입체 투영법

기하학에서 입체 투영은 구를 평면에 투영하는 특정한 매핑(기능)이다. 투영은 하나의 점, 즉 투영점을 제외한 전체 구체에 정의된다. 그것이 정의된 곳에서는 맵핑이 매끄럽고 비굴하다. 그것은 곡선이 만나는 각도를 보존한다는 의미인 등각이다. 등축도 면적 보존도 아니다. 즉, 거리도 수치 영역도 보존하지 않는다.

그렇다면 직관적으로 입체 투영법은 구를 평면처럼 상상하는 방식인데, 어떤 불가피한 타협이 있다. 구체와 평면은 수학의 많은 영역과 그 응용분야에 나타나기 때문에 입체영사 역시 그러하다; 복잡한 분석, 지도, 지질학, 사진 등 다양한 분야에서 쓰임을 발견한다. 실제로 투영법은 컴퓨터나 손으로 스테레오넷이라고 불리는 특별한 종류의 그래프 종이를 이용하여 스테레오넷 또는 울프넷으로 단축하여 시행한다.

역사

입체 투영법은 히파르쿠스, 프톨레마이오스, 그리고 아마도 이집트인들에게 더 일찍 알려져 있었다. 그것은 원래 평면도영으로 알려져 있었다.^[1] 프톨레마이오스의 Planisphaerium은 그것을 설명하는 가장 오래된 문서다. 그것의 가장 중요한 용도 중 하나는 천체도의 표현이었다.^[1] planisphere라는 용어는 여전히 그러한 차트를 가리키는 데 사용된다.

16~17세기에는 동서반구 지도에 입체 투영법의 적도면이 보편적으로 사용되었다. 이미 1507년에 구알테리우스 루드가^[2] 만든 지도는 나중에 장 로제(1542년), 루몰드 메르카토르(1595년) 등의 지도와 마찬가지로 입체 투영에 있었던 것으로 생각된다.^[3] 항성 차트에서, 이 적도 측면조차도 프톨레마이오스와 같은 고대 천문학자들에 의해 이미 활용되었다.^[4]

프랑수아 다길론은 그의 1613년 작품인 옵티오룸리브리 성철학(Six Books of Optics, Six Books of Opticals, Six Books of Optics, Six Books, Six Books of Opticals as all the maticians)에서 이 입체 투영법에 현재의 이름을 붙였다.^[5]

1695년 에드몽 핼리는 스타 차트에 대한 관심에서 동기부여를 받아 이 지도가 일치한다는 최초의 수학적 증거를 발표했다.^[6] 그는 그의 친구 아이작 뉴턴에 의해 발명된 최근에 확립된 미적분학 도구를 사용했다.

정의

제1제식

3차원 공간 R의³ 단위 구 S는² x² + y²² + z = 1과 같은 점(x, y, z)의 집합이다. N = (0, 0, 1)을 "북극"으로 하고, M을 구의 나머지 부분으로 한다. 평면 z = 0은 구의 중심을 통과하며, "등분자"는 이 평면과 구의 교차점이다.

M의 어떤 점 P에 대해서도 N과 P를 통과하는 고유한 선이 있으며, 이 선은 정확히 하나의 점 P에서 평면 z = 0과 교차한다. P의 입체 투영을 평면에서 이 점 P′이 되도록 정의한다.

구체의 데카르트 좌표(x, y, z)와 평면의 (X, Y)에서 투영과 그 역은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\begin}(X,Y)&=\좌측({\frac {x}{1-z},{1-z}\\(x,y,z)\\\좌측({\frac {2X}{1+X^{2+}+})Y^{2}}:},{\frac {2Y}{1+X^{2}++Y^{2}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}:{1+X^{2}+Y^{2}}:}\오른쪽).\end{정렬}}}$

구체의 구형 좌표( (, θ)와 평면상의 극좌표(R, θ)는 정점각, 0 are φ ≤ ≤ ≤ ≤ π, 0 2 θ 2 2 2 2)에서 투영과 그 역은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {\sin \varphi }{1-\cos \varphi }},\theta \right)=\left(\cot {\frac {\varphi }{2}},\theta \right),\\(\varphi ,\theta )&=\left(2\arctan {\frac {1}{R}},\Theta \right).\end{정렬}}}$

