두 제곱의 차이

수학에서 두 제곱의 차이는 다른 제곱수에서 제곱을 뺀 숫자입니다.모든 제곱의 차이는 동일성에 따라 인수분해될 수 있다.

a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

초급 대수학에서.

증명

인수분해 정체성의 증명은 간단하다.왼쪽부터 분배 법칙을 적용하여

(a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}

가환법칙에 따라 가운데 두 항은 취소됩니다.

ba-ab=0

떠나는

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

그 결과 나타나는 동일성은 수학에서 가장 일반적으로 사용되는 것 중 하나이다.많은 용도 중에서, 이것은 두 변수에서 AM-GM 부등식의 간단한 증거를 제공한다.

그 증거는 어떤 교환환에도 적용된다.

반대로 이 ID가 요소 a와 b의 모든 쌍에 대해 링 R로 유지되면 R은 치환적입니다.이것을 보려면 방정식의 오른쪽에 분배 법칙을 적용하고 다음을 구하십시오.

a^{2}+ba-ab-b^{2}

2

a^{2}+ba-ab-b^{2}

+

a^{2}+ba-ab-b^{2}

a -

a^{2}+ba-ab-b^{2}

-

a^{2}+ba-ab-b^{2}

2

({

a

^{2}+ba-ab-b^{2

$a^{2}-b^{2}$ 값이 $a^{2}-b^{2}$ - $a^{2}-b^{2}$ 2({ $displaystyle$ a $^{2}-b^{2$ 가 되려면 다음 조건을 충족해야 합니다.

ba-ab=0

모든 쌍 a, b에 대해 R은 가환적입니다.

기하학적 데모

두 정사각형의 차이는 평면에서 두 정사각형 영역의 차이로 기하학적으로 나타낼 수도 있습니다.그림에서 음영 부분은 두 정사각형의 면적 차이를 나타냅니다. $a^{2}-b^{2}$ $a^{2}-b^{2}$ - $a^{2}-b^{2}$ 2(\ $displaystyle$ a $^{2}-b^{2$ 음영 부분의 영역은 2개의 직사각형 $a(a-b)+b(a-b)$ ( $a(a-b)+b(a-b)$ - $a(a-b)+b(a-b)$ ) $a(a-b)+b(a-b)$ + $a(a-b)+b(a-b)$ ( $a(a-b)+b(a-b)$ - b $){displaystyle$ $(a+b)(a-b)$ a ( $a$ - b $(a+b)(a-b)$ $a(a-b)+b(a-b)$ ( a - $(a+b)(a-b)$ b $(a+b)(a-b)$ )로 $(a+b)(a-b)$ 인수분해할 수 있습니다. $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ a $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ 2 - $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ $=$ ( $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ + $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ ) ( $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ - $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ $){$ $displaystyle$ a $^{2}-b^{2$ }=( $a+b$ )( $a-b$ 입니다.

또 다른 기하학적 증명은 다음과 같이 진행됩니다.아래 첫 번째 그림에서 작은 정사각형이 제거된 큰 정사각형부터 시작합니다.정사각형 전체의 변은 a이고, 작은 제거된 정사각형의 변은 b이다.음영 영역의 면적은 2 $a^{2}-b^{2}$ - $a^{2}-b^{2}$ 2 $({$ a $^{2}-b^{2$ 이며, 두 번째 그림과 같이 영역을 직사각형으로 분할하여 절단한다.위쪽의 큰 조각은 폭 a와 높이 a-b를 가집니다.아래쪽에 있는 작은 조각은 폭 a-b와 높이 b가 있습니다.이제 작은 조각을 떼어내고 회전시켜 큰 조각의 오른쪽에 배치할 수 있습니다.아래 마지막 그림과 같이 이 새로운 배치에서는 두 조각이 함께 직사각형을 형성하고 너비는 $a+b$ a + $a+b$ (\ $a-b$ $style$ a $+b)$ 이고 $a+b$ 높이는 $a-b$ a - $a-b$ b(\ $display a-b$ 입니다.이 직사각형의 면적은 $(a+b)(a-b)$ ( $(a+b)(a-b)$ $(a+b)(a-b)$ ) ( $(a+b)(a-b)$ $(a+b)(a-b)$ ) { $displaystyle ($ a $(a+b)(a-b)$ + $b)$ ( $a-b$ 입니다.이 직사각형은 원래 그림을 재배치한 것이기 때문에 원래 그림과 같은 면적을 가져야 합니다. $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ a $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ 2 - $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ $=$ ( $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ + $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ ) ( $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ - $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ $){$ $displaystyle$ a $^{2}-b^{2$ }=( $a+b$ )( $a-b$ 입니다.

