십이배길

조합학에서 12배 방법은 두 개의 유한 집합에 관련된 12개의 관련 열거적 문제를 체계적으로 분류하는 것으로, 집합 또는 숫자의 한 부분 중 하나의 순열, 조합, 다중 집합 및 분할을 계산하는 고전적 문제를 포함한다.그 분류의 아이디어는 지안 카를로 로타에게 공로가 되고, 그 이름은 조엘 스펜서가 제안했다.^[1]

개요

$N$ 과 $X$ 를 유한 집합으로 한다. $n=|N|$ n $n=|N|$ = $n=|N|$ $displaystyle n=N }$ 및 $x=|X|$ = $x=|X|$ $displaystyle x=$ X $}$ 을(를) 세트의 카디널리티로 설정하십시오 $x=|X|$ .따라서 $N$ 은 n 집합이고, $X$ 는 x 집합이다.

우리가 고려하는 일반적인 문제는 $f:N\to X$ f : $f:N\to X$ → $f:N\to X$ ${\displaystyle f:$ $N\to$ X $f:N\to X$

기능에는 다음 세 가지 제한사항 중 하나가 적용된다.

조건 없음: 각 $a$ in $N$ 은 $f$ 에 의해 $X$ 에 있는 $b$ 로 보내질 수 있으며, 각 $b$ 는 여러 번 발생할 수 있다.
$f$ 는 주입식이다: $in$ $N$ 에 대한 $f(a)$ 각 $f(a)$ f $f(a)$ ( $f(a)$ ) ${\displaystyle$ f $(a)}$ 은 모든 값과 구별되어야 하며, 따라서 $X$ 의 각 $b$ 는 $f$ 의 이미지에서 최대 한 번에 발생할 수 있다.
$f$ 는 허탈하다: $X$ 의 각 b에 $f(a)=b$ 적어도 $하나$ 의 a $in$ N이 있어야 한다. f ( $f(a)=b$ ) $f(a)=b$ = $f(a)=b$ = ${\displaystyle f(a)=b$ 따라서 각 $b$ 는 $f$ 의 이미지에서 적어도 한 번 발생할 것이다.

( $n=x$ = $n=x$ $n=x$ $n=x$ 조건 " $f$ is byjective"는 옵션일 뿐이지만, " $f$ is injection"과 " $f$ is exterjective"와 동일하다.)

$N$ 에서 $X$ 까지의 함수 f 집합에 정의될 수 있는 네 가지 다른 동등성 관계가 있다.

동일성;
$N$ 의 순열까지의 동일성
$X$ 의 순열까지의 동일성
$N$ 과 $X$ 의 순열까지의 동일성

함수에 대한 세 가지 조건과 네 가지 $등가관계는 3$ × 4 = $12$ 방법으로 쌍을 이룰 수 있다.

함수의 동등성 등급을 세는 12가지 문제는 동일한 난관을 수반하지 않으며, 이를 해결하기 위한 체계적인 방법이 하나 없다.그 중 두 문제는 사소한 문제(등가 등급이 0 또는 1)이고, 다섯 문제는 n과 x의 승수식 측면에서 해답을 가지고 있으며, 나머지 다섯 문제는 조합함수(일정한 수의 부품에 대한 스털링 숫자와 분할함수) 측면에서 해답을 가지고 있다.

고전적 열거 문제를 이 설정에 통합하는 것은 다음과 같다.

X의 n-permution(즉, 부분 순열 또는 반복 없는 시퀀스)을 계산하는 것은 주입 $함수$ N → $X$ 를 계산하는 것과 같다.
X의 n-결합 계산은 N의 순열까지 주입 $함수$ N → $X$ 를 계산하는 것과 같다.
집합 X의 순열 계산은 n = x일 때 주입 함수 $N$ → $X$ 를 계산하는 것과 같으며, $n$ = $x일$ 때 굴절 함수 $N$ → $X$ 를 계산하는 것과도 같다.
X에서 원소의 n 크기(반복하는 n-결합이라고도 함)의 다중 집합을 계산하는 것은 N의 순열까지 모든 $함수$ N → $X$ 를 계산하는 것과 같다.
설정된 N의 파티션을 x 부분 집합으로 카운트하는 것은 X의 순열까지 모든 돌출 $함수$ N → $X$ 를 카운트하는 것과 같다.
숫자 n을 x 부품으로 세는 것은 N의 순열까지 모든 굴절 $함수$ N → $X$ 를 세는 것과 같다.

관점

12배의 다양한 문제들은 다른 관점에서 고려될 수 있다.

공과 상자

전통적으로 12배 방법의 많은 문제들은 함수를 정의하는 대신 상자(또는 유사한 시각화)에 공을 넣는 관점에서 공식화되었다.세트 N은 볼 세트로 식별할 수 있고, X는 박스 세트로 식별할 수 있다; 함수 $ƒ$ : N → $X$ 는 박스 안으로 공을 분배하는 방법, 즉 각 볼을 박스 ƒ(a)에 넣는 방법을 설명한다.함수는 그 영역의 각 값에 고유한 이미지를 부여한다. 이 특성은 어떤 공도 하나의 상자(볼 밖에 남아 있지 않아야 한다는 요건과 함께)에만 들어갈 수 있는 속성에 의해 반영된다. 반면에 어떤 상자도 임의의 수의 볼을 수용할 수 있다(원칙적으로).덧붙여 ƒ을 주입하도록 요구하는 것은 어떤 한 박스에 둘 이상의 공을 넣는 것을 금지하는 것을 의미하며, 반면에 ƒ을 허탈하게 요구하는 것은 모든 박스에 적어도 하나의 공이 들어 있다고 주장하는 것을 의미한다.

N이나 X의 순열 수를 세는 것은 공이나 상자를 각각 "불구분"이라고 불러 반영한다.이것은 부정확한 공식으로, 공이나 박스의 교환에 의해 다른 구성으로 변환될 수 있는 경우에는 다른 구성을 별도로 계산하지 않는다는 것을 나타내기 위한 것이다.이러한 변형의 가능성은 순열에 의한 작용에 의해 공식화된다.