여기서 φ은 R = 0일 때 값 π을 갖는 것으로 이해되며, 삼각적 정체성을 이용하여 이러한 공식을 다시 쓰는 방법도 많다. 구의 원통형 좌표(r, θ, z)와 평면상의 극좌표(R, θ, z)에서 투영과 그 역은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {r}{1-z}},\theta \right),\\(r,\theta ,z)&=\left({\frac {2R}{1+R^{2}}},\Theta ,{\frac {R^{2}-1}{R^{2}+1}}\right).\end{정렬}}}$

기타 규약관

일부 저자는^[7] 북극(0, 0, 1)에서 남극의 단위 구체(0, 0, -1)에 접하는 z = -1 면으로 입체 투영을 정의한다. 이 투영에 의해 생성된 X와 Y 값은 앞의 절에서 설명한 적도 투영에 의해 생성된 값의 정확히 두 배이다. 예를 들어, 이 투영법은 적도를 원점을 중심으로 반지름 2의 원으로 보낸다. 적도 투영은 적도를 따라 극소수 면적 왜곡을 일으키지 않지만, 이 극-접선 투영은 대신 남극에서 극소수 면적 왜곡을 일으키지 않는다.

다른 authors[8].sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .sfrac .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output 반경 .mw-parser-output의 범위를 사용한다. .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/2고 비행기는 z−1/2. 이 경우 공식이 된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y,z)\rightarrow (\xi ,\eta )&=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right),\\(\xi ,\eta )\rightarrow (x,y,z)&=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right).\end{정렬}}}$

일반적으로 구면의 어느 점 Q에서 어떤 평면 E로 입체 투영을 정의할 수 있다.

• E는 직경에서 Q까지의 직각이며,
• E는 Q를 포함하지 않는다.

E가 이러한 조건을 만족하는 한, Q가 아닌 다른 지점 P의 경우, P와 Q를 통과하는 라인은 정확히 한 지점에서 E를 충족하며, 이는 E에 대한 P의 입체 투영으로 정의된다.^[9]

일반화

보다 일반적으로 (n + 1)차원 유클리드 공간 E에서ⁿ⁺¹ 단위 n-sphere S에ⁿ 입체 투영을 적용할 수 있다. Q가 E에서ⁿ⁺¹ 하이퍼플레인 S와ⁿ E의 점인 경우, 점 P sⁿ S - {Q}의 입체 투영은 선 QP와 E의 교차점 P′이다. S의ⁿ 데카르트 좌표(x_i, i 0 ~ n)와 E의 데카르트 좌표(X_i, i 1 ~ n)에서 Q = (1, 0, ..., 0)∈ S의ⁿ 투영은 다음과 같다.

${\displaystyle X_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle X\frac{{}_{}}{}}$ i ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$- ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}$ 0${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$(${\displaystyle \text{1}}$ ~ ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle X_{i}={\frac {x_{0}}}\quad(i${{{\text${{{1}부터 }n)}$$.$

정의

${\displaystyle s^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{j}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}^{}}$ j ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$- ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\$+x_${0}}}{0-x_{0$

역은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle x_{0}={\frac {s^{2}-1}{s^{2}+1}}\quad {\text{and}}\quad x_{i}={\frac {2X_{i}}{s^{2}+1}}\quad (i{\text{ from }}1{\text{ to }}n)}$.

보다 일반적으로는 투사 공간 P에서 S가ⁿ⁺¹ (논수) 4중 과부면이라고 가정해 보자. 즉, S는 동질 좌표_i x에 있는 비음속 2차 형식 f(x₀, ..., x_n+1)의 0의 위치. Q를 포함하지 않는 S에는 임의의 점 Q를, P에는ⁿ⁺¹ 하이퍼플레인 E를 고정한다. 그 다음 S - {Q}에서 점 P의 입체 투영법은 QP와 E의 교차점 고유점이다. 이전과 같이, 입체 투영은 "작은" 세트 밖에서 일정하며, 변환할 수 없다. 입체 투영법은 사방 초외면을 합리적인 초외면으로 제시한다.^[10] 이 구조는 대수 기하학 및 등호 기하학에서 역할을 한다.

