케플러-핀소 다면체

기하학에서 케플러-푸인소 다면체는 네 개의 일반 별 다면체 중 하나이다.^[1]

그것들은 규칙적인 볼록한 도데카헤드론과 이코사헤드론을 격자화하여 얻을 수 있으며, 규칙적인 펜타그램 얼굴이나 정점 수치를 갖는 것에서는 이것들과 다르다. 그것들은 모두 어떤 식으로든 펜타그램의 3차원 유사점으로 볼 수 있다.

특성.

비양심성

이 그림들은 얼굴 또는 꼭지점으로 오각형(별 펜타곤)을 가지고 있다. 작고 멋진 도데카헤드론은 비콘벡스 정규 펜타그램 얼굴을 가지고 있다. 큰 도두면체와 큰 이코사면체는 볼록한 다각형 얼굴을 가지고 있지만, 오각형 정점 형상을 가지고 있다.

모든 경우에, 두 개의 얼굴은 어느 면의 가장자리가 아닌 선을 따라 교차할 수 있기 때문에 각 면의 일부가 그림의 내부를 통과한다. 그러한 교차선은 다면 구조의 일부가 아니며 때로는 거짓 가장자리라고 불린다. 마찬가지로 세 개의 선이 어떤 면의 모서리가 아닌 점에서 교차하는 경우, 이 점들은 잘못된 정점이다. 아래의 이미지는 진정한 정점에 있는 구들과 진정한 가장자리를 따라 있는 푸른 막대들을 보여준다.

예를 들어, 작은 톱니 모양의 도데카헤드론은 12개의 펜타그램 면을 가지고 있고, 솔리드의 내부에 중앙 오각형 부분이 숨겨져 있다. 각 얼굴의 가시적인 부분은 5개의 등각 삼각형으로 이루어져 있으며, 이 삼각형은 오각형 주변의 5개 지점에 닿는다. 우리는 이 삼각형들을 60개의 분리된 면으로 처리하여 겉으로 보기에 동일한 새로운 불규칙적인 다면체를 얻을 수 있다. 각 가장자리는 이제 세 개의 짧은 가장자리(다른 두 종류의)로 나뉘고, 20개의 잘못된 정점이 참 정점이 되어 총 32개의 정점(두 종류의 정점)을 갖게 된다. 숨겨진 안쪽 펜타곤은 더 이상 다면 표면의 일부가 아니며 사라질 수 있다. 이제 오일러의 공식은 60 - 90 + 32 = 2이다. 그러나 이 다면체는 더 이상 슐레플리 기호 {5/2, 5}에서 설명한 것이 아니며, 따라서 외부에서 온 것처럼 보이지만 케플러-푸인소 고체가 될 수 없다.

오일러 특성 χ

케플러-Poinsot 다면체는 5각형의 얼굴을 가진 그림에서 구불구불한 점으로 작용하는 면의 중심과 다른 면의 정점들로 두 번 이상 그 구역을 덮는다. 이 때문에 플라토닉 고형물처럼 반드시 위상학적으로 구와 동등하지 않으며, 특히 오일러 관계가 그러하다.

$\displaystyle \chi =V-E+F=2\ }$

항상 유지되는 것은 아니다. 슐래플리는 모든 다면체는 반드시 χ = 2가 되어야 한다고 주장했고, 그는 적절한 다면체로서 작은 돌기가 있는 도면체와 위대한 도면체를 거절했다. 이 견해는 결코 널리 받아들여지지 않았다.

정점 수치(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$와 면(${\displaystyle d_{}}$ f ${\$의 밀도(D)를 사용한 오일러 공식의 변형 형태는 Arthur Cayley에 의해 주어졌으며, 볼록 폴리헤드라(수정계수가 모두 1인 경우)와 케플러-푸인소트 폴리헤드라:

${\displaystyle d_{v}V-E+d_{f}}F=2D.}$

이중성과 페트리 폴리곤

케플러-푸인소트 다면체는 이중 쌍으로 존재한다. 듀얼은 동일한 페트리 폴리곤을 가지거나, 보다 정확히 말하면 동일한 2차원 투영법을 가진 페트리 폴리곤을 가진다.