샘플링

그 사례들 중 몇몇을 생각해 볼 수 있는 또 다른 방법은 표본 추출, 통계학이다.X 항목의 모집단(또는 사람)을 상상해 보십시오. 그 중 우리가 N을 선택하는 항목.일반적으로 "대체로 샘플링"과 "대체 없이 샘플링"으로 알려진 두 가지 다른 방식이 설명된다.이전의 경우(대체로 샘플링)에서는 일단 어떤 품목을 고르면 다시 모집단에 넣어 다시 고를 수 있도록 했다.그 결과 각 선택은 다른 모든 선택과 독립적이며, 표본 집합은 기술적으로 동일한 독립적 분포로 언급된다.그러나 후자의 경우에는 일단 어떤 물건을 고르면 다시 고를 수 없도록 따로 떼어놓는다.이것은 어떤 항목을 선택하는 행위가 다음의 모든 선택(특정 항목은 다시 볼 수 없음)에 영향을 미치기 때문에 우리의 선택은 서로 의존한다는 것을 의미한다.

표본 추출 계획의 두 번째 구분은 주문 여부가 된다.예를 들어, 우리가 2개를 선택하는 10개의 항목이 있다면 선택(4,7)은 주문(7,4)과 다르고, 반대로 주문이 중요하지 않다면 선택(4,7)과 (7,4)은 동등하다. (이를 생각할 수 있는 또 다른 방법은 항목 번호에 따라 각각의 선택을 분류하고, 그 결과를 모두 버리는 것이다.)

아래 표의 처음 두 행과 열은 순서의 고려 없이 교체 여부와 관계없이 샘플링에 해당한다.대체 시료채취의 경우는 "Any f"라고 표시된 컬럼에서, 대체하지 않은 시료채취의 경우는 "Injective f"라고 표시된 컬럼에서 발견된다.주문 사항이 "Distinct"로 표시된 행에서 발견되고, 주문이 중요하지 않은 경우는 "S_n 궤도"로 표시된 행에서 발견된다.각 표 항목은 특정 표본 추출 계획에 얼마나 많은 다른 선택사항이 있는지를 나타낸다.이들 표 항목 중 3개는 확률 분포에도 해당된다.순서가 중요한 경우 교체를 통한 표본 추출은 각각 X-폴드 범주형 분포를 갖는 N개의 개별 랜덤 변수의 공동 분포를 설명하는 것과 유사하다.그러나 순서가 중요하지 않은 대체품을 사용한 표본 추출은 각 범주의 숫자만 중요한 X-폴드 범주에서 N의 단일 다항 분포를 설명하는 것과 비교된다.순서가 중요하지 않은 교체 없이 샘플링하는 것은 단일 다변량 초기하 분포와 유사하다.순서가 중요하지 않은 교체 없이 샘플링하는 것은 확률 분포와 일치하지 않는 것 같다.^[2]모든 "주관적" 사례(즉, 교체하지 않은 샘플링)에서 $N$ ≤ $X$ 가 아닌 한 선택사항의 수는 0이라는 점에 유의하십시오. ("비교적"은 해당 분포의 샘플 공간의 각 요소가 별도의 선택사항 집합에 해당함을 의미하며, 따라서 적절한 상자에 있는 숫자는 다음의 크기를 나타낸다.주어진 분포의 표본 공간)

표본 추출의 관점에서, "Surjective f"라는 라벨이 붙은 열은 다소 이상하다.기본적으로, 우리는 각 품목을 한 번 이상 선택할 때까지 대체품 샘플링을 계속한다.그런 다음 우리가 얼마나 많은 선택을 했는지 세어보고, N과 같지 않으면 세트 전체를 버리고 반복한다.이는 각 쿠폰이 한 번 이상 보일 때까지 X 쿠폰 세트를 '수집'(교체 시료 채취)하는 과정이 수반되는 쿠폰 수집기의 문제와 어렴풋이 비교된다.모든 "굴절적" 사례에서 $N$ ≥ $X$ 가 아닌 한 선택의 수는 0이라는 점에 유의한다.

라벨 표시, 선택, 그룹화

함수 ƒ : $N$ → $X$ 는 X 또는 N의 관점에서 고려할 수 있다.이에 따라 다음과 같은 관점이 달라진다.

함수 ƒ는 X의 요소로 N의 각 요소에 라벨을 붙인다.
함수 ƒ은 N의 각 요소에 대해 세트 X의 요소를 선택(선택)하며, 총 n개의 선택이다.
함수 ƒ은 X의 동일한 요소에 매핑된 N의 요소를 함께 그룹화한다.

이러한 관점이 모든 경우에 똑같이 적합한 것은 아니다.라벨 표시 및 선택 관점은 라벨 또는 선택을 변경하기 때문에 X 요소 순열화와 잘 호환되지 않는다. 반면에 그룹화 관점은 X의 요소가 자유롭게 순열되지 않는 한 구성에 대한 완전한 정보를 제공하지 않는다.라벨 표시와 선택 관점은 N이 순열되지 않을 때는 다소 동등하지만, 순열되지 않을 때는 선택 관점이 더 적합하다.그런 다음 선택은 순서가 정하지 않은 선택으로 볼 수 있다. 즉, X에서 n개 요소의 (다중) 세트를 한 번 선택할 수 있다.

반복 여부와 상관없이 라벨 표시 및 선택

ƒ을 N의 요소의 라벨 표시로 볼 때, 후자는 순차적으로 배열된 것으로 생각할 수 있고, X의 라벨은 연속적으로 그들에게 할당되는 것으로 생각할 수 있다.ƒ 주사를 맞아야 한다는 요건은 라벨을 두 번 다시 사용할 수 없다는 것을 의미한다. 그 결과는 라벨의 반복이 없는 연속이다.그러한 요구사항이 없는 경우, 라벨을 두 번 이상 사용할 수 있다는 의미인 "반복하는 순서"라는 용어를 사용한다(반복 없이 발생하는 순서도 허용된다).