특성.

앞 절에서 정의한 첫 번째 입체 투영법은 단위 구의 "남극"(0, 0, -1)을 (0, 0), 적도를 단위 원으로, 남반구는 원 내부 지역으로, 북반구는 원 외부 지역으로 보낸다.

투영은 투영점 N = (0, 0, 1)에서 정의되지 않는다. 이 지점의 작은 주변은 (0, 0)에서 멀리 떨어진 비행기의 하위 집합으로 보내진다. P가 (0, 0, 1)에 가까울수록 그 이미지는 (0, 0)에서 더 멀리 떨어져 있다. 이 때문에 (0, 0, 1)을 평면의 "인피니티"에 대한 매핑으로, 구를 무한에 점을 추가하여 평면을 완성하는 것으로 말하는 것이 일반적이다. 이 개념은 투영적 기하학 및 복잡한 분석에서 효용을 찾는다. 단지 위상학적 수준에서 구가 평면의 원점 압축에 대해 어떻게 동형성이 있는지 보여준다.

카르테시안에서는 구면의 점 P(x, y, z)와 평면상의 이미지 P(X, Y)가 모두 합리적인 점이거나 다음 중 어느 것도 아니다.

${\displaystyle P\in \mathb {Q} ^{3}\iff P'\in \mathb {Q} ^2}}$

입체 투영은 등각형이며, 곡선이 서로 교차하는 각도를 보존한다는 것을 의미한다(그림 참조). 반면에 입체 투영은 면적을 보존하지 않는다. 일반적으로 구면 영역의 면적이 면에 투영된 면과 같지 않다. 면적 요소는 (X, Y) 좌표로 주어진다.

${\displaystyle dA={\frac {4}{(1+X^{2})+Y^{2}^{2}}\;dX\;dY}$

X² + Y² = 1인 단위 원을 따라 한계에 면적 팽창이 없어 척도계수가 1이 된다. 근방(0, 0) 영역은 4배수로 팽창하고, 근방 무한 영역은 임의의 작은 요소에 의해 팽창한다.

미터법은 (X, Y) 좌표로 주어진다.

${\displaystyle {\frac {4}{(1+X^{2}+)+Y^{2}^{2}}\;(dX^{2}+d)Y^{2}),}$

그리고 1854년 괴팅겐에서 전해진 베른하르트 리만의 하빌레네슈프트에서 발견된 독특한 공식으로, '위베르 다이의 가설(Uber die Revisionen welche der Geometrie zu Grunde ligen)'이라는 제목이다.

구체에서 평면까지의 어떤 지도도 등거리 및 면적 보존이 될 수 없다. 만약 그렇다면, 그것은 국부 등위계일 것이고 가우스 곡면성을 보존할 것이다. 구와 평면은 가우스 곡선이 다르기 때문에 이것은 불가능하다.

투영점을 통과하지 않는 구상의 원은 평면에서 원형으로 투영된다. 투영 지점을 통과하는 구체의 원은 평면의 직선에 투영된다. 이 선들은 때로 무한의 점, 즉 무한 반경의 원을 통과하는 원으로 생각되기도 한다.

평면 내의 모든 선은 입체 투영의 역에 의해 구체 위에서 원으로 변환될 때 투영 지점에서 만난다. 평면에서 교차하지 않는 평행선은 투영점에서 접하는 원으로 변환된다. 교차선은 구의 두 지점에서 횡단적으로 교차하는 원형으로 변형되는데, 그 중 하나가 투영점이다.(실제 투영면에 대해 비슷한 말이 있지만, 교차로 관계는 거기서 다르다.)

폼의 평면에서 곡선을 그리도록 구면 맵의 록소드롬

$R=e^{\displaystyle R=e^{\세타 /a},\,}$

여기서 매개변수는 록소드롬의 "긴밀도"를 측정한다. 따라서 록소드롬은 로그 나선형에 해당한다. 이들 나선은 로크소드롬이 구상의 경혈과 동일한 각도로 교차하는 것처럼 평면에서 방사선을 같은 각도로 교차한다.

