Iverson 브래킷

수학에서 케네스 E의 이름을 딴 아이버슨 괄호. 아이버슨(Iverson)은 $x$ = y 문장의 아이버슨 괄호인 크로네커 델타(Kronecker delta)를 일반화하는 표기법이다.임의의 스테이트먼트를 그 스테이트먼트의 자유변수 함수에 매핑합니다.이 함수는 스테이트먼트가 참인 변수의 값에 값 1을 가져오도록 정의되어 있으며, 그렇지 않은 경우에는 값 0을 취합니다.일반적으로 다음 문구를 대괄호 안에 넣어 나타냅니다.

[P]="begin {case}1&{\text{if}}P{\text{true}는 true입니다;}}\\0&{\text{\text}.}}\end {case}

즉, 스테이트먼트의 Iverson 괄호는 스테이트먼트가 참인 값 집합의 인디케이터 함수입니다.

Iverson 괄호에서는 합계 인덱스를 사용하지 않고 대문자와 시그마 표기를 사용할 수 있습니다.즉, 정수 $displaystyle$ k $}$ 의 속성 $){displaystyle$ P $(k)}$ 에 $P(k)$ 대해

\displaystyle \sum _{k}f(k),[P(k)]=\sum _{P(k)}f(k)}

규칙에 따라 iverson 괄호가 $0인k$ $값$ 에는 f $f(k)$ $)$ { $displaystyle$ f $($ $f(k)[{\textbf {false}}]$ $displaystyle$ f $($ $k)}{\$ $textbf {false}}}$ 를 $f(k)$ $f(k)[{\textbf {false}}]$ 정의할 $f(k)$ $f(k)$ 가 없습니다 $f(k)$ 제품의 경우도 마찬가지입니다.

\displaystyle _{k}f(k)^{[P(k)]}=\prod _{P(k)}f(k).}

이 표기법은 케네스 E에 의해 처음 도입되었다. 그의 프로그래밍 언어 APL에서 ^[1]^[2]Iverson은 괄호로 둘러싸인 단일 관계 연산자로 제한되었지만, 괄호로 묶인 논리 ^[3]표현에서 모호함을 피하기 위해 임의 문장에 대한 일반화, 대괄호로 묶인 표기 제한 및 합산 적용은 Donald Knuth에 의해 주창되었다.

특성.

Iverson 대괄호의 산술, 논리 및 집합 연산 사이에는 직접적인 대응 관계가 있습니다.예를 들어 A와 B를 $P(k_{1},\dots )$ 로 하고 P $P(k_{1},\dots )$ ( $P(k_{1},\dots )$ 1 , $P(k_{1},\dots )$ ) { $displaystyle$ P ( k $_$ { $1$ , \ $dots$ ) } property $P(k_{1},\dots )$ 、 property;;;; 。

{\displaystyle{\begin{정렬}[][\,P\land Q\,]~&, =~[\,P\,]\,[\,Q\,]~~, \\[1em][\,P\lor Q\,]~&, =~[\,P\,]\, +\,[\,Q\,]\, -\,[\,P\,]\,[\,Q\,]~~, \\[1em][\,\neg \,P\,]~&, =~1-[\,P\,]~~, \\[1em][\,P{\scriptstyle{\mathsf{\text{XOR}}}}Q\,]~&, =~ᆽ\,[\,P\,]\, -\,[\,Q\,]\,{\Bigr}~~, \\[1em][\,k\in A\,]\, +\,[\,k\in B\,]~&, =~는 경우에는 \,k\in A\cup. B\,]\;+\, -LSB- \,k\in A\cap B,~][,x\[1em][,x\in A,],[,x\in B,],[,x\in B,],~~;\[1em][,\forall, m\, P(k,m)]~=\prod_m(K,)#{\Bigl \{}\;m,{\Bigr \m}\;{\Bigr \}}~=~\sum _{m},[,P(k,m),]~.\end{aligned}}}

예

표기법을 사용하면 합계의 경계 조건을 별도의 인자로 합계로 이동할 수 있어 합산 연산자 주변의 공간을 확보할 수 있지만, 더 중요한 것은 대수적으로 조작할 수 있습니다.

