스텔레이션

Stellation
Stelled dodecagon의 구성: Schléfli 기호가 {12/5}인 일반 폴리곤.

기하학에서 stellation은 2차원의 폴리곤, 3차원의 다면체, 또는 일반적으로 n차원의 폴리토프를 확장하여 새로운 형상을 형성하는 과정이다. 원래 형상으로 시작하여, 프로세스는 새로운 형상의 닫힌 경계를 형성하기 위해 다시 만날 때까지, 대개 대칭적인 방법으로 그것의 가장자리나 면면과 같은 특정 요소를 확장한다. 그 새로운 모습은 원형을 잘 표현한 것이다. stellation이라는 단어는 라틴어 stellartus에서 유래되었고, "stared"는 라틴어 stellar, "stared"에서 유래되었다. Stellation은 표면화의 상호 또는 이중 과정이다.

케플러의 정의

1619년 케플러는 폴리곤과 폴리헤드라를 새로운 폴리곤이나 폴리헤드론을 형성하기 위해 모서리나 면들을 만날 때까지 연장하는 과정으로 정의했다.

그는 일반 도데카헤드론(stelled dodecheadron)을 휘저어 두 개의 일반 별인 작은 도데카헤드론과 큰 도데카헤드론을 얻었다. 그는 또한 정규 팔면체를 휘감아 두 개의 사면체의 정규 화합물인 스텔라 팔면굴라를 얻었다.

스텔라팅 폴리곤

정규 다각형을 대칭적으로 용접하면 정규 항성 폴리곤 또는 폴리곤 화합물이 생성된다. 이러한 다각형은 다각형 경계가 그림의 중심 주위를 감는 횟수에 의해 특징지어진다. 모든 일반 다각형과 마찬가지로, 그들의 꼭지점은 원 위에 놓여있다. m은 또한 주어진 가장자리의 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝까지 도달하기 위한 원의 주변의 꼭지점 수에 해당한다.

일반 항성 폴리곤은 Schléfli 기호 {n/m}로 표시되며, 여기서 n은 정점의 수, m은 그 주위의 가장자리를 시퀀싱하는 데 사용되는 단계, m과 n은 동일인자(공통인자가 없음)이다. 사례 m = 1이 볼록 폴리곤 {n}을(를) 제공하는 경우, 또한 m은 n의 절반 미만이어야 한다. 그렇지 않으면 선들이 평행하거나 갈라져 형상이 결코 닫히지 않을 것이다.

n과 m이 공통 인자를 가지고 있다면 그 수치는 정규 화합물이다. 예를 들어, {6/2}은(는) 두 삼각형 {3} 또는 16진법의 정규 화합물인 반면, {10/4}은(는) 두 개의 5진법 {5/2}의 합성물이다.

어떤 저자들은 그러한 규칙적인 화합물에 슐레플리 기호를 사용한다. 다른 사람들은 기호를 주변의 m을 감은 하나의 경로를 나타내는 것으로 간주한다. 한 가장자리가 다른 가장자리에 중첩되고 각 꼭지점이 m회 방문되는 등 n/m 꼭지점 이 경우 수정된 기호를 화합물에 사용할 수 있다. 예를 들어, 16진법의 경우 2{3}, 두 펜타그램의 정규 화합물의 경우 2{5/2}.

일반 n곤은 n이 짝수일 경우 n – 4/2의 스텔링(여러 변질 디곤의 화합물 추정은 고려되지 않음), n – 3/2 스텔링이 홀수일 경우 n – 3/2 스텔링을 가진다.

Pentagram green.svg
펜타그램, {5/2}은(는) 펜타곤의 유일한 스텔링이다. 		Regular star figure 2(3,1).svg
육각형, {6/2}, 육각형 및 두 삼각형의 화합물. 		Enneagon stellations.svg
엔네아곤(비나곤) {9}에는 다음과 같은 세 가지 에네아그램 형식이 있다.
{9/2}, {9/3}, {9/4}, {9/3}이(가) 3개의 삼각형 복합체임.
Obtuse heptagram.svgAcute heptagram.svg


헵타곤은 두 가지 헵타그램 형태를 가지고 있다.
{7/2}, {7/3}

헵타곤과 마찬가지로 팔각형도 두 개의 옥타그램 기호를 가지고 있는데, 하나는 별 다각형이고, 다른 하나는 {8/3}이(가) 두 개의 정사각형의 복합체다.