입체 투영법은 단순한 방법으로 평면 역방향과 관련된다. P와 Q를 구에 투영 P′과 Q′가 평면에 두 점으로 한다. 그 다음 P′과 Q′는 적도면에서 P와 Q가 서로 반사되어 있는 경우에만 적도 원의 영상에서 서로 반전된 영상이다.

즉, 다음과 같은 경우:

• P는 구의 점이지만, '북극' N은 아니며, 그 반대인 '남극' S는 아니다.
• P′는 투영점 N과 투영점 N이 있는 입체 투영에서 P는 투영점 N과
• P″는 투영점 S가 있는 입체 투영에서 P의 영상이다.

그러면 P then과 P″은 단위 원 안에 있는 서로 반전된 이미지들이다.

$\displaystyle \triangle NOP^{\premy}\sim \triangle P^{\premy \premy \OS\implies OP^{\premy }:ON=OS:OP^{\premy \premy \premy \implies OP^{\premy }\cdot OP^{\premy \premy \premy \premy }=r^{2}}$

울프 그물

스테레오 투영 플롯은 위에 주어진 명시적 공식을 사용하여 컴퓨터가 수행할 수 있다. 그러나 손으로 그래프를 그리기 위해서는 이러한 공식들이 다루기 어렵다. 대신, 업무를 위해 특별히 고안된 그래프 용지를 사용하는 것이 일반적이다. 이 특별한 그래프 종이는 러시아의 광물학자 조지(유리 빅토로비치) 울프의 이름을 따서 스테레오넷 또는 울프넷이라고 한다.^[11]

여기에 나타난 울프 그물은 적도(행성의 동반구나 서반구 등)의 한 지점에서 중심이 되는 반구의 평행선과 경맥 격자의 입체 투영법이다.

그림에서 입체 투영의 영역 구분 특성은 망의 중심 부근에 있는 격자 부문을 오른쪽 끝이나 왼쪽 끝에 있는 것과 비교해 보면 알 수 있다. 그 두 부문은 구체에서 동일한 면적을 가지고 있다. 디스크에서 후자의 면적이 전자의 4배 가까이 된다. 그리드를 더 미세하게 만들면 이 비율은 정확히 4에 근접한다.

울프망에서는 평행과 경맥의 영상이 직각으로 교차한다. 이 직교성 특성은 입체 투영의 각도 보존 특성의 결과물이다. (단, 각도 보존 특성은 이 속성보다 강하다. 평행과 경맥의 직교성을 보존하는 모든 투영이 각도 보존은 아니다.)

Wulff 넷의 사용 예를 들어, 얇은 종이에 그것의 두 복사본이 다른 한 복사본 위에 있고, 그들의 상호 중심에서 정렬되고 고정되어 있다고 상상해보라. P는 구면 좌표가 (140°, 60°)이고 데카르트 좌표가 (0.321, 0.557, -0.766)인 하부 단위 반구의 지점이 되도록 한다. 이 점은 양의 x축(또는 양의 y축에서 시계방향으로 30°)에서 60° 방향의 선과 수평면 z = 0의 50° 아래에 위치한다. 이 각도가 알려지면 P:

1. 여기 그림에서 10° 간격으로 떨어져 있는 격자선을 사용하여 지점(1, 0)에서 시계 반대 방향으로 60°(또는 지점(0, 1)에서 시계 방향으로 30°)인 지점을 네트 가장자리에 표시한다.
2. 이 점이 하단 네트의 (1, 0)과 정렬될 때까지 상단 그물을 회전시킨다.
3. 하단 네트의 격자선을 사용하여 해당 지점에서 중앙을 향해 50°인 점을 표시한다.
4. 상단 망을 이전 방향과 반대 방향으로 회전시켜 하단 망과 다시 정렬되도록 하십시오. 3단계에서 표시한 점은 우리가 원하는 투영이다.

각도가 60°와 50°와 같은 둥근 숫자가 아닌 다른 점을 표시하려면 가장 가까운 격자선 사이에 시각적으로 보간해야 한다. 간격을 10° 이상으로 촘촘히 한 그물이 있으면 도움이 된다. 2°의 스페이싱은 흔하다.