다음 이미지는 가장자리 반경이 동일한 두 개의 이중 화합물을 보여준다. 그들은 또한 페트리 폴리곤이 꼬치라는 것을 보여준다. 아래 기사에서 설명한 두 가지 관계도 영상에서 쉽게 볼 수 있다. 보라색 가장자리가 같고, 초록색 얼굴이 같은 평면에 놓여 있다는 것.

앞쪽의 수평 가장자리	앞쪽 수직 가장자리	페트리 폴리곤
작은 스티프 도데카헤드론 {5/2, 5}	대두면체 {5, 5/2}	육각형 {6}
대 이코사면체{3, 5/2}	그레이트 스틸 도데카헤드론 {5/2, 3}	디카그램 {10/3}

페트리 헥사곤과 함께 sD와 gD의 화합물

petrie decagram과 gsD의 합성어

요약

이름 (콘웨이 약칭)	사진	구면 타일링	스텔레이션 도표를 만들다	슐레플리 {p, q} 및 콕시터딘킨	얼굴 {p}	가장자리	정점 {q}	꼭지점 형상을 나타내다 (구성).	페트리 폴리곤	χ	밀도	대칭	이중
대두면체 (gD)				{5, 5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	(55)/2	{6}	−6	3	Ih	작은 톱니 모양의 도데면체
작은 톱니 모양의 도데면체 (sD)				{5/2, 5}	12 {5/2}	30	12 {5}	(5/2)5	{6}	−6	3	Ih	대두면체
대이코사면체 (gI)				{3, 5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	(35)/2	{10/3}	2	7	Ih	대격포도면체
대격포도면체 (sgD = gsD)				{5/2, 3}	12 {5/2}	30	20 {3}	(5/2)3	{10/3}	2	7	Ih	대이코사면체

일반 다면체 사이의 관계

콘웨이 운영 용어

존 콘웨이는 케플러-푸인소트 폴리헤드라를 볼록 고형물의 거장 및 스텔링으로 정의한다.
그의 명명 규칙에서 작은 도마뱀붙이는 단지 도마뱀붙이일 뿐이다.

이코사면체(I)	도데면체(D)
대두면체(gD)	스텔 도데카헤드론(sD)
대 이코사면체(gI)	대절개면체(sgD = gsD)

스텔레이션은 오각형의 얼굴을 오각형으로 바꾼다. (이런 의미에서 stellation은 고유한 작업이며, 아래에 설명된 보다 일반적인 stellation과 혼동하지 않는다.)

그레이딩은 얼굴 형태를 유지하고, 얼굴 형태를 평행 평면으로 바꾸고 크기를 조정한다.

콘웨이 관계 삽화
도표를 만들다	이 절의 다면체는 동일한 중간 반경으로 표시된다.
찌는 듯한 느낌	D sD gD sgD = gsD
웅장한	D와 gD I와 gI sD와 gsD
이중성	D와 나 gD와 sD GI와 gsD

장식과 면

대 이코사헤드론은 이코사헤드론(The 59 Icosahedra)의 기암 중 하나이다.
다른 세 사람은 모두 도데카헤드론의 묘미들이다.

큰 도데카헤드론은 도데카헤드론의 한 면이다.
다른 세 가지는 이코사면체의 면이다.

장식과 면
볼록스	이코사헤드론			도데면체
스텔링스	gI (노란색 얼굴을 한 사람)			gD	sD	gsd
면	gI	gD	sD	gsd (노란 정점이 있는 것)

교차로들이 새로운 가장자리와 정점으로 처리된다면, 얻은 수치는 정규적이지 않을 것이지만, 그것들은 여전히 stellation으로 간주될 수 있다.^{[examples needed]}

(Wenninger 다면체 모델 목록도 참조)

공유 꼭지점 및 가장자리

큰 도데카헤드론은 그 정점을 도데카헤드론과 공유한다. 나머지 세 개의 케플러-푸인소트 다면체는 그들의 것을 이코사면체와 공유한다. 고형분 공유 정점의 골격은 위상학적으로 동일하다.