사용하다

다항식의 인수분해 및 식 단순화

두 제곱의 차이에 대한 공식은 첫 번째 수량의 제곱에서 두 번째 수량의 제곱을 뺀 값을 포함하는 다항식을 인수분해하는 데 사용할 수 있습니다.예를 들어, $x^{4}-1$ $x^{4}-1$ 4 - $x^{4}-1$ (\ $displaystyle$ x $^{4}-1)$ 은 $x^4 - 1$ 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다.

x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x+1)(x-1)

두 번째 $x^{2}-y^{2}+x-y$ 에서는 x $x^{2}-y^{2}+x-y$ - $x^{2}-y^{2}+x-y$ $x^{2}-y^{2}+x-y$ + x - $y$ 의 $x^2 - y^2 + x - y$ $x^{2}-y^{2}+x-y$ 두 항을 ( $(x+y)(x-y)$ + $(x+y)(x-y)$ ) ( $(x+y)(x-y)$ - $(x+y)(x-y)$ ) ( $(x+y)(x-y)$ x - y $)$ ( x - y )로 $(x+y)(x-y)$ 인수할 수 있습니다.\ $displaystyle ( x$ $x^{2}-y^{2}+x-y$ + $y$ ) ( x - y ) ( x - y ) （ x - y ) （ x - y $(x+y)(x-y)$ ） $(x+y)(x-y)$

x^{2}-y{2}+x-y=(x+y)(x-y)+x-y=(x+y+1)

또한 이 공식은 식을 단순화하는 데도 사용할 수 있습니다.

{{displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=(a+b+a-b)=(2a)=4ab}

복소수 대소문자: 두 제곱의 합

두 제곱의 차이는 복소수 계수를 사용하여 두 제곱의 합계의 선형 요인을 찾는 데 사용됩니다.

$예$ 를 들어 z $z^{2}+4$ 2 + $4의$ 은 두 제곱의 차이를 사용하여 찾을 수 있습니다 $.$

z^{2}+4

=z^{2}-4i^{2}

=

=z^{2}-4i^{2}

=z^{2}-4i^{2}

-

=z^{2}-4i^{2}

i 2 {

style =

z^{2}-

^{2

}}

(

i^{2}=-1

2

=

- 1({

displaystyle

i^{2}=-

1

i^{2}=-1

=z^{2}-4i^{2}

=z^{2}-(2i)^{2}

=(z+2i)(z-2i)

따라서 선형 계수는 ( $(z+2i)$ + $)$ { $displaystyle (z+2i)}$ $(z-2i)$ 및 $(z+2i)$ ( $(z-2i)$ $(z-2i)$ $)$ { $displaystyle (z-2i$ 입니다 $(z+2i)$

이 방법으로 구한 두 인수는 복소공역이기 때문에 복소수를 곱하여 실수를 구하는 방법으로 역방향으로 사용할 수 있다.복소수에서 ^[1]실수 분모를 구하는 데 사용됩니다.

합리화 분모

두 제곱의 차이는 비합리적인 ^[2]분모를 합리화하는 데도 사용될 수 있다.이는 식에서 서드를 제거하는(또는 적어도 이동시키는) 방법으로 제곱근과 관련된 몇 가지 조합에 의해 나눗셈에 적용됩니다.

예를 들어 다음과 같습니다. ${\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}$ 3 + $($ style {dfrac { $5}{\sqrt {3}}+4})$ 의 ${\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}$ 분모는 다음과 같이 합리화할 수 있습니다.