입체 그림에 기초하여 구체에서 두 점 사이의 중심 각도를 찾으려면 그림 위에 그림 위에 겹쳐 놓고 두 점이 자오선 위 또는 근처에 놓일 때까지 중앙을 중심으로 그림을 회전시키십시오. 그런 다음 자오선을 따라 격자선을 세어 그들 사이의 각도를 측정한다.

• 

  두 점 P와₁ P는₂ 울프 망의 원점에 부착된 투명한 시트에 그려진다.

• 

  투명 시트는 회전하고 중심 각도는 공통 자오선을 따라 P와₁ P 지점까지₂ 읽힌다.

수학 내 지원

복합분석

어떤 입체 투영도 구체(투영점)에서 한 점을 놓치지만, 구별되는 투영점에서 두 개의 투영을 사용하여 전체 구를 매핑할 수 있다. 즉 구체는 평면으로부터 두 개의 입체 파라메트리제이션(투영의 반전)으로 덮을 수 있다. 파라메트리제이션은 구에서 동일한 방향을 유도하기 위해 선택할 수 있다. 그들은 함께 구를 지향적인 표면(또는 2차원 다지관)으로 묘사한다.

이 구조는 복잡한 분석에서 특별한 의미를 갖는다. 실제 평면의 점(X, Y)은 복합수 number = X + iY로 식별할 수 있다. 북극에서 적도면으로의 입체 투영법은 그때에 이루어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &={\frac {x+iy}{1-z}},\\\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname {Re} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {2\operatorname {Im} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {-1+{\bar {\zeta }}\zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }}\right).\end{정렬}}}$

마찬가지로, = = X - iY를 다른 복잡한 좌표인 함수가 되게 한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\frac {x-iy}{1+z}},\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname {Re} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {-2\operatorname {Im} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {1-{\bar {\xi }}\xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }}\right)\end{aligned}}}$

남극에서 적도면으로의 입체 투영을 정의한다. 그러면 then-과 coord 좌표 사이의 전이 지도가 ζ = 1/4과 ξ = 1/3이 되고, ζ은 infinity이 무한대로 가면서 0에 가까워지며, 그 반대도 된다. 이것은 복잡한 숫자에 대한 우아하고 유용한 무한대의 개념을 촉진하고, 실제로 리만 구에 매핑되는 영형함수의 전체 이론을 촉진한다. 단위 영역의 표준 메트릭스는 리만 영역의 푸비니-스터디 메트릭과 일치한다.

선과 평면의 시각화

3차원 공간에서 기원을 통과하는 모든 선들의 집합은 실제 투영면이라고 불리는 공간을 형성한다. 이 평면은 3차원 공간에 내장할 수 없기 때문에 시각화하기가 어렵다.

그러나 다음과 같이 디스크로 시각화할 수 있다. 원점을 통과하는 어떤 선은 한 점에서 남반구 z 0 0을 교차하며, XY 평면의 디스크의 한 점에 입체적으로 투영될 수 있다. 원점을 통과하는 수평선은 적도를 따라 두 개의 대척점에 남반구를 교차하며, 원반구의 경계까지 돌출한다. 두 개의 투사점 중 하나는 디스크의 일부로 간주될 수 있다. 적도의 항정신병 점은 3개의 공간에 하나의 선과 투사된 디스크의 경계에 있는 하나의 점을 나타낸다고 이해된다(지분 위상 참조). 그래서 원점을 통과하는 선들의 집합은 투영된 원반에서 점들의 집합으로 그려질 수 있다. 그러나 경계점은 어느 하나라도 디스크의 반대편에 있는 내부 지점과 동시에 가깝다는 점에서 일반 2차원 디스크의 경계 지점과 다르게 작용한다(원점을 통과하는 거의 수평선 두 개가 디스크의 반대편에 있는 점을 투영할 수 있는 것처럼).

