누이 숫자, E는_k 오일러 숫자다.

차동 연산자에 의한 표현

베르누이 다항식도 에 의해 주어진다.

${\displaystyle B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}}}}$

여기서 D = d/dx는 x에 대해 분화하며 분수는 공식 파워 시리즈로 확장된다.그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle \int_{a}^{x}B_{n}(u)~du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}:{n+1}:{n+1}:{n1}:1}}~.}$

아래 cf. 통합.같은 토큰에 의해 오일러 다항식은 다음에서 주어진다.

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}x^{n}.}$

적분 연산자에 의한 표현

베르누이 다항식은 또한 에 의해 결정되는 독특한 다항식이다.

${\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.}$

적분 변환

${\displaystyle (tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du}$

다항식 f에, 간단히 에 해당한다.

${\displaystyle {\begin}(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{n^{d^{n} \over (n+1)!}f(x)\\\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f'(x) \over 6}+{f''(x) \over 24}+\cdots ~.\end{arged}}}}}}}$

이것은 아래의 반전 공식을 만드는 데 사용될 수 있다.

또 다른 명시적 공식

베르누이 다항식의 명시적 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}-1)^{k}{n \n \선택 k}(x+k)^{m}}}}}$

그것은 복잡한 평면의 허위츠 제타 기능에 대한 시리즈 표현과 유사하다.사실, 그 관계가 있다.

${\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta(1-n,x)}$

여기서 ζ(s, q)은 후르비츠 제타 함수다.후자는 n의 비정수 값을 허용하면서 베르누이 다항식을 일반화한다.

내부 합계는 x의^m n번째 전방차이(즉,

${\displaystyle \Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n-k}{n \선택 k}(x+k)^{m}}$

여기서 Δ는 전방차 측정 시스템이다.그러므로 글을 쓸 수도 있다.

${\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}}}{n+:1}}\,\Delta ^{n}x^{m}.}$

이 공식은 다음과 같은 정체성에서 도출될 수 있다.전진차 연산자 Δ가 같기 때문에

${\displaystyle \Delta =e^{D}-1}$

여기서 D는 x에 대한 차별화 입니다. 우리는 메르카토르 시리즈로부터

${\displaystyle {D \over e^{D}-1}={\log(\Delta +1) \delta }=\sum _{n=0}^{\infit }{(-\Delta )^{n}{n}{n}{n}{n} n+1}.}}}}}$

이것이 x와^m 같은 m도 다항식으로 동작하는 한, n은 0에서 m까지만 놓아둘 수 있다.

베르누이 다항식의 적분 표현은 Nörlund-Rice 적분들에 의해 주어지며, 이는 유한 차이로서 표현에서 따온 것이다.

오일러 다항식의 명시적 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{{1}{2^{n}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \n \ \}(x+k)^{m}\, .}$

위와 같은 내용은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {2}{e^{D}+1}+1}={\frac {1}{1+\Delta /2}}=\sum _{n=0}^{\infl }{\bigl (}-{{{\frac {\Delta }}}}}}^{n}}}}}}}}}}}}}}.}$

pth 파워 합계

$위$의 x ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ 또는$$ ID ${\displaystyle B_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \mathrm{x}}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$-${\displaystyle {}_{}B}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$n-1}의$$적분 표현을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle \sum_{k=0}^{x}k^{p}=\int_{0}^{x+1}B_{p+1}(t)\,dt={\frac {B_{p+1}(x+1)-{p+1}:{p+1}:{p+1}:{p+1}:{p+1}:{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

(각각⁰ 0 = 1)

베르누이와 오일러 수

베르누이 번호는 ${\displaystyle {Bn}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}{}_{}}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\$)로 주어진다$.$$}$

$이{\displaystyle }$ 정의는 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ${\$ $\zeta(-n)={\frac{-1}{n+1}{n+$1}B_${n+1}}$에 대해 $for$( -${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ($$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$$$)${\displaystyle }$= ( - 1) n${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ + ${\displaystyle 1_{}}$ b${\displaystyle {}_{}}$+ $1,\ldots }$을 부여한다$.$