ƒ을 X의 요소들의 순서 없는 선택으로 볼 때, 같은 종류의 구별이 적용된다.만약 ƒ이 반드시 주입되어야 한다면, 선택은 X의 n 구별되는 요소들을 포함해야 하므로, 그것은 n 크기의 X의 부분집합이며, n-combination이라고도 한다.요건이 없으면 X의 한 요소와 동일한 요소가 선택에서 여러 번 발생할 수 있으며, 그 결과는 n-다중결합 또는 반복과의 n-결합이라고도 하는 X 원소의 n 크기의 다중 집합이 된다.

N의 라벨 부착 요소의 관점에서 ƒ 과민해야 한다는 요건은 모든 라벨이 적어도 한 번은 사용되어야 한다는 것을 의미하며, X의 선택 관점에서 X의 모든 요소는 적어도 한 번은 선택에 포함되어야 한다는 것을 의미한다.추출을 포함한 라벨 표시는 N의 원소 그룹 다음에 X의 원소별로 각 그룹에 라벨을 붙이는 것과 같으며, 따라서 수학적으로 설명하기가 다소 더 복잡하다.

집합 및 숫자 파티션

ƒ을 N의 요소들의 그룹으로 볼 때(X의 순열에 따라 식별된다고 가정함) ƒ을 요구하는 것은 그룹의 수가 정확히 x여야 함을 의미한다. 이 요구사항이 없다면 그룹의 수는 최대 x가 될 수 있다.주입식 ƒ의 요건은 N의 각 요소가 그 자체로 그룹이어야 한다는 것을 의미하며, 이는 유효 그룹이 하나 이상 남아 있기 때문에 다소 흥미롭지 않은 계수 문제를 야기한다.

또한 N의 순열 아래에 있는 것을 확인할 때, 이는 그룹 자체를 잊어버리고 그룹 크기만 유지하는 것과 같다.게다가 이러한 크기는 일정한 순서가 없는 반면, 같은 크기가 두 번 이상 발생할 수 있다; 사람들은 그것들을 약하게 감소하는 숫자의 목록으로 배열할 수 있다. 이 숫자의 합은 숫자 n이다.이것은 숫자 n의 파티션에 대한 결합 개념을 정확히 x (굴절 ive의 경우) 또는 최대 x (임의 ƒ의 경우) 부분으로 제공한다.

공식

12배 방법의 다양한 사례에 대한 공식은 다음 표에 요약되어 있다. 각 표 항목은 공식을 설명하는 아래 하위 섹션에 연결된다.

12개의 조합 물체와 그 열거 공식
f급	임의의 f	주입 f	굴절성 f
구별하다 $f$	X의 n-시퀀스 $x^{n}$	X의 n-permutation $x^{\underline{n}$	부분 집합이 x인 N의 구성 $x!\왼쪽\{n \atop x}\오른쪽\}}}$
S_n 궤도 $f \circ S n$	X의 n-멀티스ubset ${\binom {x+n-1}{n}$	X의 n-subset ${\binom {x}{n}}$	x항 n의 구성 ${\binom {n-1}{n-x}$
S_x 궤도 $S x \circ f$	N을 ≤ x 부분 집합으로 분할 $\sum_{k=0}^{x}\왼쪽\{n \atop k}\오른쪽\}}$	N을 ≤ x 요소로 분할 $[n\leq x]$	N을 x 부분 집합으로 분할 $\left\{n \atop x}\right\}}$
S_n×S_x 궤도 $S x \circ f \circ S n$	n을 ≤ x 부분으로 분할 $p_{x}(n+x)$	n을 ≤ x 부분 1로 분할 $[n\leq x]$	n을 x 파트로 분할 $p_{x}(n)$

사용되는 특정 명칭은 다음과 같다.

하강 요인 검정력 ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ x ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ ! ( ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ - n ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ ) ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ ! ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ = x ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ ( ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ - ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ ) ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ ( ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ - ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ ) ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ ( x ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ - ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ + $){\textstyle$ x $^{n}={\frac$ { $x!}{(x-n)!$ $}}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1$
상승요인력 ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ = ( ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ + ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ - 1 ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ = ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ ( ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ + ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ ) ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ ( ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ + ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ ) ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ ( ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ + $){\textstyle x^{n}}{\n}={\frac{(x+n-1)!$ $}{(x-1)!$ $}}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1$
요인 ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$ ! ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$ = ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$ ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$ ( ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$ - ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$ ) ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$ = ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$ n ( ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$ - ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$ ) ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$ 1 ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$ {\ $textstyle n!=n^{$ n^}\ $underline{n}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$
n 요소 집합을 k 하위 집합으로 분할하는 방법의 수를 나타내는 ${\textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$ 두 번째 종류 ${\textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$ { ${\textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$ ${\textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$ ${\textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$ ${\$ 의 스털링 번호
이항 계수 ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}}$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}}$ ) ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}}$ = n ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}}$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}}$ k ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}}$ ! ${\$ $}}}$
Iverson 괄호 [ ] 진실 값을 0 또는 1로 인코딩
n을 k 파트로 분할하는 ${\textstyle p_{k}(n)}$ ${\textstyle p_{k}(n)}$ ${\textstyle p_{k}(n)}$ ( n ${\textstyle p_{k}(n)}$ ) ${\textstyle p_{k}(n)}$ 의 숫자

행과 열의 직관적 의미

이것은 다른 사건들이 무엇을 의미하는지 간단히 요약한 것이다.그 사례들은 아래에 자세히 설명되어 있다.

X 번호 항목 집합(1부터 x까지의 숫자)을 생각해 보십시오. 여기서 n을 선택하면 항목 순서가 정해집니다. 예를 들어, $x=10$ = $x=10$ {\ $displaystyle$ x= $10}$ 항목 $x=10$ $n=3$ n = $n=3$ {\ $displaystyle n=3$ 을 선택하면 결과가 목록(5, 2, 10).그런 다음 우리는 그러한 리스트가 얼마나 많은 다른 리스트가 존재하는지 세어보고, 때로는 뚜렷한 가능성의 수를 줄이는 방법으로 리스트를 먼저 변형시키기도 한다.

