콕시터 원소

수학에서 콕시터 수 h는 콕시터 그룹의 콕시터 원소의 순서다.그것은 H.S.M. Coxeter의 이름을 따서 지어졌다.^[1]

정의들

이 문서는 유한 Coxeter 그룹을 가정한다는 점에 유의하십시오.무한 콕시터 그룹의 경우, 콕시터 원소의 복수 결합 클래스가 존재하며, 무한한 질서를 가지고 있다.

수정 불가능한 뿌리 시스템의 Coxeter number h를 정의하는 방법에는 여러 가지가 있다.

Coxeter 요소는 모든 단순한 반사의 산물이다.제품은 복용 순서에 따라 다르지만 순서가 다른 조합 원소를 생산하는데, 순서가 같다.

Coxeter 번호는 모든 Coxeter 요소의 순서다.
Coxeter 번호는 2m/n이고 여기서 n은 순위, m은 반사의 수입니다.결정학적 사례에서 m은 뿌리의 절반이며, 2m+n은 해당 semisimple Lie 대수학의 치수다.
단순근 α에_i 대해 가장 높은 루트가 σmα일 경우 Coxeter 숫자는 1 + σm이다._i
Coxeter 수는 다항식들에 작용하는 Coxeter 그룹의 기본 불변성의 가장 높은 수준이다.

각 Dynkin 유형에 대한 Coxeter 번호는 다음 표에 제시되어 있다.

콕시터군		콕시터 도표를 만들다	딘킨 도표를 만들다	반사 m=nh/2^[2]	콕시터 수 h	이중 콕시터 수	기본 불변성의 정도
A을_n	[3,3...,3]	...	...	n(n+1)/2	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B_n	[4,3...,3]	...	...	n²	2n	2n − 1	2, 4, 6, ..., 2n
C_n	[4,3...,3]	...	...	n²	2n	n + 1	2, 4, 6, ..., 2n
D_n	[3,3,..3^1,1]	...	...	n(n-1)	2n − 2	2n − 2	n; 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E₆	[3^2,2,1]			36	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E₇	[3^3,2,1]			63	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E₈	[3^4,2,1]			120	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F₄	[3,4,3]			24	12	9	2, 6, 8, 12
G₂	[6]			6	6	4	2, 6
H₃	[5,3]		-	15	10		2, 6, 10
H₄	[5,3,3]		-	60	30		2, 12, 20, 30
아이₂(p)	[p]		-	p	p		2, p

다항식들에 작용하는 Coxeter 그룹의 불변량은 다항식 대수를 형성하는데, 그 발전기는 기본적인 불변량이다. 그 수준은 위의 표에 제시되어 있다.m이 기본 불변성의 정도라면 h + 2 - m도 마찬가지라는 점에 유의하십시오.

Coxeter 요소의 고유값은 m이 기본 불변성의 정도를 통과함에 따라 e의^{2πi(m − 1)/h} 숫자다.이것은 m = 2로 시작되기 때문에, 아래 콕시터_h 평면에서 중요한 = = e의^2πi/h 원시적인 단결의 h번째 근원을 포함한다.

단체순번

Coxeter 그룹의 순서 g와 Coxeter 번호 h:^[3]

[p]: 2h/g_p = 1
[p,q]: 8/g_p,q = 2/p + 2/q -1
[p,q,r]: 64h/g_p,q,r = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r
[p,q,r,s]: 16/g_p,q,r,s = 8/g_p,q,r + 8/g_q,r,s + 2/(ps) - 1/p - 1/p - 1/q - 1/r - 1/s +1
...

예를 들어 [3,5]는 h=30을 가지므로 64*30/g = 12 - 3 - 6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15 = 2/15이므로 g = 1920*15/2 = 960*15 = 14400이다.

콕시터 원소

구별되는 Coxeter 요소는 Coxeter 다이어그램의 방향(즉, Dynkin quivers)에 대응한다. 소스 정점에 해당하는 단순 반사는 먼저 쓰고, 다운스트림 정점은 나중에 쓰고, 싱크는 마지막에 한다. (비인접 정점들 사이의 순서 선택은 통근 반사에 해당하므로 무관하다.)특별한 선택은 교대 방향이며, 간단한 반사가 두 세트의 비인접 정점 세트로 분할되고, 모든 가장자리가 첫 번째 세트에서 두 번째 세트까지 방향을 맞춘다.^[4]교대 방향은 $w^{h/2}=w_{0}$ / 2 = $w^{h/2}=w_{0}$ 0 ${\$ 을 만족하는 특수 Coxeter 요소를 생성하며 $w^{h/2}=w_{0}$ 여기서 w는₀ Coxeter number h가 짝수인 경우 가장 긴 원소다.