대체 규약은 베르누이 숫자를 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{B}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\$)로 정의한다$.$$}$

$두{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {규약}_{}}$은${\displaystyle {}_{}\mathrm{B}}$1${\displaystyle }$( ${\displaystyle \frac{1}{}}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ =$$- B 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 0}$) {\$displaystyle B_{$1}(1)={\$tfrac {1}{2}}=-B_{1$}(0$) 이후$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle n=1}$에 대해서만 다르다$.$

오일러 번호는 ${\displaystyle {En}_{}}$= ${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\displaystyle {En}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}{$n}({\$tfrac$ {1$}{2$}})로 주어진다$.$$}$

낮은 도에 대한 명시적 표현식

베르누이 다항식(Bernouli polynomial)의 처음 몇 가지는 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}B_{0}(x)&=1\\[8pt]B_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\frac {1}{6}\[8pt]B_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}-{2}}x^{2}+{2}}:x^{1}{1}{1}{2}}x\\[8pt]B_{4}(x)&=x^{4}-{4}-2x^{3}-{1}-{30\frac {1}B_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}-{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}-{\frac {1}{6}x\[8pt]B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{1}{1}{2}}x^{1}+{\frac {1}{1}{42}}}.\end{정렬}}}$

처음 몇 개의 오일러 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}E_{0}(x)&=1\\[8pt]E_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]E_{2}(x)&=x^{2}-x\[8pt]E_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}}:x^{2}}+{{1}{4}\[8pt]E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x\[8pt]E_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}-{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{1}:{1}:{8pt]E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.\end{정렬}}}$

극대와 극소

n이 높을수록 b(x)의 x = 0과_n x = 1 사이의 변동량이 커진다.예를 들어.

${\displaystyle B_{16}(x)=x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-{\frac {182}{3}}x^{12}+{\frac {572}{3}}x^{10}-429x^{8}+{\frac {1820}{3}}x^{6}-{\frac {1382}{3}}x^{4}+140x^{2}-{\frac {3617}{510}}}$

즉, x = 0(및 x = 1)의 값은 -3617/510 7 -7.09인 반면 x = 1/2에서는 118518239/3342336 7 +7.09. D.H. Lehmer는^[1] B(x)의_n 최대값이 0과 1 사이의 오바임을 나타냈다.

${\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}}{{(2\pi )^{n}}}}$

n이 2 modulo 4가 아니라면, 이 경우

${\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)n!}{{{n}}{(2\pi )^{n}}}}}}}}}}:{n}}}}}}}}}}$

(여기서 $\zeta {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \zeta (x)}$은(는) Riemann zeta 함수인 반면, 최소 오바이스는

${\displaystyle m_{n}}{\frac {-2n!}}{{(2\pi )^{n}}}}$

n이 0 modulo 4가 아니라면, 이 경우

${\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)n!}{{(2\pi )^{n}}}.}$

이러한 한계는 실제 최대와 최소에 상당히 가깝고, 르메르 역시 더 정확한 한계에 가깝다.

차이 및 파생상품

베르누이와 오일러 다항식은 탯줄 미적분학으로부터 많은 관계를 따른다.

${\displaystyle \Delta B_{n}(x)=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},}$

${\displaystyle \Delta E_{n}(x)=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).}$

(Δ는 전방차 측정 시스템이다.)또,

${\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.}$

이러한 다항식 시퀀스는 호칭 시퀀스:

${\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),}$

${\displaystyle E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x).}$

번역

${\displaystyle B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \선택 k}B_{k}(x)y^{n-k}}}$

${\displaystyle E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \선택 k}E_{k}(x)y^{n-k}}}$

이러한 정체성은 또한 이러한 다항식 시퀀스가 호칭 시퀀스라고 말하는 것과 동등하다.(Hermite 다항식도 또 다른 예)