그러면 열은 다음을 의미한다.

임의의 f: 물건을 고른 후 다시 넣기 때문에 다시 고를 수도 있다.
주입 f: 우리가 어떤 물건을 고른 후에, 우리는 그것을 따로 떼어 놓아서, 우리는 그것을 다시 선택할 수 없다. 따라서 우리는 결국 구별되는 어떤 물건으로 끝날 것이다.따라서 $n\leq x$ $n\leq x$ $n\leq x$ $n\leq x$ 이 $n\leq x$ 가) 없으면 목록을 전혀 선택할 수 없다.
굴절성 f: 우리가 어떤 아이템을 고른 후에, 우리는 그것을 다시 넣기 때문에, 우리는 그것을 다시 선택할 수도 있다. 하지만 결국, 우리는 각 아이템을 한 번 이상 선택해야 한다.따라서 $n\geq x$ $n\geq x$ $n\geq x$ $n\geq x$ 이 $n\geq x$ 가) 없으면 목록을 전혀 선택할 수 없다.

그리고 행은 다음을 의미한다.

구별하다: 리스트는 그대로 두고, 직접 세어 보아라.
S_n 궤도: 카운트하기 전에 리스트를 선택한 항목의 항목 번호별로 정렬하여 예를 들어 (5, 2, 10), (10, 2, 5), (2, 10, 5) → (2, 5, 10) → (2, 5, 10) 순서가 중요하지 않도록 한다.
S_x 궤도: 카운트하기 전에, 처음 본 품목에 1번, 두 번째 2번 등이 표시되도록 번호를 다시 매긴다.(3, 5, 3, 3) (5, 2, 5) (4, 9, 4) → (1, 2, 1) (3, 3, 5, 3) (2, 5, 3) → (1, 1, 2) (1, 1, 2)가 두 번 이상 보인 경우 숫자가 반복될 수 있다.
S_n × S 궤도_x: 위의 목록과 같이 재주문 및 라벨링이 가능하고 동일한 결과를 산출할 수 있다면 두 목록은 동일한 것으로 간주된다.예를 들어, (3, 5, 3)와 (9, 9, 9, 9)는 (3, 3, 5)와 (9, 9, 2)로 재주문할 수 있고, 둘 다 같은 리스트(1, 1, 2)를 생성하기 때문에 동일하게 계산된다.

Balls and Box 시나리오를 사용한 차트의 직관적 의미

아래 차트는 위의 차트와 유사하지만 공식을 보여주는 대신 익숙한 공과 상자 예를 사용하여 그 의미를 직관적으로 이해할 수 있게 해준다.행은 공과 상자의 구별성을 나타낸다.이 열은 멀티팩(한 박스에 두 개 이상의 볼) 또는 빈 박스가 허용되는지 여부를 나타낸다.차트의 셀은 위의 포뮬러 차트에 주어진 공식을 풀어서 답하는 문제를 보여준다.

12개의 결합형 객체 표 - 공과 상자를 사용한 직관적인 차트
	임의의 f (배치에 규칙 없음)	주입 f (멀티팩 사용 불가)	굴절성 f (빈 상자 없음)
f (볼 및 상자 표시)	X의 n-시퀀스 얼마나 많은 방법을 배치할 수 있는가? 표시된 공은 x 표시된 상자에 넣는다. 다른 규칙은 없으십니까?	n-permutation in X 얼마나 많은 방법을 배치할 수 있는가? 표시된 공은 x 표시된 상자에 넣는다. 멀티팩 없이?	부분 집합이 x인 N의 구성 얼마나 많은 방법을 배치할 수 있는가? 표시된 공은 x 표시된 상자에 넣는다. 빈 상자 없이?
f ∘ S_n (볼, 상자로 표시됨 표시)	X의 n-멀티스ubset 얼마나 많은 방법을 배치할 수 있는가? 플레인볼을 x표지 상자에 넣는다. 다른 규칙은 없으십니까?	X의 n-subset 얼마나 많은 방법을 배치할 수 있는가? 플레인볼을 x표지 상자에 넣는다. 멀티팩 없이?	x항 n의 구성 얼마나 많은 방법을 배치할 수 있는가? 플레인볼을 x표지 상자에 넣는다. 빈 상자 없이?
S_x ∘ f (볼 표시, 상자 일반)	N을 ≤ x 부분 집합으로 분할 얼마나 많은 방법을 배치할 수 있는가? 표시된 공은 x 플레인 박스에 넣는다. 다른 규칙은 없으십니까?	N을 ≤ x 요소로 분할 얼마나 많은 방법을 배치할 수 있는가? 표시된 공은 x 플레인 박스에 넣는다. 멀티팩 없이?	N을 x 부분 집합으로 분할 얼마나 많은 방법을 배치할 수 있는가? 표시된 공은 x 플레인 박스에 넣는다. 빈 상자 없이?
S_x ∘ f ∘ S_n (볼 및 박스 일반)	n을 ≤ x 부분으로 분할 얼마나 많은 방법을 배치할 수 있는가? 플레인볼을 x 플레인 박스에 넣는다. 다른 규칙은 없으십니까?	n을 ≤ x 부분 1로 분할 얼마나 많은 방법을 배치할 수 있는가? 플레인볼을 x 플레인 박스에 넣는다. 멀티팩 없이?	n을 x 파트로 분할 얼마나 많은 방법을 배치할 수 있는가? 플레인볼을 x 플레인 박스에 넣는다. 빈 상자 없이?

상이한 사례에 대한 세부사항

아래의 경우는 주어진 표의 순서가 아닌, 계산에 사용된 주장이 관련된 경우를 그룹화하는 방식으로 정렬된다.

N에서 X까지의 함수

이 경우는 제한 없이 X의 n 원소의 시퀀스를 계산하는 것과 같다: 함수 $f$ : $N$ → $X$ 는 각각 x의 원소 중에서 독립적으로 선택할 수 있는 N 원소의 n 영상에 의해 결정된다.이것은 총 x개의ⁿ 가능성을 준다.

