치랄성(수학)

여기 발자국은 순결을 보여 준다. 개별적인 좌우 발자국은 개별적으로 거울 대칭이 없는 상태에서 거울의 이미지이기 때문에 평면에서 치랄 에나토모르프(chiral enantiomorphes)이다.

기하학에서 어떤 형상은 그것의 거울 이미지와 동일하지 않으면 치랄(그리고 치랄성을 가지고 있다고 말함), 더 정확히 말하면 회전과 번역만으로 그것의 거울 이미지에 매핑될 수 없는 경우 이다. 치랄이 아닌 물체는 치랄이라고 한다.

치랄 물체와 그 거울 이미지는 반동형이라고 한다. chirality라는 단어는 그리스어 χ word handρ(cheir), 손, 가장 친숙한 치랄 물체에서 유래되었다. anantiomphorph는 그리스어 ἐἐααίίοςςςς(enantios) 'oposite' + μορφφφήήή(모프)'에서 유래되었다.

예

좌·우 3차원의 규칙

테트로미노스 S와 Z는 2차원 반동형이다.

S	Z

나선과 같은 일부 치랄 3차원 물체에는 오른손 법칙에 따라 오른손이나 왼손잡이가 배정될 수 있다.

다른 많은 친숙한 물체들은 장갑과 신발과 같이 인체의 같은 치랄 대칭을 보인다. 오른쪽 신발은 서로 거울에 비친 이미지로만 왼쪽 신발과 다르다. 반대로 얇은 장갑을 뒤집어 입을 수 있다면 치랄로 간주되지 않을 수 있다.^{[citation needed]}

인기 있는 비디오 게임 테트리스의 J, L, S, Z자형 테트로미노도 치례성을 나타내지만 2차원 공간에서만 나타난다. 개별적으로 그들은 평면 내에 거울 대칭성을 포함하지 않는다.

치랄성과 대칭군

대칭 그룹에 적어도 하나의 방향 역전 등고도가 포함된 경우에만 수치가 아키랄이다.(유클리드 기하학에서 모든 등고도는 직교 $행렬$ A $A$ 및 $벡터$ b $b$ 과 $v\mapsto Av+b$ ( $v\mapsto Av+b$ $A$ ) 함께 $v\mapsto Av+b$ $v\mapsto Av+b$ A $v\mapsto Av+b$ + b ${\displaystytyle B}$ 로 기록할 수 있다 $b$ $그러면$ A $A$ 의 결정 요인은 1 또는 -1이다 $A$ . 만약 그것이 -1이라면 등위계는 방향반복이고, 그렇지 않으면 방향보존이다.

집단 이론에 기초한 치례성의 일반적인 정의가 존재한다.^[1] 그것은 어떤 방향 개념도 언급하지 않는다: 등위계는 등위계의 사각형 산물인 경우 그리고 그렇지 않은 경우 간접 등위계다. 그 결과의 치랄성 정의는 스팩타임에 작동한다.^[2]

3차원의 치례성

치랄 주사위 쌍(반동형)

3차원, 대칭 S1대칭 S2의 반전 중심의 거울 비행기, 또는 더 높은 부적절한 회전(rotoreflection)symmetry[3]의 Sn축 경상체를 갖지 않는. 있다.을 보유하고 있고 모든 수치에서(afigureofeightF{F\displaystyle}의 대칭 평면은 비행기 P{P\displaystyle}, F{F\displaystyle}고정시킨다. 아래 $P$ $P$ 을 $(x,y,z)\mapsto (x,y,-z)$ 를) $x$ 의 x $x$ - y ${\$ displaystyle y $}$ - $y$ {\ $displaystyle$ y} - 평면으로 $y$ 선택한 $P$ 경우 매핑 $(x,y,z)\mapsto (x,y,-z)$ $(x,y,z)\mapsto (x,y,-z)$ - $(x,y,z)\mapsto (x,y,-z)$ ) ${\displaystystyle (x,y,$ z $)}).$ A center of symmetry of a figure $F$ is a point $C$ , such that $F$ is invariant under the mapping $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ , when $C$ is chosen to be the origin of the coordinate system.) 그러나 대칭의 중심과 평면이 모두 결여된 아치랄 형상이 있다는 점에 유의한다. 그 예가 바로 그림이다.

