라그랑주의 4제곱 정리

홀수 p마다 정리를 증명하기에 충분하다. 이는 오일러의 4제곱정체(그리고 숫자 1과 2에 대한 정리가 사실이라는 사실에서 바로 뒤따른다.

modulo² p의 잔류물은 0과 (p - 1)/2 (포함) 사이의 a마다 구별된다. 이를 확인하려면 a를 몇 개 취하여 c를 mod² p로 정의하십시오. a는 Z/pZ 필드 위에 있는 다항식² x - c의 루트입니다. p - a(a와 다른)도 마찬가지다. 필드 K에서 도 n의 모든 다항식은 최대 n개의 구별되는 뿌리(라그랑주의 정리(숫자 이론))를 가지므로 이 속성을 가진 다른 a는 없으며, 특히 0 ~ (p - 1)/2 사이에 있지 않다.

마찬가지로 b가 0과 (p - 1)/2 사이의 적분 값(포함)을 갖는 경우 -b² - 1은 구별된다. 비둘기 구멍 원리에 의해 이 범위에는 a와 b가 있는데, a와² -b² - 1은 합치되는 modulo p이고, 이 범위에는 a와 b가 있다.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}=np.}$

이제 mp가 네 제곱의 합인 x₁² + x + x₂² + x₃²₄² (이 속성을 가진 m(명칭 n)이 있으므로 최소 1 m가 있고 p보다 작다는 것을 방금 보여 주었다)와 같이 m가 가장 작은 양의 정수가 되게 하라. 우리는 모순을 통해 m이 1과 같다는 것을 보여준다: 만약 그것이 사실이 아니라면, 우리는 m보다 적은 양의 정수 r의 존재를 증명한다. rp는 또한 4개의 제곱의 합이다(이것은 페르마의 무한 강하법의^[6] 정신에 있다).

이를 위해 동일한 잔류물 등급 modulo m에 있고 (–m + 1)/2와 m/2 사이에 있는 각 x_i y를_i 고려한다(아마도 포함). 이 값은 m보다 작은 일부의 엄격히 양의 정수 r에 대해 y₁² + y₂² + y₃² + y₄² + y = mr를 따른다.

마지막으로 오일러의 4제곱 아이덴티티에 대한 또 다른 어필은 mpmr = z₁² + z₂² + z + z₃² + z를₄² 보여준다. 그러나 각 x가_i 해당 y와_i 일치한다는 사실은 모든 z가_i m에 의해 분할된다는 것을 암시한다. 정말,

${\displaystyle {\displaysty}z_{1}&=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}}y_{3}+x_{4}y_{4}&\equiv x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}&=mp\equiv 0&{\pmod {m},\\z_{2}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}}}y_{4}-x_{4}y_{3}&\equiv x_{1}x_{1}-x_{2}x_{1}x_{1}+x_{3}}x_{4}-x_{4}x_{3}&=0&{\pmod{m},\\z_{3}&=x_{1}y_{1}-{3}-x_{2}y_{4}-x_{3}y_{1}+x_{1}+x_{4}}y_{2}&\equiv x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4}-x_{3}x_{1}+x_{4}}x_{2}&=0&{\pmod{m},\z_{4}&=x_{1}y_{1}+x_{4}+x_{2}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{2}-x_{1}-x_{1}-{1x_{4}&\equiv x}+x_{2}{2}{2}}x_{3}-x_{3}x_{2}-x_{4}x_{1}x_{1}&{\pmod {m}.\end{case}}}$

그₁² 뒤에_i w_i = z/m, w₂² + w₃² + w + w₄² + w = rp를 따르며, 이는 m의 최소성과 모순된다.

위의 하강에서 우리는 사례₁ y = y₃ = y₂ = y = y₄ = m/2(이 경우 r = m이 되고 하강이 없음)와₁ 사례₂₃ y = y = y = 0₄(이 경우 엄격히 양성이 아니라 r = 0이 됨)을 모두 배제해야 한다. 이 두 경우 모두 mp = x₁² + x₂² + x₃² + x가₄²² m의 배수임을 확인할 수 있으며, p가 m보다 큰 prime이라는 사실과 모순된다.

Hurwitz 쿼터니온은 정수 성분을 가진 모든 쿼터니온과 반정수 성분을 가진 쿼터니온으로 구성된다. 이 두 세트는 하나의 공식으로 결합될 수 있다.

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}E_{0}(1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} )+E_{1}\mathbf {i} +E_{2}\mathbf {j} +E_{3}\mathbf {k} =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}}\mathbf {k} }$

여기서 E ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$E ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 정수다$$. ${\displaystyle {따라서\mathrm{}}_{}}$ 쿼터니언 성분 $a{\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{a\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$3 ${\$은(는) $각각{\displaystyle {}_{}}$ E 0 ${\$이 짝수인지 아니면 홀수인지에 따라 모두 정수$$ 또는 반정수이다. 후르비츠 쿼터니온의 집합은 반지를 형성한다. 즉, 어떤 후르비츠 쿼터니온의 합이나 산출물도 마찬가지로 후르비츠 쿼터니온이다.

