파랄레피프

Parallelepiped
파랄레피프
Parallelepiped
유형 프리즘
플레시오헤드론
얼굴 6개의 평행사변형
가장자리 12
정점 8
대칭군 Ci, [2+,2+], (×), 주문 2
특성. 볼록한 조노헤드론

기하학에서 병렬형(Parallelelepiped)은 6개의 병렬형(romboid라는 용어는 때때로 이 의미와 함께 사용된다)에 의해 형성된 3차원 형상이다. 유추에 의해 입방체정사각형과 관계되는 것처럼 평행사변형과 관련된다. 유클리드 기하학에서는 3차원의 평행입방체, 2차원의 평방형, 평방형 등 4개 개념이 정의되지만, 각도가 분화되지 않는 보다 일반적인 아핀 기하학의 맥락에서 평행사변형평행사변형만이 존재한다. 병렬 처리된 세 가지 등가 정의는

직사각형 큐빅(직사각형 면 6개), 입방체(사각형 면 6개), 회전면(롬버스 면 6개)은 모두 평행한 특정한 경우다.

"Parallelepiped" is now usually pronounced /ˌpærəlɛlɪˈpɪpɛd/, /ˌpærəlɛlɪˈppɛd/, or /-pɪd/; traditionally it was /ˌpærəlɛlˈɛpɪpɛd/ PARR-ə-lel-EP-i-ped[1] in accordance with its etymology in Greek παραλληλεπίπεδον parallelepipedon, a body "having parallel planes".

Parallelelepeds는 프리즘토이드의 하위급이다.

특성.

평행면의 세 쌍 중 어느 한 쌍이라도 프리즘의 기본면으로 볼 수 있다. 평행한 가장자리에는 4개의 평행 가장자리가 3세트 있다. 각 세트 내의 가장자리는 길이가 같다.

Parallelelepeds는 입방체선형 변환에서 발생한다(비감속 사례: 바이어스 선형 변환).

각각의 얼굴은 점 대칭을 가지고 있기 때문에, 평행한 것은 조노헤드론이다. 또한 전체 평행선에는 점 대칭 Ci 있다(삼색체도 참조). 각각의 얼굴은 바깥에서 볼 수 있는 반대편 얼굴의 거울상이다. 얼굴들은 일반적으로 치랄이지만, 평행선인 것은 아니다.

공간을 채우는 테셀레이션은 병렬 처리된 모든 합성 사본으로 가능하다.

볼륨

Parallelelepiped, 3개의 벡터에 의해 생성됨

병렬 프리즘은 평행사변형을 베이스로 하는 사선 프리즘으로 간주할 수 있다. 따라서 병렬 처리된 볼륨 은(는) 기본 영역 및 높이 의 산물이다(도표 참조). 와 함께

(where is the angle between vectors and
= c cos \cdot 여기서 \theta은 벡터 base} 사이의 각도)를 얻음).

벡터 3개를 섞은 제품을 트리플 제품이라고 한다. 그것은 결정요인에 의해 설명될 수 있다. Hence for the volume is:

(V1) .

) 또 다른 입증방법은 () c 에서 스칼라 하는 것이다 결과는 다음과 같다.

볼륨의 대체 표현은 기하학적 특성(앵글 및 에지 길이)만 사용한다.

(V2) ,

where and are the edge lengths.

(V2) 증명

(V2) 증명에는 결정 인자의 특성도트 제품의 기하학적 해석이 사용된다.

열은 벡터 , → ,c위의 참조)로 한다 그렇다면 다음과 같은 것이 사실이다.

(첫 번째 행에 걸쳐 위의 결정 요인 포함)


(The last steps use )

해당 사면체

병렬 처리된 세 개의 수렴 가장자리를 공유하는 사면체의 부피는 병렬 처리된 부피의 6분의 1과 같다(증거 참조).

표면적

평행 평행선의 표면적은 경계 평행도그램의 면적의 합이다.

( + b + c ) \sin )\

(레이블링의 경우: 이전 섹션을 참조하십시오.)