스텔링 다면체

First stellation of octahedron.png First stellation of dodecahedron.png Second stellation of dodecahedron.png Third stellation of dodecahedron.png Sixteenth stellation of icosahedron.png First stellation of icosahedron.png Seventeenth stellation of icosahedron.png

다면체는 다면체의 가장자리나 면면을 그들이 다시 만나 새로운 다면체나 화합물을 형성할 때까지 연장함으로써 절개된다. 새로운 다면체의 내부는 얼굴별로 여러 개의 세포로 나뉜다. 다면체의 면면은 공간을 그러한 세포로 분할할 수 있으며, 스텔레이션 과정이 계속되면 더 많은 세포가 밀폐될 것이다. 대칭적인 다면체의 경우, 이 세포들은 합치된 세포의 집단 또는 집합으로 떨어질 것이다 – 우리는 그러한 합치된 세트의 세포들이 동일한 유형의 세포라고 말한다. 일반적인 용접을 찾는 방법에는 하나 이상의 셀 유형을 선택하는 것이 포함된다.

이것은 엄청난 수의 가능한 형태로 이어질 수 있기 때문에, 종종 어떤 면에서 의미 있고 독특한 그러한 스텔링으로 세트를 줄이기 위해 추가 기준이 부과된다.

세포핵 주위에 닫힌 층을 형성하는 일련의 세포들을 껍질이라고 부른다. 대칭 다면체의 경우, 쉘은 하나 이상의 세포 유형으로 구성될 수 있다.

그러한 사상에 기초하여 몇 가지 제한적인 관심 범주가 확인되었다.

  • 메인 라인 스텔링. 중심 다면체에 연속적인 조개껍질을 추가하면 중심선 스티어링의 집합으로 이어진다.
  • 완전히 지지되는 스텔링. 세포의 밑면은 외부적으로 "오버행"으로 나타날 수 있다. 완전히 지지된 벽에는 그러한 돌출부가 없고, 얼굴의 모든 가시적인 부분이 같은 측면에서 보인다.
  • 모노아크랄 스텔링. 말 그대로 "싱글피크" 입니다. 단 하나의 정점(즉, 모든 정점은 단일 대칭 궤도 내에서 일치한다)에 단 하나의 종류의 정점(정점)만 있는 경우 단점(monacral)이다. 그러한 모든 곡물들은 전적으로 지지된다.
  • 1차적 발열. 다면체가 거울 대칭의 평면을 가지고 있는 경우, 이 평면에 떨어지는 가장자리는 일차 선에 놓여 있다고 한다. 모든 가장자리가 일차 선에 놓여 있는 경우, 절삭은 일차적인 것이다. 모든 1차적 기장은 완전히 지지된다.
  • 밀러가 굽는다. 이코사헤드라 59편에서 콕세터, 두발, 플레더, 페트리는 밀러가 제시한 5가지 규칙을 기록한다. 이 규칙들은 특별히 이코사헤드론의 기하학을 언급하고 있지만, 임의의 다면체를 위해 작용하도록 적응되어 왔다. 그것들은 무엇보다도 원래의 다면체의 회전 대칭이 보존되어 있고, 각각의 곡선이 겉으로 보이는 것이 다르다는 것을 보장한다. 방금 정의한 네 종류의 스텔레이션은 모두 밀러 스텔레이션의 하위 세트다.

또한 몇 가지 다른 범주를 식별할 수 있다.

  • 부분 스텔레이션은 주어진 차원성의 모든 요소가 확장되지 않는 것이다.
  • 대칭적으로 모든 원소가 대칭적으로 확장되지 않는 것이 하위대칭적 stellation은 모든 원소들은 대칭적으로 확장되지 않는다.