또한 기원을 통과하는 모든 평면은 평면의 흔적이라 불리는 큰 원을 그리며 단위 구를 교차한다. 이 원은 입체 투영 아래 원에 지도되어 있다. 그래서 그 투영법은 우리가 평면을 원형의 호로 디스크에서 시각화할 수 있게 해준다. 컴퓨터가 이용되기 전에, 원형이 큰 입체 투영에는 빔 나침반을 사용해야 하는 큰 반지름 호를 그리는 일이 종종 있었다. 이제 컴퓨터는 이 작업을 훨씬 더 쉽게 만든다.

각 평면과 더 관련이 있는 것은 평면의 극이라고 불리는 독특한 선으로, 원점을 통과하고 평면에 수직이다. 이 선은 원점을 통과하는 어떤 선이 할 수 있는 것처럼 디스크에 점으로 표시할 수 있다. 그래서 입체 투영법은 또한 평면을 디스크의 점으로 시각화할 수 있게 해준다. 많은 평면과 관련된 플롯의 경우, 극을 플롯하는 것은 그들의 흔적을 플롯하는 것보다 덜 가려진 그림을 만든다.

이 구조는 아래와 같이 결정학 및 지질학에서 방향 데이터를 시각화하는 데 사용된다.

기타 시각화

입체 투영법은 폴리토페스의 시각화에도 적용된다. 슐레겔 도표에서, R의ⁿ⁺¹ n차원 폴리토프는 n차원 구체에 투영되고, 그 다음ⁿ R에 입체적으로 투영된다. R에서ⁿ⁺¹ R로ⁿ 감소하면 폴리토프를 시각화하고 이해하기 쉽게 만들 수 있다.

산술 기하학

기초 산술 기하학에서 단위 원의 입체 투영법은 모든 원시 피타고라스 삼쌍을 기술하는 수단을 제공한다. 구체적으로는 북극(0,1)에서 x축으로 입체 투영하면 단위 원(y 1 1)의 합리적 숫자점(x, y)과 x축의 합리적 점 사이에 일대일 대응성을 부여한다. (m/n, 0)이 x축의 합리적인 점이라면, 역 스테레오 투영법은 점이다.

${\displaystyle \left\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}:{m^{2}+n^{2}}}}\오른쪽)}$

피타고라스에 대한 유클리드 공식은 3배야

접선 반각 치환

삼각 함수 쌍(sin x, cos x)은 단위 원을 파라메트리하는 것으로 생각할 수 있다. 입체 투영은 단위 원의 대체 파라메트리지를 제공한다.

${\displaystyle \cos x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1},\properties \sin x={\frac {2t}{t^{2}+1}.}$

이 재포장 하에서 단위 원의 길이 요소 dx는 다음과 같이 넘어간다.

${\displaystyle dx={\frac {2\,dt}{t^{2}+1}.}$

이 대체는 때때로 삼각함수와 관련된 통합을 단순화할 수 있다.

다른 분야에 대한 적용

카토그래피

지도술의 근본적인 문제는 구체에서 평면까지의 어떤 지도도 각도와 면적을 모두 정확하게 나타낼 수 없다는 점이다. 일반적으로 통계적 용도의 경우 영역 보존 지도 투영을 선호하고, 항법의 경우 각도 보존(적합한) 지도 투영을 선호한다.

입체 투영은 두 번째 범주에 속한다. 돌출부가 지구의 북극 또는 남극에 중심일 때, 그것은 추가적인 바람직한 성질을 가진다. 기원에서 나오는 광선에 경혈을 보내고, 기원을 중심으로 원을 그리며 평행선을 보낸다.

• 

  30°S 북쪽 세계의 입체 투영. 15° 눈금.

• 

  티소트의 변형을 나타내는 스테레오 투영법.

행성 과학

스테레오그래프는 구상의 모든 원을 평면에서 원을 그리도록 지도하는 유일한 투영법이다. 이 특성은 크레이터가 전형적인 특징인 행성 지도 제작에서 중요하다. 투영 지점을 통과하는 원들의 집합은 한이 없는 반경을 가지고 있으며, 따라서 선으로 변질된다.

