라그랑주의 4제곱 정리
Lagrange's four-square theorem바첼트의 추측이라고도 알려진 라그랑주의 4제곱 정리는 모든 자연수는 네 정수 제곱의 합으로 나타낼 수 있다고 명시하고 있다. 즉, 제곱은 순서 4의 가법적 기준을 형성한다.
여기서 4개의 숫자 a , a 2, 는 정수다. 그림의 경우, 3, 31 및 310은 다음과 같이 네 칸의 합으로 나타낼 수 있다.
이 정리는 1770년 조셉 루이스 라그랑에 의해 증명되었다. 페르마 폴리곤 수 정리의 특수한 경우다.
역사적 발전
산술관에 제시된 사례로 보아 디오판토스가 그 정리를 알고 있었음이 분명하다. 이 책은 1621년 바첼트(Claude Guffard Bachint de Méziriac)에 의해 라틴어로 번역되었는데, 바첼트(Claude Guffard Bachett de Méziriac)는 그의 번역의 주석에 정리를 기술하였다. 그러나 그 정리는 라그랑주에 의해 1770년이 되어서야 증명되었다.[1]
Adrien-Marie Legendre는 정수 k와 m에 대해 (+ )가아닌 경우에만 양의 정수를 3제곱의 합으로 표현할 수 있다는 것을 증명함으로써 1797–8년에 정리를 확장했다. 이후 1834년 칼 구스타프 야콥 자코비는 자신의 4제곱 정리를 가진 4제곱의 합으로 정수를 나타내는 간단한 공식을 발견했다.
이 공식은 데카르트의 4개의 '키싱원' 정리와도 연결되는데, 4개의 원의 곡선 사각형의 합을 포함한다. 이것은 또한 최근 라마누잔-과 더 관련이 있었던 아폴로니아 개스킷과도 관련이 있다.피터슨 추측.[2]
교정쇄
고전적인 교정쇄
라그랑주의 증거에 대한 아주 유사한 몇 가지 현대판들이[3][4][5] 존재한다. 아래의 증거는 약간 단순화된 버전으로, m이 짝수이거나 홀수인 경우 별도의 인수가 필요하지 않다.
고전적인 교정쇄 |
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홀수 p마다 정리를 증명하기에 충분하다. 이는 오일러의 4제곱정체(그리고 숫자 1과 2에 대한 정리가 사실이라는 사실에서 바로 뒤따른다. modulo2 p의 잔류물은 0과 (p - 1)/2 (포함) 사이의 a마다 구별된다. 이를 확인하려면 a를 몇 개 취하여 c를 mod2 p로 정의하십시오. a는 Z/pZ 필드 위에 있는 다항식2 x - c의 루트입니다. p - a(a와 다른)도 마찬가지다. 필드 K에서 도 n의 모든 다항식은 최대 n개의 구별되는 뿌리(라그랑주의 정리(숫자 이론))를 가지므로 이 속성을 가진 다른 a는 없으며, 특히 0 ~ (p - 1)/2 사이에 있지 않다. 마찬가지로 b가 0과 (p - 1)/2 사이의 적분 값(포함)을 갖는 경우 -b2 - 1은 구별된다. 비둘기 구멍 원리에 의해 이 범위에는 a와 b가 있는데, a와2 -b2 - 1은 합치되는 modulo p이고, 이 범위에는 a와 b가 있다. 이제 mp가 네 제곱의 합인 x12 + x + x22 + x3242 (이 속성을 가진 m(명칭 n)이 있으므로 최소 1 m가 있고 p보다 작다는 것을 방금 보여 주었다)와 같이 m가 가장 작은 양의 정수가 되게 하라. 우리는 모순을 통해 m이 1과 같다는 것을 보여준다: 만약 그것이 사실이 아니라면, 우리는 m보다 적은 양의 정수 r의 존재를 증명한다. rp는 또한 4개의 제곱의 합이다(이것은 페르마의 무한 강하법의[6] 정신에 있다). 이를 위해 동일한 잔류물 등급 modulo m에 있고 (–m + 1)/2와 m/2 사이에 있는 각 xi y를i 고려한다(아마도 포함). 이 값은 m보다 작은 일부의 엄격히 양의 정수 r에 대해 y12 + y22 + y32 + y42 + y = mr를 따른다. 마지막으로 오일러의 4제곱 아이덴티티에 대한 또 다른 어필은 mpmr = z12 + z22 + z + z32 + z를42 보여준다. 그러나 각 x가i 해당 y와i 일치한다는 사실은 모든 z가i m에 의해 분할된다는 것을 암시한다. 정말, 그12 뒤에i wi = z/m, w22 + w32 + w + w42 + w = rp를 따르며, 이는 m의 최소성과 모순된다. 위의 하강에서 우리는 사례1 y = y3 = y2 = y = y4 = m/2(이 경우 r = m이 되고 하강이 없음)와1 사례23 y = y = y = 04(이 경우 엄격히 양성이 아니라 r = 0이 됨)을 모두 배제해야 한다. 이 두 경우 모두 mp = x12 + x22 + x32 + x가422 m의 배수임을 확인할 수 있으며, p가 m보다 큰 prime이라는 사실과 모순된다. |