아르키메데스 고형물과 그 이중도 또한 도금될 수 있다. 여기에 우리는 보통 모든 원래 얼굴 평면이 반드시 그 휘장에 있어야 한다는 규칙을 추가한다. 즉, 우리는 부분적인 휘장을 고려하지 않는다. 예를 들어, 큐브는 보통 큐보타헤드론의 장식으로 간주되지 않는다.

밀러의 법칙을 일반화하면 다음과 같다.

비콘벡스 제복 다면체 중 17개는 아르키메데스 고형물의 기형이다.

밀러의 법칙

J.C.P. 밀러는 The Of-9 Icosaheadra라는 책에서 어떤 스텔레이션 형태를 "적당히 유의하고 구별되는" 것으로 간주해야 하는지를 규정하는 일련의 규칙들을 제안했다.

이 규칙들은 많은 다른 다면체의 기법과 함께 사용하도록 개조되었다. 밀러의 법칙에 따르면:

많은 "밀러 스텔링"은 케플러의 방법으로 직접 얻을 수 없다. 예를 들어, 많은 사람들은 중심 다면체의 원래 얼굴과 가장자리가 완전히 없어진 빈 센터를 가지고 있다. 즉, 더 이상 구멍을 낼 필요가 없다. 반면에 케플러의 방법은 밀러의 얼굴이 하나의 다각형임에도 불구하고 그들의 세포가 가장자리나 정점 연결되기 때문에 밀러의 규칙으로 금지된 곡선을 산출하기도 한다. 이 불일치는 인치발트(2002년)까지 실질적인 관심을 받지 못했다.

기타 용접 규칙

밀러의 법칙은 결코 stells를 열거하는 "올바른" 방법을 나타내지 않는다. 이들은 특정 방식으로 스텔레이션 다이어그램 내의 부품을 결합하는 것에 기초하며, 결과 면의 위상은 고려하지 않는다. 이와 같이 이코사면체에는 리스트에 포함되지 않은 꽤 합리적인 일부 분리가 있는데 하나는 1974년 제임스 브릿지에 의해 확인되었으며, 일부 "밀러 분쇄물"은 이 분쇄물을 스텔링으로 간주해야 하는지에 대해 의심스럽다 – 이코사면체 세트 중 하나는 대칭적으로 떠다니는 상당히 분리된 여러 개의 세포로 구성되어 있다.우주에서 동맹하다

아직 이것을 고려한 대안적인 규칙들이 완전히 개발되지 않았다. 대부분의 진전은 용접이 다면체에서 새로운 정점을 만들지 않고 일부분을 제거해 주는 팩션에 대한 상호 또는 이중 프로세스라는 개념에 기초하여 이루어졌다. 일부 다면체의 모든 면에 대해 이중 다면체의 이중 면이 있으며, 그 반대의 경우도 있다. 이중의 면을 연구함으로써, 우리는 원본의 장식에 대한 통찰력을 얻는다. 브릿지는 이두면체의 면인 도데면체의 면모를 연구함으로써 이두면체의 새로운 모습을 발견했다.

일부 다면체론자들은 같은 면면을 공유하는 두 개의 다면체 모두가 서로 다른 면상을 갖는 양면체라는 견해를 가지고 있다. 이는 컴퓨터 프로그램에서 사용하기 적합한 일반 알고리즘을 고안하고 있지만, 그렇지 않으면 특별히 도움이 되지 않는 경우에 이해할 수 있다.

많은 석재의 예는 Wenninger의 석판 모델 리스트에서 찾을 수 있다.

스텔링 폴리토페스

스텔레이션 프로세스는 더 높은 차원의 폴리토피에도 적용될 수 있다. n-폴리토프의 스텔레이션 다이어그램은 주어진 면의 (n - 1)차원 하이퍼플레인에 존재한다.

예를 들어, 4-공간에서, 120-셀의 대그랜드 스텔링은 일반 4-폴리토프 120-셀의 최종 스텔링이다.

