모노미알

수학에서 단항은 대략적으로 용어가 하나만 있는 다항식이다. 단일 문자의 두 가지 정의가 있을 수 있다.

전력 생산물이라고도 하는 단원형은 음이 아닌 정수 지수를 가진 변수의 힘 또는 다시 말하면 변수의 산물로서, 어쩌면 반복이 있을 수 있다. 예를 들어 $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ y $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ 3 $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ = $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ ${\displaystyle$ x $^{2}yz^{3}=xxxyzz}$ 는 단수형이다 $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ . 상수 $1$ $1$ 은 $1$ (는) 하나의 모노미알이며, 모든 $변수$ x ${\displaystyle$ x $}$ 에 $x^{0}$ 대해 x $x^{0}$ ${\$ $x$ $}과($ 와) 같음 $x$ 단일 변수 x ${\displaysty x}$ 만 고려되면 $x$ , 단일 변수 $x$ $1$ ${\displaystytylement$ 1 $}$ 또는 $1$ power $x^{n}$ $x^{n}$ ${\$ $days$ 를 $의미$ 한다. $tyle x^{n$ $}$ 의 $x^{n}$ x ${\displaystyle$ x $}$ 와 $n$ $n$ 의 $n$ 양의 정수 $x$ If several variables are considered, say, $x,y,z,$ then each can be given an exponent, so that any monomial is of the form $x^{a}y^{b}z^{c}$ with $a,b,c$ non-negative integers (taking note that any exponent $0$ makes $해당$ 인자가 1 $1$ 과(와) 같다.
단항은 첫 번째 의미에서의 단항과 0이 아닌 상수를 곱한 것으로 단항 계수라고 한다. A monomial in the first sense is a special case of a monomial in the second sense, where the coefficient is $1$ . For example, in this interpretation $-7x^{5}$ and $(3-4i)x^{4}yz^{13}$ are monomials (in the second example, the variables are $x$ , $y$ , $z$ , ${\displaystyle x,y,z,},$ 계수는 복잡한 숫자임 $x,y,z,$ ).

Laurent 다항식 및 Laurent 시리즈의 맥락에서 단항식의 지수는 음수일 수 있으며, Puiseux 시리즈의 맥락에서 지수는 합리적인 숫자일 수 있다.

다항식(polynomial)은 물론 단항식(monomial)이라는 단어는 라틴어의 말기인 비노미움(binomium)에서 유래했기 때문에, 접두사 'bi-'(라틴어로 2개)을 바꾸어 이론적으로 단항식(단항식)이라고 해야 한다. "모노미알"은 "모노미알"^[1]의 happlology에 의한 싱코프다.

두 정의의 비교

어느 정의든 단항 집합은 곱셈으로 닫히는 모든 다항식의 하위 집합이다.

이 개념의 두 가지 용도는 모두 찾을 수 있으며, 많은 경우 구별은 간단히 무시된다. 예를 들어 첫 번째^[2] 의미와 두 번째^[3] 의미에 대한 예를 참조하십시오. 비공식적인 토론에서 구별은 거의 중요하지 않으며, 경향은 더 넓은 두 번째 의미를 지향한다. 그러나 다항식의 구조를 연구할 때, 사람들은 종종 첫 번째 의미를 가진 개념이 반드시 필요하다. 예를 들어 다항식 링의 단항적 기준 또는 그 기준의 단항적 순서를 고려할 때 그렇다. 또한 첫 번째 의미에 찬성하는 주장은 이러한 값을 지정하기 위해 사용할 수 있는 명백한 다른 개념은 없다는 것이다(특히 첫 번째 의미와 함께 단항(단항)을 사용하지만 상수의 부재를 명확하게 하지 않는 경우). 반면 다항(多항)의 개념은 세코와 명확하게 일치한다.단어의 의미.

이 글의 나머지 부분은 "단항적"의 첫 번째 의미를 가정한다.

일원근거

단항(첫 번째 의미)에 대한 가장 분명한 사실은 어떤 다항식도 그것들의 선형 결합이기 때문에 단항식이라고 불리는 모든 다항식의 벡터 공간의 기초를 형성한다는 것이다. - 수학에서 끊임없이 암묵적으로 사용되는 사실.

숫자

$n$ $n$ 변수의 $d$ $n$ 도 $d$ $d$ 단수 값은 $n$ $n$ 변수 $n$ 중에서 선택한 $d$ ${\displaysty d}$ 요소의 $d$ 다중 결합 수(변수는 두 번 이상 선택할 수 있지만 순서는 중요하지 않음)로, 다중값 계수에 의해 주어진다. ${\$ ${\binom {n}{d}\!$ $\!\right$ $d+1$ 표현식은 이항계수의 형태로, $d$ ${\displaystyle$ d $}$ 의 다항식 식 또는 d + $d+1$ {\ $displaystyle d+1$ }의 상승 요인 검정력을 사용하여 지정할 수도 있다 $d+1$

왼쪽(\!\!){\binom {n}{d}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}}(d+1)^{\overline{n-1}.}

후자의 형태는 변수의 수를 수정하고 정도를 변화시킬 때 특히 유용하다. 이러한 표현식에서, 고정 n의 경우, 도 d의 단항 수가 선행 계수 ${\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}}$ - 1 ${\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}}$ )이 ${\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}}$ 있는 $n-1$ 도 $n-1$ - $n-1$ $n-1$ 의 $d$ d ${\$ $displaystyle$ $n-1}$ 의 다항식임을 알 수 있다 $.$ $}}}$ .

