규칙 그래프

그래프 이론에서, 정례 그래프는 각 정점이 같은 수의 이웃을 갖는 그래프이다. 즉, 모든 정점이 같은 정도 또는 원자가를 갖는 그래프이다.또한 정규 방향 그래프는 각 정점의 차수와 차수가 서로 같다는 ^[1]더 강한 조건을 충족해야 합니다. $k도$ 의 정점이 있는 정규 $그래프$ 를 k도의 정규 $그래프$ 또는 k도의 정규 그래프라고 합니다.또, 핸드쉐이크 보조명제로부터, 정규 그래프는 홀수도의 정점수를 포함한다.

0-정규 그래프는 연결되지 않은 정점으로 구성되고, 1-정규 그래프는 연결되지 않은 가장자리로 구성되며, 2-정규 그래프는 주기와 무한 체인의 분리된 결합으로 구성됩니다.

3-규칙 그래프는 입방체 그래프라고 합니다.

강한 규칙 그래프는 인접한 모든 정점 쌍이 공통적으로 $l개$ 의 네이버를 가지며, 인접하지 않은 모든 정점 쌍이 공통적으로 $n개$ 의 네이버를 갖는 정규 그래프입니다.규칙적이지만 강하게 규칙적이지 않은 가장 작은 그래프는 6개의 정점에 있는 순환 그래프와 순환 그래프입니다.

전체 $그래프 m$ K는 $모든$ m에 대해 매우 규칙적입니다.

내쉬-윌리엄스의 정리에 따르면 $2k$ + 1 $정점$ 의 $모든$ k-정규 그래프는 해밀턴 사이클을 가지고 있다.

0-정규 그래프
1-규칙 그래프
2-규칙 그래프
삼정칙 그래프

존재.

$순서$ n $({displaystyle$ n $})$ 의 $k$ $n$ k(\ $displaystyle$ k $)$ $정규$ 그래프가 존재하기 위해서는 $n\geq k+1$ displaystyle n) + $n\geq k+1$ ({ $displaystyle$ n $\geq$ k $+1)$ 과 $n\geq k+1$ $(\displaystyle$ nk $)$ 이 $nk$ 짝수라는 조건은 잘 알려져 있다.

증명: 아시다시피 완전한 그래프에는 서로 다른 꼭지점 쌍이 고유한 모서리에 의해 연결되어 있습니다.따라서 전체 그래프에서 가장자리가 최대이고 가장자리 수는 ${\binom {n}{2}}={\dfrac {n(n-1)}{2}}$ ( ${\binom {n}{2}}={\dfrac {n(n-1)}{2}}$ 2) ${\binom {n}{2}}={\dfrac {n(n-1)}{2}}$ ( ${\binom {n}{2}}={\dfrac {n(n-1)}{2}}$ - ${\binom {n}{2}}={\dfrac {n(n-1)}{2}}$ 1) ${\binom {n}{2}}={\dfrac {n(n-1)}{2}}$ 2 ({ $displaystyle {n} = scdfrac {n(n-1)}$ {2} $)$ 이고 ${\binom {n}{2}}={\dfrac {n(n-1)}{2}}$ , 여기서의 $n-1$ 는 $n-1$ n - $n-1$ ({ $displaystyle$ $n-1$ $}$ 입니다. $k=n-1,n=k+1$ k $k=n-1,n=k+1$ - $k=n-1,n=k+1$ , n $=$ , n - 1 , n - 1 , $k=n-1,n=k+1$ 、 n }이것은 특정 $k$ 에 대한 $최소$ n ${$ $displaystyle$ k $k$ 입니다 $n$ .또한 일반 그래프에 $n$ 가 n ${displaystyle$ n $}$ 인 $n$ 경우 가장자리 수는 $({$ 이므로 ${\dfrac {nk}{2}}$ ${displaystyle$ nk $})$ 는 $nk$ 짝수여야 합니다.이러한 경우 순환 그래프에 대한 적절한 매개변수를 고려함으로써 정규 그래프를 쉽게 구성할 수 있다.

대수적 성질

A를 그래프의 인접 행렬로 합니다.그래프는 j $=$ ( ${\textbf {j}}=(1,\dots ,1)$ , ${\textbf {j}}=(1,\dots ,1)$ … , ${\textbf {j}}=(1,\dots ,1)$ ) ${\textbf {j}}=(1,\dots ,1)$ { $displaystyle {textbf {$ j}=(1 $,\display,1)}$ 이 ${\textbf {j}}=(1,\dots ,1)$ ^[2]A의 고유 벡터일 ${\textbf {j}}=(1,\dots ,1)$ 에만 규칙적입니다.고유값은 그래프의 일정한 정도가 됩니다.다른 고유값에 해당하는 고유 벡터는 j ${\textbf {j}}$ {\ $displaystyle {textbf$ { $j$ ${\textbf {j}}$ 과 $v=(v_{1},\dots ,v_{n})$ 와) 직교하므로 $v=(v_{1},\dots ,v_{n})$ $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=0$ 벡터 v $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=0$ ( $v$ 1, $v=(v_{1},\dots ,v_{n})$ … $v=(v_{1},\dots ,v_{n})$ , v $n )$ { $displaystyle$ v = $ni$ = 0 { style \ $sum$ { $i =$ 1 $n$ $v=(v_{1},\dots ,v_{n})$ } { n }^{ $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=0$ } $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=0$