예:
$X=\{a,b,c\}N=\{1,2\}{\text{}, 그 다음 }$
$\{(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,b),(c,a),(c,b),(c,c)\}\오른쪽\vert =3^{2}=9$

N에서 X까지의 주입 기능

이 경우는 X의 n-permutions 또는 반복이 없는 시퀀스라고도 불리는 X의 n개의 구별되는 요소의 시퀀스를 계산하는 것과 같다. 다시 말하지만 이 시퀀스는 N의 원소의 n 영상으로 형성된다.이 경우는 두 번째 원소에 대한 선택권이 한 개 적다는 점, 세 번째 원소에 대한 선택권이 두 개 적다는 점에서 제한되지 않은 시퀀스 중 하나와 다르다.따라서 x의 일반적 검정력 대신 x의 하강 요인 검정력에 의해 값이 주어지는데, 이 값에서는 각 연속적인 요인이 이전 요인보다 1개 작다.공식은

x^{\underline{n}=x(x-1)\cdots(x-n+1).

$n$ > $x$ 를 입력하면 인자가 0이 되기 때문에 이 경우에는 주입 $함수$ N → $X$ 가 전혀 없으며 이는 비둘기 구멍 원리의 재작성에 불과하다.

예:
$X=\{a,b,c,d\}N=\{1,2\}{\text{}, 그 다음 }$
$\{(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,c),(c,d),(d,a),(d,b),(d,b),(d,c)\}\rivert=4^{2}}=4=3=12$

N에서 X까지의 주입 기능, N의 순열까지

이 경우는 X의 n개의 원소를 가진 하위 집합을 계산하는 것과 동등하다. X의 n개의 구별되는 원소의 순서 중, 조건의 순서가 다른 하위 집합은 N의 순열로 식별된다. 모든 경우 이 그룹은 정확히 n!의 순열로, 우리는 그러한 시퀀스의 수를 나눌 수 있다.X의 n-combination 수를 얻기 위해 n!을 사용한다.이 숫자는 이항 계수 ${\tbinom {x}{n}}$ ) ${\$ 로 알려져 있으며 ${\tbinom {x}{n}}$ 따라서 다음과 같이 지정된다.

{\binom {x}{n}}={\frac {x^{\underline{n}}{n!}}}={\frac {x(x-1)\cdots (x-n+2)(x-n+1)}{n(n-1)\cdots 2\cdot 1}}.

예:
$X=\{a,b,c,d\}N=\{1,2\}{\text{}, 그 다음 }$
$\{a,b\}}\{a,c\}}\{a,c\}}}\{b,d\}}}\{c,d\}\}\오른쪽\vert ={\frac {4^{\2}}:}{2}}!}}}}={\frac {4\juff 3}{2}}=6$

N에서 X까지의 함수, N의 순열까지의 함수

이 경우는 X의 원소가 n개인 멀티셋(n-멀티콤비네이션이라고도 함)을 세는 것과 같다.그 이유는 X의 각 요소에 대해 N의 몇 개의 요소가 f에 의해 그것에 매핑되는지 결정되는 반면, X의 각 요소에 동일한 "다중성"을 주는 두 가지 기능은 항상 N의 순열에 의해 다른 것으로 변환될 수 있기 때문이다.모든 함수 $N$ → $X$ 를 계산하는 공식은 여기서 유용하지 않다. 왜냐하면 N의 순열로 그룹화된 함수의 수는 함수마다 다르기 때문이다.오히려 조합에서 설명하듯이, x 요소가 있는 집합에서 n-멀티콤비네이션의 수는 $x$ + n - $1$ 원소가 있는 집합에서 n-콤비네이션의 수와 동일하다고 볼 수 있다.이것은 문제를 12배 정도 다른 것으로 줄여주고, 결과적으로 준다.

{\binom {x+n-1}{n}={\frac {(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}{n-1)\cdot 2\cdot 1}={\x^{\overline{n}{n}}{n!}}.

예:
$X=\{a,b,c\}N=\{1,2\}{\text{}, 그 다음 }$
$\{a,a\},\{a,b\},\{b,b\},\{b,b\},},\{b,c\}\}\오른쪽\vert ={\frac {3^{\overline{2}}!}}}}={\frac {4\juff 3}{2}}=6$

N에서 X까지, N의 순열까지, 과민함수

이 경우는 X의 각 요소가 한 번 이상 발생하는 X의 원소가 n개인 멀티셋을 계산하는 것과 같다.이것은 또한 x 원소의 승수를 순서대로 나열함으로써 x (비 영) 항으로 n의 구성을 계산하는 것과 동등하다.기능과 멀티셋 간의 대응은 이전 사례와 동일하며, 부가성 요건은 모든 승수가 적어도 하나 이상이라는 것을 의미한다.모든 승수를 1로 줄임으로써, 이것은 이전 사례로 감소한다; 그 변화는 n의 값을 x로 감소시키기 때문에, 그 결과는

{\binom {n-1}{n-x}}.

n < x에는 $추체함수$ N → $X$ 가 전혀 없을 때("빈 비둘기구멍"의 일종) 이항계수는 낮은 지수가 음수일 경우 항상 0이라는 관습에 의해 공식에서 고려된다.같은 값도 식에 의해 주어진다.

{\binom {n-1}{x-1},

극단적인 $경우$ n = x = $0$ 을 제외하고, 이전 표현으로 1 ${\tbinom {-1}{0}}=1$ - ${\tbinom {-1}{0}}=1$ 0 ${\tbinom {-1}{0}}=1$ ) ${\tbinom {-1}{0}}=1$ = ${\tbinom {-1}{0}}=1$ ${\displaystyle {\tbinom {-1}{0}=$ 1}이 ${\tbinom {-1}{0}}=1$ 가) 잘못 표시되는 경우 ${\tbinom {-1}{-1}}=0$ - ${\tbinom {-1}{-1}}=0$ - ${\tbinom {-1}{-1}}=0$ ) = ${\tbinom {-1}{-1}}=0$ {\ $displaystyle$ {\ $tbinom$ {- $1}{-1}=0}$ .

