순(다면체)

Net (polyhedron)
정십이면체의 그물
정육면체의 11개 그물

기하학에서, 다면체의 그물(net)은 겹치지 않는 모서리 결합 폴리곤의 평면 배열로, 접혀져 다면체의 면이 될 수 있다.다면체 망은 얇은 [1]판지와 같은 재료로 다면체의 물리적 모델을 구성할 수 있기 때문에 일반적으로 다면체 및 입체 기하학 연구에 유용한 보조 도구입니다.

다면체 그물의 초기 예는 Albrecht Dürer의 작품에서 나타나는데, 그의 1525년 저서 "A Course in the Arcess of Measurement with Compass and Zuler" (Unterweysung der Mesung mit dem Zyrkel and Rychtsheyd)는 플라토닉 고체와 아르키메데스의 [2]고형 고형물들을 위한 그물을 포함하고 있다.이 건축물은 1543년 아우구스틴 히르슈보겔에 [3]의해 그물이라고 처음 불렸다.

존재와 고유성

어떤 모서리가 결합되고 어떤 모서리가 분리되는지에 따라 주어진 다면체에 대해 많은 다른 그물이 존재할 수 있다.그물을 형성하기 위해 볼록한 다면체에서 잘라낸 가장자리는 다면체의 스패닝 트리를 형성해야 하지만, 일부 스패닝 트리를 자르면 그물을 형성하는 [4]대신 다면체가 스스로 겹치게 될 수 있습니다.반대로, 주어진 그물은 가장자리가 접히는 각도와 함께 [5]붙일 가장자리 선택에 따라 둘 이상의 다른 볼록 다면체로 접힐 수 있습니다.만약 그물이 그 모서리를 함께 붙이기 위한 패턴과 함께 주어진다면, 결과 형상의 각 정점이 양의 각도 결점을 가지며 이러한 결점의 합이 정확히 4µ가 되도록, 그것으로부터 접을 수 있는 정확히 하나의 다면체가 존재할 것이다; 이것은 알렉산드로프의 고유성 정리이다.그러나 이 방법으로 형성된 다면체는 그물의 일부로 지정된 것과 다른 면을 가질 수 있습니다. 즉, 일부 그물 폴리곤은 그 사이에 접힌 부분이 있을 수 있고, 그물 폴리곤 사이의 가장자리 일부가 열린 채로 있을 수 있습니다.또, 같은 네트가 복수의 유효한 접착 패턴을 가지는 것으로, 다른 접힌 [6]다면체를 얻을 수 있다.

수학의 미해결 문제:

모든 볼록한 다면체에는 단순한 모서리가 펼쳐지는가?

(수학에서 풀리지 않은 문제가 더 많다)

1975년, G.C. Shephard는 모든 볼록 다면체에 적어도 하나의 그물 또는 단순한 [7]모서리-접힘이 있는지 물었다.뒤러의 추측 또는 뒤러의 전개 문제로도 알려진 이 질문은 여전히 [8][9][10]답하지 못하고 있다.그물이 없는 비볼록 다면체가 존재하며, 모든 볼록 다면체의 면(예를 들어 절단된 궤적을 따라)을 세분화하여 분할된 면의 집합이 [4]그물을 가지도록 할 수 있다.2014년에 Mohammad Ghomi는 모든 볼록 다면체가 아핀 [11]변환 후에 그물을 받아들인다는 것을 보여주었다.또한 2019년 Barvinok과 Ghomi는 다면체의 정점을 연결하고 볼록면을 가진 그래프를 형성하는 측지학 네트워크인 의사 [12]에지에 대해 뒤러 추측의 일반화가 실패함을 보여주었다.

정십이면체를 피우다

관련된 미해결 질문은 볼록 다면체의 모든 그물이 꽃을 피우는, 평탄한 상태에서부터 접힌 상태까지 연속적인 비자기 교차 운동을 가지고 있는지 여부를 묻는다.[13]

최단 경로

다면체 표면의 두 점 사이의 표면 위의 최단 경로는 경로에 의해 접촉되는 면의 부분 집합에 적합한 그물 위의 직선에 해당합니다.네트는 직선이 완전히 그 안에 있어야 하며, 어떤 것이 최단 경로를 제공하는지 보기 위해 여러 개의 그물을 고려해야 할 수 있습니다.예를 들어 입방체의 경우 점이 인접면상에 있는 경우 최단경로 후보 중 하나는 공통 가장자리를 가로지르는 경로이며, 이러한 종류의 최단경로는 두 면이 인접해 있는 망을 사용하여 구한다.최단 경로의 다른 후보는 양쪽(두 개 있음)에 인접한 제3면의 표면을 통과하며, 대응하는 그물을 사용하여 각 [14]범주에서 최단 경로를 찾을 수 있다.