이코사헤드론	대두면체	대이코사면체	작은 톱니 모양의 도데면체	도데면체	대격포도면체
정점과 가장자리를 공유하다		정점과 가장자리를 공유하다		공유 꼭지점, 골격 도면 그래프를 형성한다.
공유 정점, 골격은 좌골 그래프를 형성한다.

도데카헤드라

선체와 코어

작고 큰 도마뱀붙이는 가장자리와 얼굴이 교차할 때까지 연장된 일반 도마뱀붙이로 볼 수 있다.
이들 코어의 오각형 면은 별 폴리헤드라 펜타그램 면의 보이지 않는 부분이다.
작은 구멍이 있는 도데카헤드론의 경우 선체는 중심부보다 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$}배$$ 크고, 큰 것의 경우 $\phi {\displaystyle }$+ 1${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$배$$ 크다. (황금 비율 참조)
(미드라디우스는 다른 다면체의 크기를 비교하는 일반적인 척도)

헐과 도마뱀붙이의 중심부
선체	별다면체	코어	${\displaystyle {\frac {\text{data.midradius}{\text{data.core midradius}}}}$	${\displaystyle {\frac {\text{data.midradius}{\text{data.midradius}}}}$
			${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}+1}{2}}=1.16803...}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}-1}{2}}=0.16803...}$
			${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt{5}}{2}}=2.16803...}$	${\displaystyle {\frac {3-{\sqrt{5}}{2}}=0.38196...}$
이 이미지들 속의 플라톤 선체는 같은 중간 반경을 가지고 있다. 이것은 오각형의 크기가 같고, 코어의 에지 길이가 같다는 것을 의미한다. (아래 5배 직교 투영을 비교하십시오.)

증보

전통적으로 두 개의 별 다면체는 증축(또는 누적), 즉 얼굴에 피라미드가 추가된 도데면(deadecheadron)과 이코사면(icodosheadron)으로 정의되어 왔다.

케플러는 그 작은 구멍을 증강 도데카헤드론(그 다음 그것을 고슴도치로 명명)이라고 부른다.^[3]

그의 견해에 따르면 큰 돌기는 작은 돌기가 도두면체이기 때문에 이두면체와 관련이 있다.^[4]

이러한 순진한 정의는 여전히 사용되고 있다. 예: MathWorld는 플라토닉 고형물의 표면에 피라미드를 추가함으로써 두 별의 다면체를 만들 수 있다고 말한다.^{[5] [6]}

이것은 단지 이러한 고형물의 모양을 시각화하는 데 도움을 주는 것일 뿐, 실제로는 가장자리 교차로(거짓 정점)가 정점이라는 주장이 아니다. 만약 그렇다면, 두 개의 별 다면체는 국소학적으로 펜타키스 도데면체 및 삼면체(Triakis icodosaheadron)와 동일할 것이다.

증보로서 녹인 도데카헤드라
코어	별다면체	카탈루냐 고체

대칭

모든 케플러-푸인소 다면체는 볼록한 선체와 마찬가지로 완전한 동면 대칭을 가지고 있다.

큰 이코사면과 이중은 3배(노란색)와 5배(빨간색) 대칭축에 얼굴과 정점이 있다는 점에서 이코사면체와 닮았다.
위대한 도데카헤드론과 그것의 이중 모든 얼굴과 정점은 5배 대칭 축에 있다(그래서 이 이미지에는 노란 원소가 없다).

다음 표는 이중 쌍으로 된 고형물을 보여준다. 맨 위 행에는 피리토헤드 대칭으로 표시되며, 아래 행에는 이두헤드 대칭으로 표시된다(이러한 색상 참조).

아래 표는 5배(빨간색), 3배(노란색) 및 2배(파란색) 대칭 축의 직교 투영을 보여준다.