{5}{\displayrt {3}}+4}

= paramentdfrac {5}{\paramrt {3}}+4}\times {\paramrt {3}-4}{\paramentrt {3}}

= snapdfrac {5snap\snaprt {3}}-4}}{{\snaprt {3}}+4)({\snaprt {3}}-4}}}}

= snapdfrac {5snap\snaprt {3}} {\snaprt {3} ^{2}-4^{2}}}

= snapdfrac {5snap\snaprt {3}} {3-16}

=-{\dfrac {5grt {3}}-4}{13}}.

여기서 비합리적인 ${\sqrt {3}}+4$ 3 $4(디스플레이$ 스타일 {3 $}}+4)$ 는 ${\sqrt {3}}+4$ 13 $(디스플레이 스타일$ $13$ $13$ 으로 합리화되었습니다.

암산

두 사각형의 차이는 산술적 단축 컷으로도 사용할 수 있습니다.두 숫자(평균이 쉽게 제곱되는 숫자)를 곱하면 두 제곱의 차이를 사용하여 원래 두 숫자의 곱을 구할 수 있습니다.

예를 들어 다음과 같습니다.

27\times 33=(30-3)(30+3)

두 제곱의 차이를 사용하여 27 $27\times 33$ × $(\displaystyle$ 27 $\times$ 33 $)$ 을 $27 \times 33$ $27\times 33$ 과 같이 다시 나타낼 수 있습니다.

a^{2}-b^{2}

2 -

a^{2}-b^{2}

({

displaystyle

a

^{2}

-

b^{2}

},

30^{2}-3^{2}=891

2 -

30^{2}-3^{2}=891

2

=

30^{2}-3^{2}=891

({

displaystyle

30

^{2}-3^{2

}=

891

입니다.

두 개의 연속 완전 제곱의 차이

두 개의 연속된 완전 제곱의 차이는 두 개의 기저 n과 n+1의 합입니다.이것은 다음과 같이 볼 수 있습니다.

{array} {lcl}(n+1)^{2}-n^{2}&=(n+1)+n)(n+1)-n)\&=&2n+1\end{array}

따라서 두 개의 연속된 완전 제곱의 차이는 홀수입니다.마찬가지로, 두 개의 임의의 완전 제곱의 차이는 다음과 같이 계산됩니다.

{array} {lcl}(n+k)^{2}-n^{2}&=(n+k)+n)(n+k)-n)\\&=&k(2n+k)\end{array}

따라서 두 짝수 완전 제곱의 차이는 4의 배수이고 두 홀수 완전 제곱의 차이는 8의 배수입니다.

정수의 인수분해

수 이론과 암호학의 몇몇 알고리즘은 정수의 인자를 찾고 합성수를 검출하기 위해 제곱의 차이를 사용합니다. $a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i$ 예로는 페르마 인수분해법을 들 수 $x_{i}:=a_{i}^{2}-N$ . $a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i$ 방법은 i : $x_{i}:=a_{i}^{2}-N$ $x_{i}:=a_{i}^{2}-N$ 2 - $x_{i}:=a_{i}^{2}-N$ $x_{i}:=a_{i}^{2}-N$ $display style$ x _ { i : = $a$ _ { $i$ }^ $2}$ - $N$ ( i : $a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i$ $a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i$ $a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i$ + $a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i$ { $display style$ a _ { $a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i$ } ) : $x_{i}:=a_{i}^{2}-N$ 。 $=\left\lceil$ { $N}\rceil +$ i $a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i$ $x_{i}$ i $x_{i}$ 중 하나가 완전한 $b^{2}$ b $b^{2}$ 인 경우({ $displaystyle$ b $^{2$ $N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)$ $=$ $N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)$ - $N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)$ $N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)$ $N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)$ ( $N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)$ a $N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)$ + $N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)$ ) ( $N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)$ - b ) ( $a$ - $N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)$ b ) { $displaystyle$ N $N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)$ = a _ { i } - $b^{2$ } = ( a $_$ { $i$ } + $b$ ) $_$ b （ a _ { i $}$ )