합리적인 쿼터니온 ${\$$displaystyle \mathrm {N}(\alpha$ )의 (산술 또는 필드) 표준 $N{\displaystyle \mathrm{}(\backslash }$$displaystyle \alpha })$은 음이 아닌 합리적 수이다.

${\displaystyle \mathrm{N}(\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}}}=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

where ${\displaystyle {\bar {\alpha }}=a_{0}-a_{1}\mathbf {i} -a_{2}\mathbf {j} -a_{3}\mathbf {k} }$ is the conjugate of ${\displaystyle \alpha }$. Note that the norm of a Hurwitz quaternion is always an integer. (If the coefficients are half-integers, then their squares are 형식 1 ${\displaystyle 4}$+ n${\displaystyle }$: ${\displaystyle n\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ Z ${\$in \$mathb$ {$Z}$의$$형식 중 e이며, 이러한 숫자 4개의 합은 정수)

쿼터니온 곱셈은 연관성이 있고, 실수는 다른 쿼터니온과 통용되기 때문에 쿼터니온 생산물의 규범은 규범의 산물과 같다.

${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha \beta )=\alpha \beta ({\overline {\alpha \beta }})=\alpha \beta {\bar {\beta }}{\bar {\alpha }}=\alpha \mathrm {N} (\beta ){\bar {\alpha }}=\alpha {\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\beta )=\mathrm {N} (\alpha )\mathrm {N} (\beta ).}$

For any ${\displaystyle \alpha \neq 0}$, ${\displaystyle \alpha ^{-1}={\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\alpha )^{-1}}$. It follows easily that ${\displaystyle \alpha }$ is a unit in the ring of Hurwitz quaternions if and only if ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=1}$$$.

주 정리의 증명은 소수 정수의 경우에 대한 축소로 시작된다. 오일러의 4제곱 아이덴티티는 랭랑주의 4제곱 정리가 2개의 숫자를 유지한다면, 두 개의 숫자의 곱을 유지한다는 것을 암시한다. 어떤 자연적인 숫자도 소수 권력에 반영될 수 있기 때문에 소수 정리를 증명하기에 충분하다. It is true for ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}}$. To show this for an odd prime integer p, represent it as a quaternion ${\displaystyle (p,0,0,0)}$ and assume for now (as we shall show later) that it is not a Hurwitz irreducible; that is, it can be factored into two 비단위 후르비츠 쿼터니온스

$\displaystyle p=\display \cHB \$

$p{\displaystyle }$ ,${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle$ p$,\alpha ,\beta}$의 규범은 다음과 같은 정수들이다$$.

${\displaystyle \mathrm {N}(p)=p^{2}=\mathrm {N}(\alpha \beta )=\mathrm {N}(\alpha )\mathrmatrm {N}(\beta )}$

and ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha ),\mathrm {N} (\beta )>1}$. This shows that both ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$ and ${\displaystyle \mathrm {N} (\beta )}$ are equal to p (since they are integers), and p is the sum of four squares

${\displaystyle p=\mathrm {N}(\alpha )=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}.}$

만일 선택한$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$이(가) 반정수 계수를 갖는다면 다른 허위츠 쿼터니온으로 대체할 수 있다. $\Omega {\displaystyle }$${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1\mathbf{}}$± ${\displaystyle i\mathbf{}}$± ${\displaystyle j\mathbf{}}$± $k$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \omega =(\pm 1\pm \mathbf {j}\pm$ \mathbf {pm \pm $\$$mathbf$${k} )/2}$$\pmatmathbf$ {k}을$$ 선택하여$$+$$에$$정수 $계수를 부여한다.$ 그러면

${\displaystyle p=({\bar {\bar}-{\bar {\bar {\omega}})\bar {\bar {\bar -}}({\bar {\bar}\omega -1)={\bar {\omega}\bar {\ba}\ba}\ba -1).}$

$\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$에는 정수 계수가 고른 만큼$$$({\displaystyle \mathrm{\Omega }\stackrel{}{}\omega }$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle({\bar {\omega }}}}\displaystyle$ \$alpha$$-1$)은 정수 계수를 가지며$$, 원래 $(\displaystyled$\alpha $})$ 대신 4제곱의 합으로 p를 나타낼$$ 수 있다.