{3, 5}(I) 및 {5, 3}(D)	{5, 5/2}(gD) 및 {5/2, 5}(sD)	{3, 5/2}(gI) 및 {5/2, 3}(gsD)
(iii)	(iii)	(iii)
(iii)	(iii)	(iii)

맞춤법 투사
이들 영상의 플라토닉 선체는 같은 중반도를 가지고 있기 때문에 아래의 5배 돌출부는 모두 같은 크기의 데카곤으로 되어 있다. (화합물의 투영 비교) 이는 sD, gsD 및 gI의 에지 길이, 즉 주변 디카곤의 펜타그램의 측면 길이를 가지고 있음을 암시한다.

역사

전부는 아니더라도 대부분의 케플러-푸인소트 다면체는 케플러 이전에 어떤 형태로든 알려져 있었다. 작은 돌기가 있는 도데카헤드론이 성 마루의 대리석 타르시아(상판)에 나타난다. 이탈리아 베니스에 있는 마크의 바실리카. 그것은 15세기부터 시작되었고 때때로 파올로 우첼로에게 기인되기도 한다.^[7]

원젤 잼니처는 1568년에 출판된 목판화집인 그의 투시보네움 레귤리움(일반 고형물의 페르스펙티브)에서 위대한 도데카헤드론과 위대한 도데카헤드론(두 가지 모두 아래와 같다)을 묘사하고 있다. 또한 잘려나간 작은 도데카헤드론도 있다.^[8] 그가 다섯 가지 플라토닉 고형물만을 규칙적으로 여겼다는 것은 이 책의 전반적인 배열에서 분명하다.

때로는 케플러 폴리헤드라 불리기도 하는 작고 거대한 도데카헤드라는 1619년경 요하네스 케플러에 의해 처음으로 정식으로 인정받았다.^[9] 그는 그것을 고체가 아닌 표면으로 취급하는 것을 처음으로 일반 볼록한 도데카헤드론(stelling the regular dodecheadron)을 스텔링함으로써 그것들을 얻었다. 그는 볼록한 도데면체의 가장자리나 얼굴을 다시 만날 때까지 연장함으로써 별 펜타곤을 얻을 수 있다는 것을 알아차렸다. 게다가, 그는 이러한 스타 펜타곤도 규칙적이라는 것을 알아챘다. 이렇게 해서 그는 두 개의 녹은 도데카헤드라를 만들었다. 각 면의 중앙 볼록한 부위가 내부 안에 "숨겨져" 있으며, 삼각형 팔만 보인다. 케플러의 마지막 단계는 이러한 다면체들이 전통적인 플라토닉 고형물처럼 볼록하지 않더라도 규칙성의 정의에 부합한다는 것을 인식하는 것이었다.

1809년 루이 푸인소트는 각 꼭지점에 별 펜타곤을 조립하여 케플러의 형상을 재발견했다. 그는 또한 항성 정점 주위에 볼록한 다각형을 조립하여 더 많은 두 개의 규칙적인 항성, 즉 거대한 이코사면체와 도데카면체를 발견했다. 어떤 사람들은 이 둘을 Poinsot polyhedra라고 부른다. 포인소트는 그가 모든 일반 별 다면체를 발견했는지 알지 못했다.

3년 후, 어거스틴 카우치는 플라토닉 고형물을 휘감음으로써 그 리스트가 완성되었음을 증명했고, 그 후 거의 반세기가 지난 1858년 베르트랑드는 그것들을 표면화함으로써 보다 우아한 증거를 제공했다.

이듬해 아서 케일리는 케플러-푸인소트 다면체에 오늘날 일반적으로 알려진 이름을 붙였다.

100년 후, 존 콘웨이는 최대 4차원의 스텔링에 대한 체계적인 용어를 개발했다. 이 계획 안에서 작은 돌기가 있는 돌기가 있는 돌기가 있는 돌기가 있는 돌기가 바로 돌기가 있는 돌기가 있는 돌기둥이다.