명명 스텔링

스틸 폴리헤드라의 첫 번째 체계적 명칭은 케일리가 일반 별 폴리헤드라(요즘 케플러-푸인소트 폴리헤드라)를 명명하는 것이었다. 이 시스템은 다른 다면체 및 상위 다면체에 광범위하게 채택되었지만 항상 체계적으로 채택되지는 않았다.

존 콘웨이는 다면체, 다면체, 다면체, 다면체(Coxeter 1974년)에 대한 용어를 고안했다. 이 시스템에서 새로운 형상을 만들기 위해 가장자리를 확장하는 과정을 stellation이라고 하며, 면을 확장하는 것을 greating이라고 하며, 세포를 확장하는 것을 aggregization이라고 한다(이 마지막은 다면체에는 적용되지 않는다). 이것은 결과로 나타난 인물들의 이름을 고안하는데 있어서 'stellated', 'great', 'grown'과 같은 단어들을 체계적으로 사용할 수 있게 한다. 예를 들어 콘웨이는 케플러-푸인소트 다면체의 이름에 대해 몇 가지 사소한 변형을 제안했다.

무한대로의 회전

Wenninger는 큐브와 같은 일부 다면체에는 유한한 스텔링이 없다는 것을 알아챘다. 그러나 스텔레이션 셀은 무한대로 확장되는 프리즘으로 구성될 수 있다. 이러한 프리즘을 구성하는 수치를 무한대로의 스텔레이션이라고 할 수 있다. 그러나, 다면체의 대부분의 정의에 따르면, 이러한 기도는 엄격히 다면체라고 할 수 없다.

원닝거의 형상은 중심을 통과하는 얼굴들이 "무한도" 정점으로 보내지는 균일한 혈중합체의 이중으로 일어났다.

수학에서 예술로

2009년 마그누스 웬닝거(Magnus Wenninger)는 그의 일부 다면체 모델을 가지고 있다.
추가 정보: 수학과 미술

수학에 대한 그의 공헌과 더불어, 마그너스 웨닝거는 수학과 예술의 관계 맥락에서 복잡한 젤리 처리된 다면체의 "특히 아름다운" 모델을 만드는 것으로 묘사된다.[1]

1430년 베니스 세인트마크 바실리카, 파올로 우크첼로의 대리석 바닥 모자이크

이탈리아의 르네상스 예술가인 Paolo Ucccello는 1430년 베니스 세인트 마크의 바실리카에서 작은 도마뱀을 보여주는 바닥 모자이크를 만들었다. 우첼로의 묘사는 1986년 '예술과 과학'[2]을 주제로 베니스 비엔날레의 상징으로 사용되었다. 1950년 M. C. 에셔:[3] 콘트라스트(오더와 혼돈), 1952년 중력에 의해 두 개의 석판화가 중심이다.

참고 항목

참조

  1. ^ Malkevitch, Joseph. "Mathematics and Art. 5. Polyhedra, tilings, and dissections". American Mathematical Society. Retrieved 1 September 2015.
  2. ^ Emmer, Michele (2 December 2003). Mathematics and Culture I. Springer Science & Business Media. p. 269. ISBN 978-3-540-01770-7.
  3. ^ Locher, J. L. (2000). The Magic of M. C. Escher. Harry N. Abrams, Inc. ISBN 0-810-96720-0.
  • 브리지, N. J.; 도데카면체, 액타 결정판 A30(1974), 페이지 548–552.
  • Coxeter, H.S.M.; 일반 복합 폴리토페스 (1974년).
  • H.S.M.의 Coxeter, P.의 Du Val, H. T.의 Flater, J. F.의 Petrie. 59년판 이코사헤드라 3판 영국 스트래드브로크: 타킨 출판물(1999년).
  • 인치발드, G.; 잃어버린 이코사헤드라를 찾기 위해 The Mathemical Gazette 86 (2002) 페이지 208-215.
  • 메서, 페이지; 대칭: 문화와 과학, 11(2000), 페이지 201-230, 그리고 그 이상, 롬빅 3관면체의 기법.
  • Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
  • Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-24524-9.

외부 링크