p가 Hurwitz irreducable이 아니라는 것을 보여주는 것에 대해, 라그랑쥬는 어떤 홀수 p가 적어도 ${\displaystyle \mathrm{하나}}$의 $u{\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$+ l ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {m\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ 여기서 l와 m가 정수인 것을 증명했다.^[7] 이는$$ 다음과 같이 볼 수 있다:${\displaystyle p^{}}$가 ${\displaystyle {prime}^{}}$이기 때문에,$$${\displaystyle \pm }$ b$$(${\displaystyle \mathrm{모드}}$ ${\displaystyle p}$ $){\$$displaystyle$ a$^{2}\equiv b^{2}{\$$pmod{p$$displaystyle$ $a,b}$ 정수 a${\displaystyle ,}$ $b{\displaystyle }$$}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ $고정$할 수 $.$ 따라서 $세트{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$…${\displaystyle }$( (${\displaystyle p}$ -${\displaystyle 1}$) /${\displaystyle {}^{2\mathrm{}}}$ ) 2${\displaystyle {}^{}}$}$${\$displaystyle$ X$=\{0^{2},1^{2},\^{2$},\$dots,$ ($p-1)^{2}\}\}}$의 제곱은$$ $({\displaystyle \mathrm{p}}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystystyle (p+1)/$2}/$2}$개의 구별되는 잔류물을 p. 마찬가지로 $Y{\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$- (${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle Y=\{-(1+x):x\in X\}}$에는${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle (p+1)/2}$의 잔류물이$$ 포함되어$$ 있다. 총 p개의 잔류물만 있고, + = + 1> p ${\displaystyle$ X + Y $=p+1>p}$이(가) 있기 때문에, 집합 X와 Y는 교차해야 한다

u라는 숫자는 Hurwitz 쿼터에 반영될 수 있다.

${\displaystyle 1+l^{2}+m^{2}=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j})(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j}).}$

Hurwitz 쿼터니온에 대한 표준은 유클리드 속성 형식을 만족한다: 모든 쿼터니온 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle ={}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ + 1${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$ + ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$j + 3 ${\displaystyle {}_{}}$에 ${\displaystyle {}_{}}$ $\$}+1$}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j}+a}{3$합리적인 계수를 가진$$ $}\mathbf {k}$} 우리는 Hurwitz quaternion $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$+ b ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {j\mathrm{}}_{}}$+ b ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$ ${\$ {$j}$ +$b_{3$을 선택할 수 있다.}\mathbf{k}}도록 N(α − β)<1{\displaystyle \mathrm{N}(\alpha -\beta)< 1}1b0{\displaystyle b_{0}을 선택하여}도록 0− b0≤ 1/4{\displaystyle a_{0}-b_{0}\leq 1/4} 다음 b 1, b2, b3{\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3}}도록 i.−$b{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$ ${\$$displaystyle$ i=1, 2, 3 {\$displaystyle i=1,2,3}$에 대한$\leq$ 1/$2}$을(를) 얻는다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} (\alpha -\beta )&=(a_{0}-b_{0})^{2}+(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}\\&\leq \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {13}{16}}<1.\end{정렬}}}$

α,${\displaystyle \beta }$, β,$$\$displaystyle \alpha,\beta },$ $\alpha {\displaystyle }$ α ${\displaystyle 0}$0 ${\displaystyle \alpha \neq 0$의 모든 Hurwitz 쿼터니온 $\gamma {\displaystyle }${\$displaysty \gamma}$에 대해 다음과$$ 같은 후르비츠 쿼터니온이 있다.

${\displaystyle \mathrm {N}(\beta -\alpha \gamma )<\mathrm {N}(\alpha ).}$

후르비츠 쿼터니온스의 링 H는 교감적이지 않기 때문에 실제 유클리드 도메인이 아니며, 통상적인 의미에서는 고유한 요소화를 가지고 있지 않다. 그럼에도 불구하고 위의 속성은 모든 올바른 이상이 주체가 된다는 것을 내포하고 있다. 따라서$$ Hurwitz quaternion $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 있다.

${\displaystyle \alpha H=pH+(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H.}$

In particular, ${\displaystyle p=\alpha \beta }$ for some Hurwitz quaternion ${\displaystyle \beta }$. If ${\displaystyle \beta }$ were a unit, ${\displaystyle 1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} }$ would be a multiple of p, however this is impossible as ${\displaystyle 1/p-l/p\mathbf{i}-m/p\mathbf{j}}$${\displaystyle$1$/p-l/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j}}은($는) > 2 ${\displaystyle$ p$>2}$에 대한 Hurwitz 쿼터가 아니다$$ 마찬가지로 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이 하나의 단위였다면$$ 우리는 다음과 같은 결과를 얻었을 것이다.

${\displaystyle (1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )H=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )pH+(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H\subseteq pH}$

so p divides ${\displaystyle 1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} }$, which again contradicts the fact that ${\displaystyle 1/p-l/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j} }$ is not a Hurwitz quaternion. 따라서 p는 주장대로 허비츠가 설명할 수 없는 것이 아니다.