베네치아 세인트마크의 바닥 모자이크(Paolo Ucccello)

투시바 코모눔 레귤러니엄(1568년)의 대도면체 및 대도면체

요하네스 케플러 (1619년)의 하모니트 도데카헤드라

튀빙겐 대학교의 판지 모델 (1860년경)

예술과 문화의 일반별 다면체

위대한 도데카헤드론의 해부는 1980년대의 퍼즐 알렉산더의 별에 사용되었다. 일반별 다면체는 르네상스 예술에 처음 등장한다. 성 바닥의 대리석 타르시아에는 작은 돌기가 그려진 도데카헤드론이 묘사되어 있다. 이탈리아 베니스에 있는 마크의 바실리카는 1430년경부터 시작했으며 때로는 파울로 우첼로에게 귀속되기도 했다.

20세기에, 예술가 M. C. 에셔의 기하학적 형태에 대한 관심은 종종 일반 고형물에 기초하거나 포함시키는 작업으로 이어졌다; 중력은 작은 톱니 모양의 도데체론에 기초한다.

노르웨이의 예술가 베비외른 샌즈 조각 케플러 별은 가더르모엔 오슬로 공항 근처에 전시되어 있다. 이 별은 14미터에 달하며, 큰 장식을 한 도도면체 안에 있는 도도면체와 도도면체로 이루어져 있다.

참고 항목

• 일반 폴리토프
• 정다면체
• 일반 폴리토페스 목록
• 균일다면체
• 균일성 다면체
• 다면 화합물
• 정규 항성 4폴리토프 – 케플러-폴리소트 다면체의 4차원 유사점인 10개의 정규 항성 4폴리토프

참조

메모들

참고 문헌 목록

• J. Bertrand, Note sur la theri des poliédres régulier, Comptes endus des séans de l'Academie des Science, 46 (1858년), 페이지 79–82, 117.
• 오귀스틴루이 카우치, 레 폴리에드르 리커처. J. de L'école 폴리테크니크 9, 68-86, 1813.
• 포인소트의 4가지 새로운 고정 고형물에 관한 아서 케이리. 필. 매그 17 페이지 123–127 및 209, 1859.
• 존 H. 콘웨이, 하이디 버기엘, 차임 굿맨-스트라우스, 2008년 사물의 대칭성, ISBN 978-1-56881-220-5 (24장, 일반 항성-폴리토피스, 페이지 404–408)
• 케일리디스코어: F가 편집한 H. S. M. Coxeter의 선별된 글. 아서 셔크, 피터 맥멀런, 앤서니 C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN978-0-471-01003-6[1]
  • (용지 1) H.S.M. Coxeter, The Nine Regular Solid [Proc. 캔. 수학. 의회 1(1947), 252–264, MR 8, 482]
  • (용지 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes 및 Schlafli 함수 f(α,β, γ) [Elemente der Mathik 44 (2) (1989) 25–36]
• 테오니 파파스, (The Kepler-Poinsot Solids) 수학의 즐거움. 산 카를로스, CA: Wide World Public./테트라, 1989년 페이지 113.
• Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyédres. 루이 푸인소트 J. de L'école 폴리테크니크 9 페이지 16–48, 1810.
• Lakatos, Imre; Proofs and Refutations, Cambridge University Press (1976년) - 오일러 특성에 대한 증명 토론
• Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-54325-8., 페이지 39-41.
• 존 H. 콘웨이, 하이디 버기엘, 채임 굿맨-스트라우스, 2008년 사물의 대칭성, ISBN 978-1-56881-220-5 (제26장 404장: 일반 항성-폴리토페스 치수 3)
• Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A Visual Approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. 8장: 케플러 포이소트 다면체

외부 링크

위키미디어 커먼스는 케플러-푸인소트 고체 관련 매체를 보유하고 있다.

• Weisstein, Eric W. "Kepler–Poinsot solid". MathWorld.
• Kepler-Poinsot polyedra의 종이 모델
• Kepler-Poinsot polyedra의 자유 용지 모델(그물)
• 균일 폴리헤드라
• 시각적 다면체의 케플러-핀소트 고체
• Kepler-Poinsot 다면체의 VRML 모델
• 용접 및 도막 - 간략한 역사
• 스텔라: 다면 탐색기: 이 페이지에 많은 이미지를 만드는 데 사용되는 소프트웨어.