Hurwitz 정수를 사용한 증거
정리를 증명하는 또 다른 방법은 쿼터니언에 대한 정수의 유사점인 허위츠 쿼터니언에 의존한다.[7]
Hurwitz 정수를 사용한 증거 |
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Hurwitz 쿼터니온은 정수 성분을 가진 모든 쿼터니온과 반정수 성분을 가진 쿼터니온으로 구성된다. 이 두 세트는 하나의 공식으로 결합될 수 있다. 여기서 E ,E , 는 정수다. 쿼터니언 성분 0 , ,3 은(는) E 0 이 짝수인지 아니면 홀수인지에 따라 모두 정수 또는 반정수이다. 후르비츠 쿼터니온의 집합은 반지를 형성한다. 즉, 어떤 후르비츠 쿼터니온의 합이나 산출물도 마찬가지로 후르비츠 쿼터니온이다. 합리적인 쿼터니온 )의 (산술 또는 필드) 표준 은 음이 아닌 합리적 수이다. where is the conjugate of . Note that the norm of a Hurwitz quaternion is always an integer. (If the coefficients are half-integers, then their squares are 형식 1 + n: Z in \ {의형식 중 e이며, 이러한 숫자 4개의 합은 정수) 쿼터니온 곱셈은 연관성이 있고, 실수는 다른 쿼터니온과 통용되기 때문에 쿼터니온 생산물의 규범은 규범의 산물과 같다. For any , . It follows easily that is a unit in the ring of Hurwitz quaternions if and only if . 주 정리의 증명은 소수 정수의 경우에 대한 축소로 시작된다. 오일러의 4제곱 아이덴티티는 랭랑주의 4제곱 정리가 2개의 숫자를 유지한다면, 두 개의 숫자의 곱을 유지한다는 것을 암시한다. 어떤 자연적인 숫자도 소수 권력에 반영될 수 있기 때문에 소수 정리를 증명하기에 충분하다. It is true for . To show this for an odd prime integer p, represent it as a quaternion and assume for now (as we shall show later) that it is not a Hurwitz irreducible; that is, it can be factored into two 비단위 후르비츠 쿼터니온스 ,, p의 규범은 다음과 같은 정수들이다. and . This shows that both and are equal to p (since they are integers), and p is the sum of four squares 만일 선택한 이(가) 반정수 계수를 갖는다면 다른 허위츠 쿼터니온으로 대체할 수 있다. =(± ± ± ± )/ \mathbf {pm \pm {k}을 선택하여+에정수 그러면 에는 정수 계수가 고른 만큼- 1) \)은 정수 계수를 가지며, 원래 \alpha 대신 4제곱의 합으로 p를 나타낼 수 있다. p가 Hurwitz irreducable이 아니라는 것을 보여주는 것에 대해, 라그랑쥬는 어떤 홀수 p가 적어도 의 = 1+ l + 2 여기서 l와 m가 정수인 것을 증명했다.[7] 이는 다음과 같이 볼 수 있다:가 이기 때문에, b( a 정수 a 에 할 수 따라서 X={ , …( ( -) / ) 2}{\ X},\ (의 제곱은 + 1)/ 2}/개의 구별되는 잔류물을 p. 마찬가지로 ={- (+ ): X 에는(+ )/ 의 잔류물이 포함되어 있다. 총 p개의 잔류물만 있고, + = + 1> p X + Y 이(가) 있기 때문에, 집합 X와 Y는 교차해야 한다 u라는 숫자는 Hurwitz 쿼터에 반영될 수 있다. Hurwitz 쿼터니온에 대한 표준은 유클리드 속성 형식을 만족한다: 모든 쿼터니온 + 1 + j + 3 에 }+1합리적인 계수를 가진 } 우리는 Hurwitz quaternion = 0+ 1 + b + b { +을 선택할 수 있다.