결과의 형태는 $다음$ 과 같이 할 수 있는 총 n - $1$ 에서 $선택$ 한 $n$ - x $요소$ 의 하위 집합에 직접 $연결$ 하는 방법을 모색하는 것을 제안한다 $.$ 먼저 세트 N과 X의 전체 순서를 선택하고, N의 적절한 순열을 적용함으로써 모든 $굴절함수$ N → $X$ 는 약하게 증가하는 고유한(물론 여전히 굴절함수) 함수로 변환될 수 있다는 점에 유의한다. $n$ - $1$ 호 순서로 N의 원소를 선형 그래프에 연결한 다음, $n$ - x $호의$ 어떤 부분집합을 선택하고 나머지를 제거하면 x가 연결된 그래프를 얻으며, X의 연속적인 원소로 보내면 약하게 증가하는 추체함수 $N$ → $X$ 를 얻는다. 또한 연결된 원소의 크기는 다음과 같다.n을 x 파트로 하는 구성 $x$ - $1$ "분리"의 보완적 선택이 이루어진다는 점을 제외하고, 이 주장은 기본적으로 별과 막대에서 주어진 것이다.

예:
$X=\{a,b\},N=\{1,2,3\}{\text{}, 그 다음 }$
$\{a,a,b\}}\\a,b\}\}\right\vert={\binom {3-1}{3-2}}={\binom{2}}={\frac {2!}{1!\cHB(2-1)!}}=2$

N에서 X까지의 주입 기능, X의 순열까지

이 경우 우리는 X와 구별되는 n개의 원소의 순서를 고려하지만, 각 원소에 X의 순열을 적용하여 서로에게서 얻은 것을 식별한다.두 개의 다른 시퀀스를 항상 식별할 수 있다: 순열은 첫 번째 시퀀스의 용어 i를 두 번째 시퀀스의 용어 i에 매핑해야 하며, 두 시퀀스 중 어떤 값도 두 번 발생하지 않기 때문에 이러한 요구사항은 서로 모순되지 않으며, 첫 번째 시퀀스에서 발생하지 않는 요소들을 항상 두 번째 시퀀스에 종속적으로 매핑해야 한다.임의로 두 번째 시퀀스에서 발생하지 않는 호스결과를 n과 x에 전혀 의존하지 않게 만드는 유일한 사실은 그러한 시퀀스의 존재는 비둘기구멍 원리에 의해 $n$ ≤ $x$ 를 필요로 한다는 것이다.따라서 숫자는 Iverson 대괄호를 사용하여 $[n\leq x]$ [ $[n\leq x]$ $[n\leq x]$ $[n\leq x]$ $[n\leq x]$ ${\displaystyle [n\leq$ x $]}($ 으)로 표현된다.

N에서 X까지, N과 X의 순열까지 주입 기능

이 경우는 이전 것으로 축소된다: X로부터 구별되는 n개의 원소들의 모든 시퀀스는 각각의 조건에 X의 순열을 적용함으로써 이미 서로 변형될 수 있기 때문에, 또한 용어의 순서를 변경할 수 있는 것은 새로운 식별을 제공하지 않는다; 그 수는 $[n\leq x]$ ≤ $[n\leq x]$ $[n\leq x]$ ${\displaystyle$ ] ${\leq$ x $}}$ 에 남아 있다 $[n\leq x]$

N에서 X까지, X의 순열까지, 과민함수

이 경우는 N의 파티션을 x (비어 있지 않은) 하위 집합으로 계산하거나, 정확히 x 클래스를 가진 N의 동등성 관계를 계산하는 것과 같다.실제로 어떤 처절함수 $f$ : $N$ → $X$ 에서 동일한 이미지를 가지는 관계는 그러한 동등성 관계이며, X의 순열이 후속적으로 적용될 때 변하지 않는다. 반대로 어떤 방식으로든 X의 요소를 x 동등성 고정대에 할당함으로써 그러한 동등성 관계를 굴절적 함수로 바꿀 수 있다.ses. 이러한 파티션 또는 동등성 관계의 수는 정의상 두 번째 종류의 S(n,x)의 스털링 번호로 $\textstyle \{{n \atop x}\}$ 또한 { $\textstyle \{{n \atop x}\}$ $\textstyle \{{n \atop x}\}$ $\textstyle \{{n \atop x}\}$ ${\$ \n $\otop$ x $}\}}}}}$ 라고 쓰여 있다 $\textstyle \{{n \atop x}\}$ 그것의 값은 재귀 관계를 사용하거나 생성 함수를 사용하여 설명할 수 있지만, 이항계수와 달리 폐쇄 공식은 없다.이 숫자들은 합계를 포함하지 않는다.

N에서 X까지의 과대함수

각 처절함수 $f$ : N → $X$ 에 대해 X의 순열 아래 궤도는 x! 요소를 가지고 있는데, 이는 X의 두 개의 구별되는 순열의 구성(왼쪽)이 결코 N에 대해 동일한 기능을 부여하지 않기 때문이다(일부 i differ N에 대해서는 순열이 항상 f(i)로 표기될 수 있고, 그 다음 i에서 구성이 달라진다.이 경우의 숫자는 이전 사례의 x! 곱하기 x! $\textstyle x!\{{n \atop x}\}.$ x $\textstyle x!\{{n \atop x}\}.$ { $\textstyle x!\{{n \atop x}\}.$ x $\textstyle x!\{{n \atop x}\}.$ . ${\$ ${{n \otop x}\}.$ $}$

예:
$X=\{a,b\},N=\{1,2,3\}{\text{}, 그 다음 }$
$\displaystyle \left\vert \{(a,a,b),(a,b,b),(b,a,a),(b,b,b),(b,b,a)\}\right\vert =2!\left\{3 \atop 2}\right\}=2\put 3=6}$