대칭에 의한 특례

Full octahedral group; subgroups Hasse diagram; inversion.svg
역방향 중심과의 팔면 대칭 부분군 관계
Special cases of parallelepiped.svg
평행우주의 특별한 경우
형태 큐브 사각 큐보이드 삼각 사다리꼴 직사각형 큐빅 우롬비크 프리즘 우측 평행사변형 프리즘 사선 롬빅 프리즘
제약






대칭 Oh
주문 48
D4h
16을 주문하다
D3d
12를 주문하다
D2h
8번 주문하다
C2h
주문4
이미지 Cubic.svg Tetragonal.svg Rhombohedral.svg Orthorhombic.svg Rhombic prism.svg Monoclinic2.svg Clinorhombic prism.svg
얼굴 6제곱 정사각형 2개,
직사각형 4개
6롬비 직사각형 6개 직사각형 4개,
롬비 2마리
직사각형 4개,
평행그램 2개
롬비 2마리,
4개의 평행사변형
  • Oh 대칭과 평행한 대칭은 정육면체라고 알려져 있는데, 정육면체에는 6개의 응축된 사각면이 있다.
  • D4h 대칭과 평행한 형태는 사각형의 입체체로 알려져 있는데, 사각형의 두 면과 네 개의 합체 직사각형 면을 가지고 있다.
  • D3d 대칭과 평행한 사다리꼴은 3각형 사다리꼴로 알려져 있는데, 이 사다리꼴은 6개의 응집성 롬브체면(이등면 림보헤드론이라고도 한다)을 가지고 있다.
  • D2h 대칭이 있는 Paralleleleped의 경우 다음과 같은 두 가지 경우가 있다.
    • 직사각형 큐빅: 6개의 직사각형 면(평행형 직사각형 또는 때로는 단순히 큐보이드라고도 함)을 가지고 있다.
    • 우측 롬브릭 프리즘: 그것은 두 개의 롬브릭 면과 네 개의 합체 직사각형 면을 가지고 있다.
참고: 2개의 롬브릭 면과 4개의 합체 사각 면= ){\(a을 가진 완전 롬브릭 특수 케이스는 이름이 같으며 대칭 그룹(D2h , 순서 8)이 동일하다.
  • C2h 대칭이 있는 Paralleleleped의 경우 다음과 같은 두 가지 경우가 있다.
    • 오른쪽 평행사변형 프리즘: 그것은 네 개의 직사각형 면과 두 개의 평행사변형 면을 가지고 있다.
    • 비스듬한 롬빅 프리즘: 그것은 두 개의 롬브릭 얼굴을 가지고 있는 반면, 다른 면들 중 두 개의 인접한 면은 동일하고 다른 두 개의 면 역시 동일하다(두 쌍은 서로의 거울상이다).

완벽한 평행선

완벽한 평행선은 정수 길이 가장자리, 면 대각선, 공간 대각선으로 평행하게 된 것이다. 2009년에는 리차드 가이(Richard Guy)의 공개 질문에 [2]답하면서 수십 개의 완벽한 평행선 동물이 존재하는 것으로 나타났다. 한 예로는 가장자리 271, 106, 103이 있으며, 작은 얼굴 대각선 101, 266, 255가 있으며, 주요 얼굴 대각선 183, 312, 323이 있으며, 우주 대각선 374, 300, 278, 272가 있다.

두 개의 직사각형 얼굴을 가진 완벽한 평행선 종은 알려져 있다. 그러나 모든 면의 직사각형이 존재하는지 여부는 알려지지 않았다. 그러한 경우는 완벽한 입체형이라고 불릴 것이다.

폴라로토프

콕시터는 더 높은 차원의 평행선 일반화를 평행선이라고 불렀다. 현대 문학 표현에서 평행한 표현은 더 높은(또는 임의의 유한) 차원에서도 종종 사용된다.[3]

특히 n차원 공간에서는 n차원 평행로토프, 또는 단순히 n-병렬로토프(n-병렬 pipeed)라고 부른다. 따라서 평행사변형은 2-병행형이고 평행사변형은 3-병행형이다.