}\mathbf{k}}도록 N(α − β)<1{\displaystyle \mathrm{N}(\alpha -\beta)< 1}1b0{\displaystyle b_{0}을 선택하여}도록 0− b0≤ 1/4{\displaystyle a_{0}-b_{0}\leq 1/4} 다음 b 1, b2, b3{\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3}}도록 i.− = ,, i=1, 2, 3 {\에 대한 1/을(를) 얻는다 α,, β,\ α 0 의 모든 Hurwitz 쿼터니온 {\에 대해 다음과 같은 후르비츠 쿼터니온이 있다. 후르비츠 쿼터니온스의 링 H는 교감적이지 않기 때문에 실제 유클리드 도메인이 아니며, 통상적인 의미에서는 고유한 요소화를 가지고 있지 않다. 그럼에도 불구하고 위의 속성은 모든 올바른 이상이 주체가 된다는 것을 내포하고 있다. 따라서 Hurwitz quaternion 이(가) 있다. In particular, for some Hurwitz quaternion . If were a unit, would be a multiple of p, however this is impossible as 1는) > 2 p에 대한 Hurwitz 쿼터가 아니다 마찬가지로 이 하나의 단위였다면 우리는 다음과 같은 결과를 얻었을 것이다. so p divides , which again contradicts the fact that is not a Hurwitz quaternion. 따라서 p는 주장대로 허비츠가 설명할 수 없는 것이 아니다. |
일반화
라그랑주의 4제곱 정리는 페르마 다곤수 정리 및 워링의 문제에서 특별한 경우다. 또 다른 가능한 일반화는 다음과 같은 문제다. 자연수 을(를) 지정하면 우리가 해결할 수 있다
, ,x 4 의 모든 양의 정수 ? 사례 = = c= = }은는) 라그랑주의 4제곱 정리에 의해 양성으로 대답된다. 일반적인 해결책은 라마누잔에 의해 주어졌다.[8] He proved that if we assume, without loss of generality, that then there are exactly 54 possible choices for such that the problem is solvable in integers for 모두 n. (Ramanujan은 = 1 b = 2 = d = ,d을(를) 열거했지만, 이 n = {\n=이면 문제를 해결할 수 없다.)[9]
알고리즘
1986년 마이클 O. 라빈과 제프리 샬릿은[10] 단일 n= x + + x 2+ x }을 계산하기 위한 임의화된 다항식 시간 알고리즘을 제안했다. for a given integer n, in expected running time . It was further improved to by Paul Pollack and Enrique Treviño in 2018.[11]
표현 수
4개의 제곱의 합으로 자연수 n을 나타내는 횟수는 r4(n)으로 표시된다. 자코비의 4제곱 정리에서는 이것이 n이 홀수일 경우 n의 8배, 짝수일 경우 n의 홀수분할의 24배라고 한다(즉, divisor 함수 참조).
동등하게, 그것은 4로 나누어지지 않는 그것의 모든 점의 합계의 8배이다.
우리는 또한 이것을 다음과 같이 쓸지도 모른다.
여기서 n은 4로 분할되지 않을 경우 두 번째 항을 0으로 간주한다. 특히 소수 p의 경우 명시적 공식 r4(p) = 8(p + 1)이 있다.[12]
r4(n)의 일부 값은 n이 짝수일 때마다 r4(n) = r(2n4m)으로 무한히 자주 발생한다. r4(n)/n 값은 임의로 클 수 있다. 실제로 r4(n)/n은 8 8log n보다 무한히 큰 경우가 많다.[12]
유니크함
네 개의 제곱합(순서에 따라 최대)으로 하나의 표현만을 갖는 양의 정수의 순서는 다음과 같다.
- 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 8, 11, 14, 15, 23, 23, 32, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 … (OEIS의 경우 순서 A006431).
이 정수는 7개의 홀수 1, 3, 5, 7, 11, 15, 23과 ( ), 6 ( k) 6 ( k ) 또는 14( k) }{k 형식의 모든 숫자로 구성된다
네 개의 0이 아닌 제곱의 합으로 나타낼 수 없는 양의 정수의 순서는 다음과 같다.