N에서 X까지의 함수, X의 순열까지의 함수

이 경우는 허탈함수에 해당하는 경우와 같지만, x의 일부 요소는 전혀 동등성 등급에 해당하지 않을 수 있다(X의 순열까지 기능을 고려하므로, 어떤 요소가 얼마나 많은지는 중요하지 않다).As a consequence one is counting equivalence relations on N with at most x classes, and the result is obtained from the mentioned case by summation over values up to x, giving $\textstyle \sum _{k=0}^{x}\{{n \atop k}\}$ . In case x ≥ n, the size of x poses no restriction at all, and one is counting n 요소 집합(이러한 집합의 모든 파티션)의 모든 동등성 관계. 따라서 $\textstyle \sum _{k=0}^{n}\{{n \atop k}\}$ $\textstyle \sum _{k=0}^{n}\{{n \atop k}\}$ = $\textstyle \sum _{k=0}^{n}\{{n \atop k}\}$ { $\textstyle \sum _{k=0}^{n}\{{n \atop k}\}$ $\textstyle \sum _{k=0}^{n}\{{n \atop k}\}$ $\textstyle \sum _{k=0}^{n}\{{n \atop k}\}$ ${\$ 은 B 종 번호에_n 대한 식을 제공한다 $\textstyle \sum _{k=0}^{n}\{{n \atop k}\}$ .

N에서 X까지, N과 X의 순열까지 과대함수

이 경우는 숫자 n의 파티션을 x 0이 아닌 부품으로 계산하는 것과 같다.X만 순열까지 $\textstyle \{{n \atop x}\}$ $\textstyle \{{n \atop x}\}$ $\textstyle \{{n \atop x}\}$ ${\$ \ $atop$ x $}\}}})$ 의 한계함수를 계산하는 경우와 비교하면, 두 개의 동등성 관계를 하나의 아노스로 변환할 수 있기 때문에 함수 N이 분할하는 동등성 등급의 크기(각 크기의 다중성 포함)만 유지한다. $\textstyle \{{n \atop x}\}$ 그들의 클래스의 크기가 일치하는 경우에만 N의 순열에 의해.이것은 정확히 n의 파티션 개념과 N의 파티션 개념을 구별하는 것이기 때문에, 결과적으로 n의 파티션 수를 x의 0이 아닌 부분으로 정의함으로써 p_x(n)을 얻는다.

N에서 X까지의 함수, N과 X의 순열까지의 함수

이 경우는 숫자 n의 칸막이를 ≤ x 파트로 계산하는 것과 같다.현재 파티션의 일부 부분이 0과 같을 수 있다는 점을 제외하면, 연결은 이전 사례와 동일하다.(특히, 함수 이미지에서는 X의 요소에 해당하지 않는다.)n의 각 칸막이를 필요한 수의 0을 추가하여 그러한 칸막이로 확장할 수 있으며, 이는 $\textstyle \sum _{k=0}^{x}p_{k}(n)$ 가능성을 정확히 한 번 설명하므로 결과는 $\textstyle \sum _{k=0}^{x}p_{k}(n)$ ∑ $\textstyle \sum _{k=0}^{x}p_{k}(n)$ = 0 $\textstyle \sum _{k=0}^{x}p_{k}(n)$ $\textstyle \sum _{k=0}^{x}p_{k}(n)$ k $\textstyle \sum _{k=0}^{x}p_{k}(n)$ ( $\textstyle \sum _{k=0}^{x}p_{k}(n)$ ) ${\$ \ $sum _{k=0}^{x}p_{k(n$ 각 x 파트에 1을 추가하여 a를 얻는다. $n$ + $x$ 를 x nonzero 파트로 분할하면 이 대응은 비주사적이다. 따라서 주어진 표현은 $p_{x}(n+x)$ x $p_{x}(n+x)$ ( n $p_{x}(n+x)$ + $p_{x}(n+x)$ $){\displaystyle p_{x}(n+x)}$ 로 쓰면 단순화할 수 있다 $p_{x}(n+x)$

극단적 사례

위의 공식은 모든 유한 집합 N과 X에 대한 적절한 값을 제공한다.거의 동일하지만 N이나 X가 비어 있는 경우와 같이 극단적인 경우에는 정확한 결과를 제공하지 않는 대체 공식이 있는 경우도 있다.그러한 경우 다음과 같은 고려사항을 적용한다.

모든 집합 X에 대해 빈 집합에서 X(이 함수의 값이 지정되지 않음)까지의 함수가 정확히 하나 있다. 이 함수는 항상 주입적이지만 X가 비어 있지 않으면 절대 좌절하지 않는다.
모든 비빈 집합 N에 대해 N에서 빈 집합까지 함수가 없다(지정해야 하지만 지정할 수 없는 함수의 값이 적어도 하나 있다).
$n$ > $x$ 에는 $주입함수$ N → $X$ 가 $없고$ , n < $x$ 가 있으면 $굴절함수$ N → $X$ 가 없다.
공식에 사용된 식에는 특정 값이 있다.

0^{0}=0^{\underline {0}=0!={\binom {0}{0}}={\binom {-1}{0}}=\left\{0\{0 \atop 0}\right\}=p_{0}(0)=1

(첫 번째 세 가지는 빈 제품의 인스턴스

{\tbinom {-1}{0}}={\tfrac {(-1)^{\underline {0}}}{0!}}=1

-

{\tbinom {-1}{0}}={\tfrac {(-1)^{\underline {0}}}{0!}}=1

)

{\tbinom {-1}{0}}={\tfrac {(-1)^{\underline {0}}}{0!}}=1

=

{\tbinom {-1}{0}}={\tfrac {(-1)^{\underline {0}}}{0!}}=1

( -

{\tbinom {-1}{0}}={\tfrac {(-1)^{\underline {0}}}{0!}}=1

) 0

{\tbinom {-1}{0}}={\tfrac {(-1)^{\underline {0}}}{0!}}=1

0

{\tbinom {-1}{0}}={\tfrac {(-1)^{\underline {0}}}{0!}}=1

= 1

{\tbinom {-1}{0}}={\tfrac {(-1)^{\underline {0}}}{0!}}=1

{\

displaystyle {-1}{0}={\tfrac {(-1)^{\underline {0}{

0}}{

0}}{

0!