보다 일반적으로 평행선,[4]보로노이 평행선은 평행하고 서로 반대되는 면을 가지고 있다. 그래서 2-병렬은 특정 육각형도 포함할 수 있는 평행고온이며, 3-병렬형은 5종의 다면체를 포함한 평행고온이다.

n-병렬로경의 대각선은 한 지점에서 교차하며 이 점에 의해 이등분된다. 이 점에서 반전하면 n-병렬로는 변하지 않는다. 유클리드 공간에 있는 등위계 그룹의 고정된 지점도 참조하십시오.

k-병렬로대의 한 꼭지점에서 방사되는 가장자리는 벡터 공간의 k-프레임 ,, ) 을 형성하며, 0과 1 사이의 중량으로 벡터의 선형 조합을 취함으로써 이들 벡터로부터 병렬로토프를 복구할 수 있다.

에 포함된 n-병렬로도의 Gram 결정 인자를 사용하여 계산할 수 있다. 또는 용량은 벡터의 외부 제품의 표준이다.

m = n이면, 는 n 벡터의 결정인자의 절대값에 해당한다.

n + 1 정점 0 , {R}R P의 볼륨을 계산하는 또 다른 공식은 과 같다

여기서[ 은(는) (와) 1의 결합에 의해 형성된 행 벡터다. 실제로[ 0 를) [ 1 i > 0)에서 빼서마지막 에 [ 0 1{\ [0}\을 배치하면 결정요인은 변경된다.

마찬가지로, 병렬로토프의 n 수렴 가장자리를 공유하는 n-심플렉스 볼륨은 해당 병렬로토프 볼륨의 1/n!과 동일한 볼륨을 가진다.

사전 편찬

이 단어는 헨리 빌링슬리 경이 1570년에 쓴 유클리드 원소번역한 작품에서 평행입피돈으로 등장한다. 1644년 판 그의 필서스 수학에서 피에르 헤리곤평행피페디움 철자를 사용했다. 옥스퍼드 영어 사전월터 찰턴의 안다 지간툼 (1663년)에 처음 등장하는 현재의 평행선을 인용하고 있다.

찰스 허튼의 사전(1795)은 병렬과 병렬로피폰을 보여주는데, 마치 두 번째 원소가 에피폰이 아닌 피페돈인 것처럼 결합 형태의 영향을 병렬로 보여준다. 노아 웹스터 (1806)는 병렬로 입력된 철자를 포함한다. 1989년판 옥스퍼드 영어사전에서는 paralopiped(및 paralleliped)를 잘못된 형식으로 명시적으로 기술하고 있으나, 이것들은 2004년판에서는 논평 없이 나열되어 있으며, 5음절 pi(/paɪ/)를 강조한 발음만 주어진다.

전통적인 발음과 다른 변화는 그리스 뿌리에 의해 제안된 다른 칸막이를 감추고 있는데, 에피-("온")와 페돈("그라운드")이 결합하여 평평한 "평면"을 주었다. 따라서 평행육면체의 얼굴은 평면이며, 반대면은 평행이다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 옥스퍼드 영어사전 1904; 웹스터 제2회 국제사전 1947
  2. ^ Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. (2011). "Perfect Parallelepipeds Exist". Mathematics of Computation. 80: 1037–1040. arXiv:0907.0220. doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7..
  3. ^ 모건, C. L. (1974년) 유클리드 공간에 메트릭 공간 포함. 지오메트리 저널, 5(1), 101–190. https://doi.org/10.1007/bf01954540
  4. ^ "Properties of parallelotopes equivalent to Voronoi's conjecture".

참조

  • Coxeter, H. S. M. 일반 폴리토페스, 3번지. 뉴욕: 도버, 페이지 122, 1973. (는 평행사변형을 평행사변형의 일반화로 정의하고 n-dimens로 평행사변형을 평행사변형으로 정의한다.)

외부 링크