For $A_{n-1}\cong S_{n}$ , the symmetric group on n elements, Coxeter elements are certain n-cycles: the product of simple reflections $(1,2)(2,3)\cdots (n{-}1\,n)$ is the Coxeter element ${\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)$ $(1,2,3,\dots ,n)$ ^[5] n의 짝수인 경우, 교대 방향 Coxeter 요소는 다음과 같다.

(1,2)(3,4)\cdots(2,3)\cdots(2,4,6)\cdots =(2,4,6,4,6,\ldots,n{-}2,n,n{-}1,n-}3,\ldots ,5,3,1)).

$(n{-}1)!$ - $(n{-}1)!$ ) $(n{-}1)!$ ! $(n{-}1)!$ n $2^{n-2}$ $(n{-}1)!$ 중에는 2n - $2^{n-2}$ ${\$ 개의 $2^{n-2}$ 고유 Coxeter 요소가 있다.

다이헤드 그룹 Dih는_p $2\pi /2p$ $2\pi /2p$ / $2$ p의 각도를 형성하는 두 개의 반사에 의해 생성되며 $2\pi /2p$ 따라서 두 개의 Coxeter 요소는 $\pm 2\pi /p$ ± $\pm 2\pi /p$ $\pm 2\pi /p$ / $\pm 2\pi /p$ $\pm 2\pi /p$ 에 의한 회전인 두 가지 순서의 제품이다 $\pm 2\pi /p$

콕시터 평면

30배 대칭을 보이는 Coxeter 평면에 E 루트₈ 시스템의 투영.

주어진 Coxeter 요소 w의 경우, w가 2㎛/h씩 회전하여 작용하는 고유한 평면 P가 있다.이를 Coxeter 평면이라고^[6] 하며 P가 고유값 e와^2πi/h e^−2πi/h = e를^{2πi(h−1)/h} 갖는 평면이다.^[7]이 비행기는 (Coxeter 1948)에서 처음 체계적으로 연구되었고,^[8] 이후 (Steinberg 1959)에서 Coxeter 요소의 특성에 대한 균일한 증거를 제공하기 위해 사용되었다.^[8]

Coxeter 평면은 고차원 폴리토페와 루트 시스템의 도표를 그리는 데 종종 사용된다 – 폴리토페의 정점과 가장자리 또는 루트(그리고 이들을 연결하는 일부 가장자리)는 H-폴드 회전 대칭을 가진 Petrie 폴리곤을 생산하면서 Coxeter 평면에 직교 투영된다.^[9]루트 시스템의 경우, 루트 맵이 0에 해당하지 않으며, 이는 루트나 축을 고정하지 않는 Coxeter 요소에 해당하므로(유전값 1 또는 -1은 없음) w 아래 궤도의 투영이 h-폴드 원형 배열로^[9] 형성되며, 위 오른쪽의₈ E 다이어그램에서와 같이 빈 중심이 있다.폴리탑의 경우, 아래 그림과 같이 꼭지점이 0에 매핑될 수 있다.Platonic 고형물에 대한 Coxeter 평면의 투영은 아래에 설명되어 있다.

3차원에서는 3개 반사의 복합체로 정의된 하나의 방향 Petrie polygon이 표시된 일반 다면체 {p,q}의 대칭은 로토인버전 대칭 S_h, [2⁺,h⁺], 순서 h를 갖는다.거울을 추가하면 대칭이 2배로 증가하여 항균 대칭인_hd D, [2⁺,h], 순서 2h로 된다.직교 2D 투영에서 이것은 2면 대칭, Dih_h, [h], 순서 2h가 된다.

콕시터군	A을₃ T_d	B₃ O_h		H₃ I_h
정규 다면체	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
대칭	S₄, [2⁺,4⁺], (2×) D_2d, [2⁺,4], (2*2)	S₆, [2⁺,6⁺], (3×) D_3d, [2⁺,6], (2*3)		S₁₀, [2⁺,10⁺], (5×) D_5d, [2⁺,10], (2*5)
콕시터 평면 대칭	Dih₄, [4], (*4•)	Dih₆, [6], (*6•)		Dih₁₀, [10], (*10•)
4배, 6배, 10배의 대칭을 보이는 플라토닉 고형물의 페트리 폴리곤.

4차원에서 하나의 방향 Petrie polygon이 표시된 일반 폴리초론 {p,q,r}의 대칭은 대칭 +/[¹_hC_h×C_h](^[10]John_2h H. Conway), (#1, Patrick₁_2h du Val (1964₁))^[11] 순서 h로 4개의 반사의 복합체로 정의되는 이중 회전이다.

콕시터군	A을₄	B₄		F₄	H₄
정규 폴리초론	{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
대칭	+¹/₅[C₅×C₅]	+¹/₈[C₈×C₈]		+¹/₁₂[C₁₂×C₁₂]	+¹/₃₀[C₃₀×C₃₀]
콕시터 평면 대칭	Dih₅, [5], (*5•)	Dih₈, [8], (*8•)		Dih₁₂, [12], (*12•)	Dih₃₀, [30], (*30•)
5배, 8배, 12배, 30배의 대칭을 보이는 일반 4D 고형물의 Petrie polygon.