F_{0}=\left\{(1,0,0), (-0, 1,0,0), (-0,-1,0), (2,1,1,-1)(-2,-1), (1,2,-1)\right\}}

방향 반전 등위계 $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ , y $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ , $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ ) $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ ( $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ - $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ , x $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ , $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ - $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ ) $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ 및 따라서 $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ 아키랄은 평면도 중심도 대칭 중심도 없다. 인물

F_{1}=\left\{(1,0,0), (0,0,0), (0,2,0), (1,1,1)\right\}

또한 기원은 대칭의 중심이지만 대칭의 평면이 부족하기 때문에 아키랄이다.

아치랄 수치는 중심축을 가질 수 있다.

2차원의 치랄성

가운데 색목걸이는 2차원의 치랄이며, 나머지 2차원의 치랄이다.
이것은 테이블 위의 물리적 목걸이로서 왼쪽과 오른쪽 목걸이가 테이블 위에 남아 있는 동안 거울의 이미지로 회전할 수 있다는 것을 의미한다. 그러나 중간에 있는 것을 주워 3차원으로 돌려야 할 것이다.

스칼린 삼각형에는 거울 대칭이 없으므로 2차원 치랄 폴리토프(Chiral Polytope)이다.

2차원에서 대칭의 축을 가진 모든 형상은 아치랄이며, 모든 경계된 아치랄 형상은 대칭의 축을 가지고 있어야 함을 보여줄 수 있다.( $그림$ F ${\displaystyle$ F}의 대칭 $L$ 은 L $L$ 이며 $F$ $L$ $F$ ${\displaysty F}$ 은 지도 $(x,y)\mapsto (x,-y)$ , y $(x,y)\mapsto (x,-y)$ ) $(x,y)\mapsto (x,-y)$ 아래에 불변형이다 $F$ . $(x,y)\mapsto (x,-y)$ $(x,y)\mapsto (x,-y)$ , $(x,y)\mapsto (x,-y)$ - y $(x,y)\mapsto (x,-y)$ ) ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y)},$ $L$ $L$ 을 $L$ (를) 좌표계의 $x$ $x$ - 축으로 $x$ 선택한 경우 $(x,y)\mapsto (x,-y)$ 그 때문에 삼각형은 등각형이나 이소체일 경우 아치랄이고, 스칼린일 경우 치랄형이다.

다음 패턴을 고려하십시오.

이 그림은 거울 이미지와 동일하지 않기 때문에 치랄이다.

그러나 양방향의 패턴을 무한대로 연장하면 대칭 축이 없는 (무경계) 아키랄 형상을 받게 된다. 그것의 대칭 그룹은 단일 글라이드 반사에 의해 생성되는 프리제 그룹이다.

매듭 이론

매듭은 거울의 이미지로 계속 변형될 수 있으면 아치랄이라고 하고, 그렇지 않으면 치랄 매듭이라고 한다. 예를 들어, 언코트와 그림 8 매듭은 아치랄인 반면, 트레포일 매듭은 치랄이다.

참고 항목

참조

^ Petitjean, M. (2020). "Chirality in metric spaces. In memoriam Michel Deza". Optimization Letters. 14 (2): 329–338. doi:10.1007/s11590-017-1189-7.
^ Petitjean, M. (2021). "Chirality in geometric algebra". Mathematics. 9 (13). 1521. doi:10.3390/math9131521.
^ "2. Symmetry operations and symmetry elements". chemwiki.ucdavis.edu. Retrieved 25 March 2016.

추가 읽기

Flapan, Erica (2000). When Topology Meets Chemistry. Outlook. Cambridge University Press and Mathematical Association of America. ISBN 0-521-66254-0.

외부 링크

대칭성, 치례성, 대칭성 측정 및 치례성 측정: 일반 정의
에릭 W의 치랄 폴리헤드라 Weisstein, The Wolfram 데모 프로젝트.
다지관 아틀라스의 치랄 다지관.

[1] Petitjean, M. (2020). "Chirality in metric spaces. In memoriam Michel Deza". Optimization Letters. 14 (2): 329–338. doi:10.1007/s11590-017-1189-7.

[2] Petitjean, M. (2021). "Chirality in geometric algebra". Mathematics. 9 (13). 1521. doi:10.3390/math9131521.

[3] "2. Symmetry operations and symmetry elements". chemwiki.ucdavis.edu. Retrieved 25 March 2016.

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