대칭

${\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),\quad n\geq 0,}$

${\displaystyle E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x)}$

${\displaystyle(-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}$

${\displaystyle(-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}}}}$

${\displaystyle B_{n}\좌({\frac {1}{2}}\우)=\좌({\frac {1}{2^{n-1}-1\우)B_{n},\quad n\geq 0{\text{ 아래의 곱셈 정리에서 나온 것이다.}}}$

Zhi-Wei Sun과 Hao Pan은 다음과 같은 놀라운 대칭 관계를 확립했다.r + s + t = n 및 x + y + z = 1이면

${\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,}$

어디에

${\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n(1)^{k}{k}{s \s 선택 k}{n-k}B_{n-k}(x)B_{k}(y) 선택.}$

푸리에 시리즈

베르누이 다항식의 푸리에 시리즈도 확장이 주는 디리클레 시리즈다.

${\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}$

적절한 스케일링 삼각함수에 대한 단순 큰 n 한계에 유의하십시오.

이것은 후르비츠 제타 기능에 대한 유사 형태의 특수한 경우다.

${\displaystyle B_{n}(x)=-\감마(n+1)\sum _{k=1}^{{k=1}{n1}^{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}}}{n}}}}}}$

이 팽창은 n ≥ 2일 때 0 ≤ x ≤ 1에 대해서만 유효하며, n = 1일 때 0 < x < 1에 유효하다.

오일러 다항식의 푸리에 시리즈도 계산할 수 있다.함수 정의

${\displaystyle C_{\nu }}(x)=\sum _{k=0}^{\inflit }{\frac {\cos(2k+1)\pi x)}{{(2k+1)^{\nu }}}}}}}}}}}}}}}}}{{\nu }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\inflac {\sin(2k+1)\pi x)}{{(2k+1)^{\nu }}}}}}}}}}}}}}{\nu }}}}}}}}}}}:$

> ${\displaystyle \nu >1}$의 경우 오일러 다항식에는 푸리에 시리즈가 있다.

${\displaystyle C_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}{4(2n-1)!}}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)}$

그리고

${\displaystyle S_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}{4(2n)!}}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).}$

C ${\$과 $S$ ${\$은(는) 각각 홀수 및 짝수라는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle C_{\nu }(x)=-C_{\nu }(1-x)}$

그리고

${\displaystyle S_{\nu }(x)=S_{\nu }(1-x).}$

레전드르치 함수 ${\$과(와$$) 관계가 있다.

${\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})$

그리고

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {im} \chi _{\nu }(e^{ix}).}$

반전

베르누이와 오일러 다항식은 다항식의 관점에서 단항체를 표현하기 위해 반전될 수 있다.

구체적으로는, 적분 연산자에 관한 위의 절에서, 다음과 같이 한다.

${\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \선택 k}B_{k}(x)}$

그리고

${\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{1}:{2}}:\sum _{k=0}^{n-1}{n \n \선택 k}E_{k}(x)}$

요인 감소와의 관계

베르누이 다항식은 하강$$ 요인$({\displaystyle x_{}}$)$$k {\$displaystyle (x)_{k}}$의 관점에서 확장될 수 있다.

${\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac{n+1}{k+1}{k+1}}{{\gin{matrix}n\\n\k\end{matrix\}}(x)_{k+1}:{k+1}:{n1}:{n1}:{n1}:{n1}:{n1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서$$ B ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)$ 및

${\displaystyle \left\{\begin{matrix}n\\\k\end{matrix}\right\}=S(n,k)}$

두 번째 종류의 스털링 숫자를 나타낸다.위의 내용은 베르누이 다항식의 관점에서 하강하는 요인을 표현하기 위해 반전될 수 있다.

${\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}1}{k+1}}\왼쪽[{\begin{matrix}n\k\end{matrix}}\오른쪽]\좌측(B_{k+1}x)$

어디에

${\displaystyle \left[{\put}n\\k\end{put}\right}=s(n,k)}$

제1종류의 스털링 숫자를 나타낸다.