이중계수규칙

Iverson 괄호를 사용하여 잘 알려진 합계 조작 규칙을 기계적으로 도출한다.

{displaystyle}\sum _{k\in A}f(k)+\sum _{k}f(k)\sum _{k}f(k),[k\in A]\sum _{k}f(k)\in B]\sum\&=\sum _{k}f(k),([k\in A]+[k\in B])\\&=\sum _{k}f(k)([k\in A\cup B]+[k\in A\cap B])\\&=\sum_{k\in A\cup B}f(k)\+\sum_{k\in A\cap B}f(k).\end { aligned}

가산 나들목

잘 알려진 규칙 ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ j ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ n ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ k ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ ( ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ , ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ ) ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ k ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ 1 ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ j ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ $k$ ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ ( ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ , ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ $){$ $textstyle \sum$ _ { j ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ = $1$ }^{ $n}\sum$ _ { $k = f ($ j , k ) = \ $sum$ _ { n $}$ _ textstylam _ sum _ { sum _ sum _ { j } f ( j } { $j$ } { j } { j = 1 } { j } { j } { j } { j }

{j=1}^{n},\sum _{k=1}^{j}f(j,k)&=\sum _{j,k}f(j,k),[1\leq j\leq j],[1\leq k\leq j],\sum\&=\sum _{j,k}f(j,k),[1\leq k\leq j\leq n]\\&=\sum _{j,k}f(j,k),[1\leq k\leq n],[k\leq j\leq n]\\&=\sum _{k=1}^{n},\sum _{j=k}^{n}f(j,k)\end { aligned}

계산

예를 들어, n까지 공역하는 양의 정수의 수를 세는 오일러 파이 함수는 다음과 같이 표현될 수 있다.

\displaystyle \phi(n)=\sum _{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1], \qquad {text{for}n\in \mathbb {N}^{+}.}

특수한 경우의 단순화

Iverson 브래킷의 또 다른 용도는 특수한 경우를 사용하여 방정식을 단순화하는 것입니다.예를 들어 공식은

\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \display \gcd(k,n)=1}\!\!k=barfrac {1}{2}}n\varphi (n)}

는 $n$ > 1 에 유효하지만, 에 의해 오프됩니다.n $=$ $1$ 의 $경우$ 1/2입니다.모든 양의 $정수$ n( $\phi (n)$ " ( $\phi (n)$ $)\displaystyle \phi (n)}$ 가 $\phi (n)$ 정의되어 있는 모든 값)에 대해 유효한 식별을 얻으려면 Iverson 괄호를 포함하는 보정 용어를 추가할 수 있습니다.

\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \display \gcd(k,n)=1}\!\!k=parfrac {1}{2}}n(\varphi(n)+[n=1])}}}.

공통 기능

많은 일반적인 함수, 특히 자연스러운 부분적 정의를 가진 함수는 Iverson 괄호로 표현될 수 있습니다.크로네커 델타 표기법은 조건이 같을 때 아이버슨 표기법의 특정 경우입니다.그것은,

\displaystyle _{ij}=[i=j]}

인디케이터 함수( $\mathbf {1} _{A}(x)$ 1A $)\displaystyle \mathbf {1}_{A}(x$ $)\displaystyle$ \ $mathbf {I}(x)$ 또는 $\mathbf {I} _{A}(x)$ $\chi _{A}(x)$ A $)\displaystyle \chi$ _ ${A}(x$ 는 멤버십 조건으로 설정된 Iverson 괄호입니다.

\displaystyle \mathbf {I} _{A}(x)=[x\in A]}

헤비사이드 스텝 함수, 부호 ^[1]함수 및 절대값 함수도 이 표기법으로 쉽게 표현됩니다.

{begin{aligned}H(x)&=[x>0],\\operatorname {sgn}(x)&=[x>0]-[x<0],\end{aligned}}

그리고.