5차원에서는 페트리 폴리곤(Petrie polygon)이 표시된 일반 5폴리토프 {p,q,r,s}의 대칭은 5개의 반사의 합성어로 표현된다.

콕시터군	A을₅	B₅		D₅
정규 폴리테론	{3,3,3,3}	{3,3,3,4}	{4,3,3,3}	h{4,3,3}
콕시터 평면 대칭	Dih₆, [6], (*6•)	Dih₁₀, [10], (*10•)		Dih₈, [8], (*8•)

치수 6~8에는 3개의 예외적인 Coxeter 그룹이 있다; 각 치수에서 하나의 균일한 폴리토프는 예외적인 Lie 그룹 E의_n 뿌리를 나타낸다.Coxeter 요소는 각각 12, 18, 30이다.

E그룹_n

콕시터군	E6	E7	E8
그래프	1₂₂	2₃₁	4₂₁
콕시터 평면 대칭	Dih₁₂, [12], (*12•)	Dih₁₈, [18], (*18•)	Dih₃₀, [30], (*30•)

참고 항목

Coxeter 그룹에서 가장 긴 요소

메모들

^ Coxeter, Harold Scott Macdonald; Chandler Davis; Erlich W. Ellers (2006), The Coxeter Legacy: Reflections and Projections, AMS Bookstore, p. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1
^ Coxeter, 일반 폴리토페스, §12.6 반사수, 방정식 12.61
^ 일반다각류, 페이지 233
^ 조지 루스틱, 비르카우저 양자그룹 소개(2010)
^ (Humphreys 1992, 페이지 75)
^ Coxeter Planes 2018-02-10 Wayback Machine 및 More Coxeter Planes 2017-08-21 Wayback Machine John Stembridge에 보관된 Coxeter Planes 2018-02-10
^ (Humphreys 1992, 섹션 3.17, "면에서의 행동", 페이지 76–78)
^ ^a ^b (2010, 페이지 2)
^ ^a ^b (시스템브리지 2007)
^ 2003년 Quaternions와 Octonion에서는 John Horton Conway와 Derek A.스미스 ISBN 978-1-56881-134-5
^ Patrick Du Val, Homographies, Quaternions and Rotations, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, 1964.

참조

Coxeter, H. S. M. (1948), Regular Polytopes, Methuen and Co.
Steinberg, R. (June 1959), "Finite Reflection Groups", Transactions of the American Mathematical Society, 91 (3): 493–504, doi:10.1090/S0002-9947-1959-0106428-2, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993261
힐러, 콕시터 그룹의 하워드 기하학수학 연구노트, 54.피트먼(고급 출판 프로그램), 보스턴, 미사.-런던, 1982년.iv+213 페이지ISBN 0-273-08517-4
Humphreys, James E. (1992), Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge University Press, pp. 74–76 (Section 3.16, Coxeter Elements), ISBN 978-0-521-43613-7
Stembridge, John (April 9, 2007), Coxeter Planes, archived from the original on February 10, 2018, retrieved April 21, 2010
Stekolshchik, R. (2008), Notes on Coxeter Transformations and the McKay Correspondence, Springer Monographs in Mathematics, arXiv:math/0510216, doi:10.1007/978-3-540-77399-3, ISBN 978-3-540-77398-6, S2CID 117958873
Reading, Nathan (2010), "Noncrossing Partitions, Clusters and the Coxeter Plane", Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B63b: 32
베른슈테인, I. N.; 젤리팬드, I. M.; 포노마레프, V.A., "콕세터 펑커스와 가브리엘의 정리"(러시아어), 우세키 매트. Nauk 28 (1973년), 2번 (170년), 19–33년.번스타인의 웹사이트에서 번역.

[1] Coxeter, Harold Scott Macdonald; Chandler Davis; Erlich W. Ellers (2006), The Coxeter Legacy: Reflections and Projections, AMS Bookstore, p. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1

[2] Coxeter, 일반 폴리토페스, §12.6 반사수, 방정식 12.61

[3] 일반다각류, 페이지 233

[4] 조지 루스틱, 비르카우저 양자그룹 소개(2010)

[5] (Humphreys 1992, 페이지 75)

[6] Coxeter Planes 2018-02-10 Wayback Machine 및 More Coxeter Planes 2017-08-21 Wayback Machine John Stembridge에 보관된 Coxeter Planes 2018-02-10

[7] (Humphreys 1992, 섹션 3.17, "면에서의 행동", 페이지 76–78)

[readp2-8] (2010, 페이지 2)

[stem2007-9] (시스템브리지 2007)

[10] 2003년 Quaternions와 Octonion에서는 John Horton Conway와 Derek A.스미스 ISBN 978-1-56881-134-5

[11] Patrick Du Val, Homographies, Quaternions and Rotations, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, 1964.

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