거미와 파리 문제는 정육면체 위의 두 점 사이의 최단 경로를 찾는 것을 포함하는 레크리에이션 수학 퍼즐이다.

고차원 폴리토프 그물

달리 십자가, 정삼각형의 그물

4차원 폴리토프인 4차원 폴리토프 그물은 다면체 그물의 다면체가 가장자리로 연결되어 모두 같은 3차원 공간을 차지하는 다면체 셀로 구성되어 있다.4차원 하이퍼큐브인 테서랙트의 그물은 살바도르 달리 십자가에 못 박힌 그림(1954년)[15]에서 두드러지게 사용되고 있다.로버트 A가 쓴 단편소설 "그리고 그는 구부러진 집을 지었다"의 줄거리에서도 같은 정삼각형의 그물이 중심이다. 하인라인.[16]

n개의{\ n차원 하이퍼큐브의 으로 구별되는 그물 수는 하이퍼큐브의 면 쌍이 그물을 형성하기 위해 접착되는 패턴을 설명하는 의 트리로 표현함으로써 찾을 수 있다.접힌 하이퍼큐브에서 서로 마주보는 면 쌍을 설명하는 트리입니다.이 표현을 사용하여 치수 2, 3, 4, ...의 하이퍼큐브에 대한 다른 전개 횟수는 다음과 같이 계산되었다.

1, 11, 261, 9694, 502110, 33064966, 2642657228, ...[17]

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ Wenninger, Magnus J. (1971), Polyhedron Models, Cambridge University Press
  2. ^ Dürer, Albrecht (1525), Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd, Nürnberg: München, Süddeutsche Monatsheft, pp. 139–152. 영어 번역 (해설 포함)
  3. ^ Friedman, Michael (2018), A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins, Science Networks. Historical Studies, vol. 59, Birkhäuser, p. 8, doi:10.1007/978-3-319-72487-4, ISBN 978-3-319-72486-7
  4. ^ a b Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph (2007), "Chapter 22. Edge Unfolding of Polyhedra", Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Cambridge University Press, pp. 306–338
  5. ^ Malkevitch, Joseph, "Nets: A Tool for Representing Polyhedra in Two Dimensions", Feature Columns, American Mathematical Society, retrieved 2014-05-14
  6. ^ Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Lubiw, Anna; O'Rourke, Joseph (2002), "Enumerating foldings and unfoldings between polygons and polytopes", Graphs and Combinatorics, 18 (1): 93–104, arXiv:cs.CG/0107024, doi:10.1007/s003730200005, MR 1892436, S2CID 1489
  7. ^ Shephard, G. C. (1975), "Convex polytopes with convex nets", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 78 (3): 389–403, Bibcode:1975MPCPS..78..389S, doi:10.1017/s0305004100051860, MR 0390915
  8. ^ Weisstein, Eric W., "Shephard's Conjecture", MathWorld
  9. ^ Moskovich, D. (June 4, 2012), "Dürer's conjecture", Open Problem Garden
  10. ^ Ghomi, Mohammad (2018-01-01), "Dürer's Unfolding Problem for Convex Polyhedra", Notices of the American Mathematical Society, 65 (1): 25–27, doi:10.1090/noti1609
  11. ^ Ghomi, Mohammad (2014), "Affine unfoldings of convex polyhedra", Geom. Topol., 18 (5): 3055–3090, arXiv:1305.3231, Bibcode:2013arXiv1305.3231G, doi:10.2140/gt.2014.18.3055, S2CID 16827957
  12. ^ Barvinok, Nicholas; Ghomi, Mohammad (2019-04-03), "Pseudo-Edge Unfoldings of Convex Polyhedra", Discrete & Computational Geometry, 64 (3): 671–689, arXiv:1709.04944, doi:10.1007/s00454-019-00082-1, ISSN 0179-5376, S2CID 37547025
  13. ^ Miller, Ezra; Pak, Igor (2008), "Metric combinatorics of convex polyhedra: Cut loci and nonoverlapping unfoldings", Discrete & Computational Geometry, 39 (1–3): 339–388, doi:10.1007/s00454-008-9052-3, MR 2383765
  14. ^ O’Rourke, Joseph (2011), How to Fold It: The Mathematics of Linkages, Origami and Polyhedra, Cambridge University Press, pp. 115–116, ISBN 9781139498548
  15. ^ Kemp, Martin (1 January 1998), "Dali's dimensions", Nature, 391 (6662): 27, Bibcode:1998Natur.391...27K, doi:10.1038/34063, S2CID 5317132
  16. ^ Henderson, Linda Dalrymple (November 2014), "Science Fiction, Art, and the Fourth Dimension", in Emmer, Michele (ed.), Imagine Math 3: Between Culture and Mathematics, Springer International Publishing, pp. 69–84, doi:10.1007/978-3-319-01231-5_7
  17. ^ Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A091159 (Number of distinct nets for the n-hypercube)", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation

외부 링크