- 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 11, 14, 17, 24, 29, 32, 41, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 … (OEIS에서 순서 A000534).
이 정수는 8개의 홀수 1, 3, 5, 9 11, 17, 29, 41과 (4 ), 6 ( ) 2 6 ( ) 또는 ( 4 k )로
한층 더 정교화
라그랑주의 4제곱 정리는 다양한 방법으로 다듬을 수 있다. 예를 들어, Zhi-Wei Sun은[13] 각각의 자연수가 이 네 개의 숫자의 선택에 대한 일부 요건과 함께 네 개의 제곱의 합으로 쓰여질 수 있다는 것을 증명했다.
또한 네 개의 정수의 합으로 각 정수를 자연적으로 쓰는 데 전체 정수를 사용할 필요가 있는지 궁금할 수도 있다. 위르싱은 보다 작거나 같은 모든 양의 정수를 S의 최대 4개 원소의 합으로 기록할 수 있도록 S=/ / 4 log n 가 S 이 존재함을 증명했다.[14]
참고 항목
메모들
- ^ 아일랜드 & 로젠 1990.
- ^ 사르나크 2013.
- ^ Landau 1958, 이론 166부터 169까지.
- ^ 하디 & 라이트 2008, 정리 369.
- ^ 니븐 & 주커만 1960, 항목 5.7항.
- ^ 여기서 그 주장은 모순에 의한 직접적인 증거다. m > 2, m < p는 mp가 4제곱의 합(필수적으로 가장 작은 것은 아님)인 어떤 정수라는 초기 가정과 함께, 그 주장을 수정하여 페르마의 정신에서 무한 강하 논거가 될 수 있었다.
- ^ a b 스틸웰 2003, 페이지 138-157.
- ^ 라마누잔 1917.
- ^ 오 2000년.
- ^ 라빈 & 살릿 1986.
- ^ 폴락 & 트레비뇨 2018.
- ^ a b 윌리엄스 2011, 페이지 119.
- ^ Z.W. Sun 2017 1월
- ^ 스펜서 1996.
참조
- Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. Heath-Brown, D. R.; Silverman, J. H.; Wiles, Andrew (eds.). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8.
- Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd ed.). Springer. doi:10.1007/978-1-4757-2103-4. ISBN 978-1-4419-3094-1.
- Landau, Edmund (1958) [1927]. Elementary Number Theory. Vol. 125. Translated by Goodman, Jacob E. (2nd ed.). AMS Chelsea Publishing.
- Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S. (1960). An introduction to the theory of numbers. Wiley.
- Oh, Byeong-Kweon (2000). "Representations of Binary Forms by Quinary Quadratic Forms" (PDF). Trends in Mathematics. 3 (1): 102–107.
- Rabin, M. O.; Shallit, J. O. (1986). "Randomized Algorithms in Number Theory". Communications on Pure and Applied Mathematics. 39 (S1): S239–S256. doi:10.1002/cpa.3160390713.
- Ramanujan, S. (1917). "On the expression of a number in the form ax2 + by2 + cz2 + dw2". Proc. Camb. Phil. Soc. 19: 11–21.
- Sarnak, Peter (2013). "The Ramanujan Conjecture and some Diophantine Equations" (Lecture at Tata Institute of Fundamental Research). ICTS Lecture Series. Bangalore, India.
- Stillwell, John (2003). Elements of Number Theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-0-387-21735-2. ISBN 978-0-387-95587-2. Zbl 1112.11002.
- Sun, Z.-W. (2017). "Refining Lagrange's four-square theorem". J. Number Theory. 175: 167–190. arXiv:1604.06723. doi:10.1016/j.jnt.2016.11.008. S2CID 119597024.
- Williams, Kenneth S. (2011). Number theory in the spirit of Liouville. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 76. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-17562-3. Zbl 1227.11002.
- Spencer, Joel (1996). "Four Squares with Few Squares". Number Theory: New York Seminar 1991–1995. Springer US. pp. 295–297. doi:10.1007/978-1-4612-2418-1_22. ISBN 9780387948263.
- Pollack, P.; Treviño, E. (2018). "Finding the four squares in Lagrange's theorem" (PDF). Integers. 18A: A15.