결정학

결정학에서 3차원 공간에서의 결정축과 면의 방향은 중심 기하학적 관심사인데, 예를 들어 X선과 전자 회절 패턴의 해석에서 그렇다. 이러한 방향은 위의 선과 평면의 시각화 절에서와 같이 시각화할 수 있다. 즉 수정면에 대한 결정축과 극과 극은 북반구와 교차한 다음 입체 투영을 사용하여 플롯한다. 극의 줄거리는 극의 형상이라고 불린다.

전자 회절에서 키쿠치 선 쌍은 격자 평면 트레이스와 에발트 구체의 교차점을 장식하는 밴드로 나타나 크리스탈의 입체 투영에 대한 실험적 접근을 제공한다. 모델 키쿠치 지도는 상호 공간,^[12] 프린지 가시성 지도는 직접 공간의 굽힘 윤곽과 함께 사용하기 때문에 전송 전자현미경에 결정체가 있는 방향 공간을 탐색하는 로드맵의 역할을 한다.^[13]

지질학

구조 지질학의 연구자들은 여러 가지 이유로 평면과 선의 방향에 대해 관심을 갖고 있다. 암석의 엽은 평면적인 특징으로, 종종 선이라고 불리는 선형적인 특징을 포함하고 있다. 마찬가지로, 단층 평면은 플리치네이드와 같은 선형 특징을 포함할 수 있는 평면 형상이다.

다양한 척도에서 선과 평면의 이러한 방향은 위의 선과 평면의 시각화 방법을 사용하여 표시할 수 있다. 결정학에서와 같이, 평면은 전형적으로 극에 의해 구성된다. 결정학과는 달리 (문제의 지질학적 특성이 지구 표면 아래에 있기 때문에) 북반구 대신 남반구를 사용한다. 이러한 맥락에서 입체 투영을 흔히 동각 하부 hemisphere 투영이라고 한다. 램버트 방위각 동일 면적 투영에 의해 정의된 동일 면적 하위 반향 투영법도 사용되며, 특히 플롯이 밀도 등고선과 같은 후속 통계 분석을 받게 되는 경우 더욱 그러하다.

사진

일부 피쉬아이 렌즈는 입체 투영을 사용하여 광각도를 캡처한다.^[14] 동일한 면적 투영을 사용하는 기존의 더 많은 피쉬아이 렌즈에 비해 가장자리에 가까운 영역은 형태를 유지하고 직선은 곡선미가 떨어진다. 그러나 스테레오그래픽 피쉬아이 렌즈는 일반적으로 제작비가 더 비싸다.^[15] Panotools와 같은 이미지 리마핑 소프트웨어는 동일한 면적 피쉬아이에서 입체 투영으로 사진을 자동 리마핑할 수 있다.

스테레오 투영법은 1779년 호레이스 베네딕트 드 사우수르를 시작으로 구형 파노라마를 매핑하는 데 사용되었다. 이것은 작은 행성(투영 중심이 나디르일 때)과 관(투영 중심이 정점일 때)으로 알려진 효과를 낳는다.^[16]

다른 방위각 투영보다 입체 투영을 사용하여 파노라마를 매핑하는 것이 인기 있는 것은 투영의 일치성에서 비롯되는 형상 보존 때문이다.^[16]

참고 항목

• 지도 투영 목록
• 아스트롤라베
• 천문시계
• 쌍곡면의 유사 매핑인 푸앵카레 디스크 모델
• 카토그래피에서 입체 투영

참조

원천

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Stereographic projection". MathWorld.
• PlanetMath에 대한 입체 투영법
• 절단-코트의 입체 투영 및 반전
• DoITPoMS 교육 및 학습 패키지 - " 입체 투영"

비디오

• 입체 투영에 대한 증거 구를 원형으로 회전하여 평면에서 원형으로 회전
• 비메오에서의 시간 경과 입체 투영

소프트웨어

• 스테레오 투영을 위한 무료 오픈 소스 파이썬 프로그램 - PTCLab
• Sphaerica 소프트웨어는 입체 투영에 구형 구조를 표시할 수 있다.
• 3차원 자바 애플릿

미니플래닛 파노라마스

• 영국의 대부분인 미니 플래닛 파노라마의 예
• 체코 공화국의 대부분인 미니 플래닛 파노라마의 예
• 폴란드의 대부분인 미니 플래닛 파노라마의 예