}}=1

}은

(

는) 기존 이항계수를 상위지수의 임의값으로 확장하는 방식으로 부여되는

{\tbinom {-1}{0}}={\tfrac {(-1)^{\underline {0}}}{0!}}=1

반면,

\left\{n \atop x}\right\}=p_{x}(n)=0\n(n)=0\x{\hbox{}또는 }0\leq n<x.

In particular in the case of counting multisets with n elements taken from X, the given expression ${\tbinom {n+x-1}{n}}$ is equivalent in most cases to ${\tbinom {n+x-1}{x-1}}$ , but the latter expression would give 0 for the case $n = x = 0$ (음의 낮은 지수를 갖는 이항 계수는 항상 0이라는 일반적인 관례에 따라).마찬가지로 x가 0이 아닌 부분으로 n의 구성을 계산하는 경우, 주어진 표현식 ${\tbinom {n-1}{n-x}}$ - ${\tbinom {n-1}{n-x}}$ - $){\$ ${\tbinom {n-1}{x-1}}$ $n-x}}$ 은 별과 막대에 의해 주어진 ${\tbinom {n-1}{x-1}}$ 표현식 ${\tbinom {n-1}{x-1}}$ - ${\tbinom {n-1}{x-1}}$ ${\tbinom {n-1}{x-1}}$ - ${\tbinom {n-1}{x-1}}$ $){\$ {n-1 $}{x-1}}}}$ 과 거의 동일하지만 ${\tbinom {n-1}{n-x}}$ , 후자는 다음과 같다.nx0에 부정확한 가치와인데의 결과를 요약이 참가하고 있는 경우 모든 값 즉, n의 대부분의)사각형 하위 집합 또는 칸막이로 요약 인덱스 0에 출발할 것 대부분의)0이 아닌 부품에, 해당 용얼 때마다 n의 경우에만 0입니다;0에서, 그것은 독특하지 않은으로 N의 파티션 숫자를.ze $lo$ term n = $0$ 이며, 합계를 1로 시작하면 결과가 잘못될 수 있다.

일반화

우리는 다른 그룹의 순열들이 N과 X에 대해 행동하도록 허용함으로써 더 일반화할 수 있다.If G is a group of permutations of N, and H is a group of permutations of X, then we count equivalence classes of functions $f\colon N\rightarrow X$ . Two functions $f$ and $F$ are considered equivalent if, and only if, there exist $g\in G,h\in H$ so that ${\display$ $스타일 F=h\circle f\circle g$ 이 확장은 숫자와 집합의 주기적 분할 및 이음순열과 같은 개념으로 이어진다.

이십배길

20배의 길이라고 불리는 또 다른 일반화는 케네스 P. 보가트가 그의 저서 "유도된 발견을 통한 결합"에서 개발되었다.물체를 상자로 분배하는 문제에서 물체와 상자는 모두 동일하거나 구별될 수 있다.보고트가 확인한 ^[3]건 20건이야

20배 방법, x-수신자 사이에 n개의 객체를 분포시키는 방법

№	물건들	조건 분배의	받는 사람
№	물건들	조건 분배의	구별하다	동일
1	구별하다	제한 없음	X의 n-시퀀스 $x^{n}$	N을 ≤ x 부분 집합으로 분할 $\sum _{i=0}^{x}\왼쪽\{n \attop i}\오른쪽\}}$
2		한 개당 최대 한 개씩	X의 n-permutation $x^{\underline{n}$	${\case}1&{\text}{if }n\leq x\\\0&{\text}{present}\case}}$
3		적어도 한 개씩	부분 집합이 x인 N의 구성 $x!\왼쪽\{n \atop x}\오른쪽\}}}$	N을 x 부분 집합으로 분할 $\left\{n \atop x}\right\}}$
4		정확히 한 개씩	$디스플레이 스타일 n!=x!}$ 순열	${\case}1&{\text}{{n=x\\\0&{\text}{data}\case}}$
5	구별하다 주문된	제한 없음	${\displaystyle(n+x-1)^{\underline{n}}$ 순서가 정해진 기능	$\sum _{i=1}^{x}L(n,i)$ 끊어진 순열 $\leq x$ $\leq x$ ${\displaystyle \leq$ x $}$ 부품 $\leq x$ ) $L(n,i)$ 서 L $L(n,i)$ $L(n,i)$ $L(n,i)$ ) $L(n,i)$ 은 $L(n,i)$ (는) Lah 번호임
6	구별하다 주문된	적어도 한 개씩	$(n)^{\underline{x}(n-1)^{\underline{n-x}$ 직무에 명령된.	$L(n,x)=\left({n \atop x}\오른쪽)^{\n-x}$ 끊어진 순열(x 부품) $L(n,x)$ 서 L $L(n,x)$ $L(n,x)$ $L(n,x)$ ) $L(n,x)$ 은 $L(n,x)$ (는) Lah 번호임
7	동일	제한 없음	X의 n-멀티스ubset $\leftx+n-1 \atop n}\right)$	$\sum _{i=1}^{x}p_{i}(n)$ 숫자 파티션(파트를 $\leq x$ $\leq x$ ${\displaystyle \leq$ x $}개$ )
8		한 개당 최대 한 개씩	X의 n-subset $\leftx \atop n}\오른쪽)$	${\case}1&{\text}{if }n\leq x\\\0&{\text}{present}\case}}$
9		적어도 한 개씩	$\displaystyle \leftn-1 \atop x-1}\오른쪽)$ 구성(x 부품)	n을 x 파트로 분할 $p_{x}(n)$
10		정확히 한 개씩	${\case}1&{\text}{{n=x\\\0&{\text}{data}\case}}$	${\case}1&{\text}{{n=x\\\0&{\text}{data}\case}}$