For example, the number of monomials in three variables ( $n=3$ ) of degree d is ${\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{\overline {2}}={\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)}$ ; these numbers form the sequence 1, 3, 6, 10, 15, ... of triangular numbers.

Hilbert 시리즈는 주어진 수준의 단항 수를 표현하는 콤팩트한 방법이다: $n$ ${\displaystylen}$ 변수에서 $d$ $n$ $도$ d ${\displaystyled}$ 의 단항 수는 $d$ 의 공식 파워 시리즈 확장의 $d$ 도계수 $d$ 이다.

{\frac {1}{{(1-t)^{n}}.

$n$ 변수에서 최대 $d$ 의 도 단수(monomials)는 ${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$ ( ${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$ + ${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$ ) ${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$ = ${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$ ( ${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$ + $){\$ 이다 ${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$ $n+1$ 는 n $n+1$ + $n+1$ 변수의 $d$ $n+1$ 도 $d$ ${\$ $displaystyle$ $n+$ $1$ } 단변수와 $최대$ $도$ d ${\displaystyle$ n} 변수의 $d$ $n$ 도 d {\ $displaystyle d}$ 사이의 일대일 대응으로, 추가 변수를 1로 대체하는 것으로 구성된다.

다중지수 표기법

다중 지수 표기법은 특히 변수가 두 개 또는 세 개 이상인 경우 콤팩트한 논조를 갖는 데 유용한 경우가 많다. 사용 중인 $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,$ 가 $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,$ $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,$ , $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,$ , x $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,$ , $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,$ , $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,$ 과 같은 인덱스 패밀리를 형성하면 설정할 수 있다 $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,$ .

x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }),

그리고

(a,b,c,\ldots)}

그러면 단조로운.

x_{1}^{a}x_{2}^{b}x_{3}^{c}\cdots }

라고 간결하게 쓸 수 있다.

x^{\display }

이 표기법으로, 두 개의 단항체의 곱은 단순히 지수 벡터를 추가함으로써 표현된다.

x^{\property }x^{}}=x^{\pair +\pair }

정도

단수체의 정도는 지수 없이 나타나는 변수에 대해 1의 암묵적 지수를 포함하여 변수의 모든 지수의 합으로 정의된다. 예를 들어, 이전 절의 예에서 그 정도는 $a+b+c$ + $a+b+c$ + $a+b+c$ $a+b+c$ 이다 $a+b+c$ $xyz^{2}$ $xyz^{2}$ $xyz^{2}$ $xyz^{2}$ ${\$ 의 정도는 1+1+2=4이다 $xyz^{2}$ . 0이 아닌 상수의 정도는 0이다. 예를 들어 -7의 정도는 0이다.

단수체의 정도를 주로 계열의 맥락에서 질서라고 부르기도 한다. 변수 중 하나에서 정도와 구별할 필요가 있을 때 총도라고 부르기도 한다.

일변량도는 일변량 및 다변량 다항식 이론의 기본이다. 명시적으로 다항식의 정도와 동종 다항식의 개념을 정의하는 데 사용되며, 그뢰브너 베이스를 형성하고 계산하는 데 사용되는 등급화된 단항 순서도 사용된다. 암묵적으로 테일러 시리즈의 항을 여러 변수에 그룹화하는 데 사용된다.

기하학

대수 기하학에서 일부 α 집합에 대해 $x^{\alpha }=0$ 단량 $x^{\alpha }=0$ x $x^{\alpha }=0$ = 0 $x^{\alpha }=0$ 에 의해 정의된 품종은 동질성의 특별한 특성을 가지고 있다. 이것은 대수적 그룹의 언어로 표현될 수 있으며, 대수적 토루스(대각 행렬의 곱셈 그룹에 의해 동등하게)의 집단 작용의 존재 측면에서 표현될 수 있다. 이 지역은 토러스 임베딩이라는 이름으로 연구되고 있다.

참고 항목

참조

^ 1969년 미국 영어사전
^ Cox, David; John Little; Donal O'Shea (1998). Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. pp. 1. ISBN 0-387-98487-9.
^ "Monomial", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] 1969년 미국 영어사전

[2] Cox, David; John Little; Donal O'Shea (1998). Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. pp. 1. ISBN 0-387-98487-9.

[3] "Monomial", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1]

[2]

[3]

v t 다항식 및 다항식 함수
정도별	0 다항식(도 정의되지 않음 또는 -1 또는 -multi) 상수 함수(0) 선형 함수(1) 선형 방정식 2차 함수(2) 이차 방정식 입방 함수(3) 입방정식 사분위 함수(4) 사분방정식 5중함수(5) Sextic 방정식(6) 정화 방정식 (7)
속성별	일변량 비바리아테 다변량 모노미알 이항체 삼원체 무레듀케이블 스퀘어 프리 동질적 준균종
도구 및 알고리즘	인자화 최대공통점 나누기 호너의 평가법 결과물 판별 그뢰브너 기준

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목차

두 정의의 비교

일원근거

숫자

다중지수 표기법

정도

기하학

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