k도의 정규 그래프는 고유값 k에 1의 다중성이 있는 경우에만 연결됩니다."유일한 if" 방향은 페론-프로베니우스 ^[2]정리의 결과이다.

규칙 및 연결 그래프에 대한 기준도 있습니다. 그래프는 $J_{ij}=1$ j $=$ $(\displaystyle J_{ij$ }= $1$ 인 1 J의 행렬이 그래프의 인접 대수에 있는 경우에만 연결되고 규칙적입니다(즉,^[3] A의 거듭제곱의 선형 조합임).

G를 직경 D 및 $k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}$ k $k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}$ 0 > $k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}$ 1의 고유값을 갖는 k-정규그래프라고 합니다. $G$ 가 양분하지 않은 경우 $k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}$ 는 $k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}$ n $k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}$ - $k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}$ \ $display$ k = \ $display da _$ ${ 0$ } > \ $cdots$ \ $cdots$ \ cda _ { n - $k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}$ 1 } $k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}$

D\leq {(n-1)}{\log(\lambda_{0}/\lambda_{1}}}}+1.

^[4]

시대

고속 알고리즘은 주어진 정도와 ^[5]정점의 수를 가진 모든 정규 그래프를 동형사상까지 열거하기 위해 존재합니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Chen, Wai-Kai (1997). Graph Theory and its Engineering Applications. World Scientific. pp. 29. ISBN 978-981-02-1859-1.
^ ^a ^b Cvetkovich, D. M., Doob, M. 및 Sachs, H. Spectra of Graphs:이론과 응용, 제3차 개정판 ed.뉴욕: Wiley, 1998.
^ 를 클릭합니다Curtin, Brian (2005), "Algebraic characterizations of graph regularity conditions", Designs, Codes and Cryptography, 34 (2–3): 241–248, doi:10.1007/s10623-004-4857-4, MR 2128333.
^ [1]^{[필요한 건]}
^ Meringer, Markus (1999). "Fast generation of regular graphs and construction of cages" (PDF). Journal of Graph Theory. 30 (2): 137–146. doi:10.1002/(SICI)1097-0118(199902)30:2<137::AID-JGT7>3.0.CO;2-G.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Regular Graph". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Strongly Regular Graph". MathWorld.
Markus Meringer의 GenReg 소프트웨어와 데이터.
Nash-Williams, Crispin (1969), Valency Sequences which force graphs to have Hamiltonian Circuits, University of Waterloo Research Report, Waterloo, Ontario: University of Waterloo

[1] Chen, Wai-Kai (1997). Graph Theory and its Engineering Applications. World Scientific. pp. 29. ISBN 978-981-02-1859-1.

[Cvetkovic-2] Cvetkovich, D. M., Doob, M. 및 Sachs, H. Spectra of Graphs:이론과 응용, 제3차 개정판 ed.뉴욕: Wiley, 1998.

[3] 를 클릭합니다Curtin, Brian (2005), "Algebraic characterizations of graph regularity conditions", Designs, Codes and Cryptography, 34 (2–3): 241–248, doi:10.1007/s10623-004-4857-4, MR 2128333.

[4] [1]^{[필요한 건]}

[5] Meringer, Markus (1999). "Fast generation of regular graphs and construction of cages" (PDF). Journal of Graph Theory. 30 (2): 137–146. doi:10.1002/(SICI)1097-0118(199902)30:2<137::AID-JGT7>3.0.CO;2-G.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

그래프 패밀리는 자기동형에 의해 정의됩니다.
거리 추이적	→	거리 규칙적인	←	매우 규칙적인
↓
대칭형(변환형)	←	t-transitive, $t 2 2$		비뚤어졌다
↓
_{(접속되어 있는 경우)} 정점과 모서리-추이	→	엣지 전이 규칙적인 규칙적인	→	엣지 전이성
↓		↓		↓
정점 전이성의	→	규칙적인.	→	_{(양당인 경우)} 복선
↑
케일리 그래프	←	무배출의		비대칭의

v t 그래프 클래스
반	고밀도 심플렉스 규칙적인.
(임시) 특정 그래프	황소 나비 다이아몬드 맥기 경로. 평면 특수한 순서
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