이 트릭은 다음과 같이 일반화할 수 있습니다. $a^{2}\equiv b^{2}$ $a^{2}\equiv b^{2}$ 2 (\ $style$ a $^{2}\equiv$ b $^{2})$ $N$ N(\ $displaystyle$ N) 및 $N$ $a\not \equiv \pm b$ ± $a\not \equiv \pm b$ (\ $displaystyle$ a $\equiv \pm$ b가 $a\not \equiv \pm b$ $아닌$ \display $style$ N) mod N (\displaystyle N $N$ 일 경우 N $(\$ $displaystyle$ N $)$ 은 $N$ a $\gcd(a-b,N)$ - $\gcd(a-b,N)$ $,$ n $)$ 와 합성됩니다. $e \gcd(a+b,N$ 이것은 몇 가지 인수분해 알고리즘(예를 들어 2차 체)의 기초를 형성하며, 더 강한 밀러-라빈 프라이머리 테스트를 제공하기 위해 페르마 프라이머리 테스트와 결합할 수 있다.

일반화

벡터

a(보라색),

b

(시안) 및

a

+

b

(파란색)는 화살표로 표시됩니다.

또한 항등식은 유클리드 벡터의 점곱과 같이 실수의 장에 걸친 내부 곱 공간에서도 유지된다.

({displaystyle {mathbf {a}\cdot {mathbf {a}-{\mathbf {b}=cdot \mathbf {a}+{\mathbf {b}}})\cdot {\mathbf {a}-{b})

증거는 같다. $a$ 와 b가 동일한 규범을 갖는 특별한 경우(즉, 점 제곱이 동일하다는 의미), 이것은 마름모꼴의 두 대각선이 수직이라는 사실을 분석적으로 보여준다.이는 방정식의 왼쪽이 0인 상태에서 나타나므로 오른쪽도 0이 되어야 하므로 벡터 $차이$ a - $b$ (마름모꼴의 짧은 대각선)가 점 찍힌 a + $b$ (마름모꼴의 긴 대각선)의 벡터 합은 0이 되어야 하며, 이는 대각선이 수직임을 나타냅니다.

두 n제곱의 차이

두 개의 정사각형과 두 개의 큐브 간의 차이를 시각적으로 확인할 수 있습니다.

a와 b가 교환환 R의 두 원소일 경우 $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ - $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ n $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ ( $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ - $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ ) ( $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ k $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ n - $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ - $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ - $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ b $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ ) { $display$ a $^{n}$ - $b^{n$ } = \ $left$ ( $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$ a - b \ $right$ ) \ $lef$ ( \ $sum _$ k = $0 ^1 - n$ - $k$ )

역사

역사적으로 바빌로니아인들은 곱셈을 계산하기 위해 두 제곱의 차이를 사용했다.^[3]

예를 들어 다음과 같습니다.

93 x 87 = 90² - 3² = 8091

64 x 56 = 60² - 4² = 3584

「」를 참조해 주세요.

산술 급수에서 세 제곱의 공유 차이인 콩그룸
켤레(대수)
인수분해

메모들

^ 2011년 12월 22일 취득한 복잡한 숫자 또는 가상의 숫자 TheMathPage.com
^ Multiplying Radicals TheMathPage.com, 2011년 12월 22일 취득
^ "Babylonian mathematics".

레퍼런스

Stanton, James Stuart (2005). Encyclopedia of Mathematics. Infobase Publishing. p. 131. ISBN 0-8160-5124-0.
Tussy, Alan S.; Gustafson, Roy David (2011). Elementary Algebra (5th ed.). Cengage Learning. pp. 467–469. ISBN 978-1-111-56766-8.

외부 링크

mathpages.com에서 두 제곱의 차이

[1] 2011년 12월 22일 취득한 복잡한 숫자 또는 가상의 숫자 TheMathPage.com

[2] Multiplying Radicals TheMathPage.com, 2011년 12월 22일 취득

[3] "Babylonian mathematics".

[1]

[2]

[3]

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