곱셈 정리

곱셈 이론은 1851년 조셉 루트비히 라베에 의해 제시되었다.

자연수 m³1의 경우,

${\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{k-1}B_{n}\좌측(x+{\frac {k}{m}}}\오른쪽)}$

${\displaystyle E_{n}(mx)=m^{n}\sum _{k=0}^{k-1(-1)^{k}E_{n}\좌측(x+{\frac{k}}}}\오른쪽)\quad{\mbox{}}}}}}}}}.$

${\displaystyle E_{n}(mx)={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}B_{n+1}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)\quad {\mbox{ for }}m=2,4,\dots }$

통합

베르누이 및 오일러 다항식과 베르누이 및 오일러 숫자와 관련된 두 가지 명확한 통합은 다음과 같다.^{[citation needed]}

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\;n!}{(m+n)!}}}{n+m}\quad {\text{{}m,n\geq 1}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2-1){\frac {m!\;n!}{(m+n+2)!}}}{n+m+2}}:$

또 다른 필수 공식 상태^[3]

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}}$

${\displaystyle \mathrm{y}}$= 0 ${\displaystyle y=0}$에 대한 특별한 경우

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n-1}\왼쪽(x\오른쪽)\log(\tan {\frac {}{pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}}{\pi ^{2n}}\왼쪽(2-2^{-2n}\오른쪽)\제타(2n+1)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{2n-1}\왼쪽(x\오른쪽)\log(\tan {\frac {}{2}}x)\,dx={\frac {-1}^{n-1}{{2n}}}{\frac{2n-1}:{2n-1)}{{{{{2n-1}-1)!}}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\제타(2k+1)\제타(2n-2k)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}}E_{2n}\왼쪽(x\오른쪽)\log(\tan {\frac {}\pi{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}}B_{2n}\왼쪽(x\오른쪽)\log(\tan {\frac {}{pi }{2}}x)\,dx=0}$

주기적 베르누이 다항식

주기적인 베르누이 다항식 P_n(x)는 x 변수의 분수 부분에서 평가된 베르누이 다항식이다.이 함수는 통합에 대한 합계와 관련된 오일러-매클라우린 공식의 나머지 기간을 제공하는 데 사용된다.첫 번째 다항식은 톱니바퀴 함수다.

엄밀히 말하면 이러한 기능은 전혀 다항식이 아니며 더 적절하게 주기적인 베르누이 함수로 불려야 하며₀, P(x)는 심지어 함수가 아니며, 톱니바퀴와 디락 빗의 파생어다.

$다음{\displaystyle }$ 속성이 관심 대상이며$$모든 x {\$displaystyle x}$에 대해 유효함$:$

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&P_{k}(x){\text{{}는 모든 }k>1\[5pt]&에 대해 연속적이다.P_{k}'(x){\text{이 존재하며 }}}}}2\[5pt]&에 대해 연속적이다.P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x),k>2\end{arged}}}$

참고 항목

• 베르누이 수
• 제2종 베르누이 다항식
• 스털링 다항식

참조

• 밀턴 아브라모위츠와 아이린 A.스테건, 에드.공식, 그래프 및 수학적 표를 포함한 수학 함수 핸드북, (1972) 도버, 뉴욕 (23장 참조)
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001 (12.11장 참조)
• Dilcher, K. (2010), "Bernoulli and Euler Polynomials", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1995). "New formulae for the Bernoulli and Euler polynomials at rational arguments". Proceedings of the American Mathematical Society. 123: 1527–1535. doi:10.2307/2161144.
• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". The Ramanujan Journal. 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. (Hurwitz zeta 함수 및 Lerch 초월성과의 관계 검토)
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 0-521-84903-9.

외부 링크

• NIST의 베르누이 다항식(Bernouli polynomials)과 관련된 필수 ID 목록