{signed} x &=x[x> 0]-x[x<0]\\&=x([x>0]-[x<0])\\&=x\cdot \operatorname {sgn}(x).\end { aligned}

비교 함수 max 및 min(2개의 인수 중 큰 인수 또는 작은 인수 반환)은 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

\displaystyle \max(x,y)=x[x>y]+y[x\leq y]}

그리고.

\displaystyle \min(x,y)=x[x\leq y]+y[x>y]}

바닥 및 천장 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\displaystyle \lfloor x\cdot =\sum _{n}n\cdot [n\leq x<n+1]

그리고.

\displaystyle \lceil x\rceil =\sum _{n}n\cdot [n-1 <x\leq n],}

여기서 합계의

색인

n(\

displaystyle

n

)

은

n

모든 정수에 걸쳐 있는 것으로 이해됩니다.

램프 함수는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

R(x)=x\cdot [x\geq 0]

실수의 삼분할은 다음 동일성에 해당합니다.

\ displaystyle [ a < b > + [ a = b ] + [ b > = 1}

뫼비우스 함수에는 특성이 있습니다(그리고 반복에 의해 다음과^[4] 같이 정의될 수 있습니다).

\displaystyle \sum _{dn}\mu (d)\ =\ [n=1]}

통상적인 기능에 관한 공식화

1830년대에, 굴리엘모 dalla Sommaja 현재[)>0]{\displaystyle[x>0]} 쓸 것을 나타내는 데. 그는 또한,(1− 00−))(1− 00-1−){\displaystyle \left(1-0^{0^{-x}}\right)\left(1-0^{0^{x-a}}\rig 같은 변형 사용한 표현 00){\displaystyle 0^{0^{)}}}을 사용했다.ht)} $[0\leq x\leq a]$ $[0\leq x\leq a]$ x $[0\leq x\leq a]$ $]$ { $displaystyle$ $[ 0$ \ $leq$ x \ $leq$ a $[0\leq x\leq a]$ } $[0\leq x\leq a]$ ^[3]。이러한 양은 정의된 경우 $0^{0^{x}}$ . $0^{0^{x}}$ 0 $0^{0^{x}}$ $0^{$ $0$ $^{x}}$ 은 $0^{0^{x}}$ x > 0이면 1, x = $0$ 이면 0이고, 그렇지 않으면 정의되지 않았습니다.

표기상의 변화

현재는 표준이 된 각 괄호[ · ]와 원래의 괄호( · )에 가세해, 「 · 」등의 위그리 괄호도 사용되고 있습니다.게다가 출판사의 서체로 입수할 수 있는 다른 특이한 형태의 괄호 마크도 사용되고 있습니다.여백도 붙어 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

부울 함수
컴퓨터 프로그래밍의 형식 변환: 많은 언어에서 숫자 또는 포인터 양을 부울 수량으로 사용할 수 있습니다.
인디케이터 기능

레퍼런스

^ ^a ^b Kenneth E. Iverson (1962). A Programming Language. Wiley. p. 11. Retrieved 7 April 2016.
^ 로널드 그레이엄, 도널드 크누스, 오렌 파타슈닉입니다구체적인 수학, 섹션 2.2: 합과 반복.
^ ^a ^b 도날드 크누스, "표기에 관한 두 가지 노트", 미국 수학 월간, 제99권, 번호 5, 1992년 5월, 페이지 403–422. (TeX, arXiv:math/9205211).
^ 로널드 그레이엄, 도널드 크누스, 오렌 파타슈닉입니다콘크리트 수학, 섹션 4.9: Phi와 Mu.

[APL-1] Kenneth E. Iverson (1962). A Programming Language. Wiley. p. 11. Retrieved 7 April 2016.

[2] 로널드 그레이엄, 도널드 크누스, 오렌 파타슈닉입니다구체적인 수학, 섹션 2.2: 합과 반복.

[TNN-3] 도날드 크누스, "표기에 관한 두 가지 노트", 미국 수학 월간, 제99권, 번호 5, 1992년 5월, 페이지 403–422. (TeX, arXiv:math/9205211).

[4] 로널드 그레이엄, 도널드 크누스, 오렌 파타슈닉입니다콘크리트 수학, 섹션 4.9: Phi와 Mu.

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