행 및 열 벡터

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선형대수학에서 컬럼벡터는 예를 들어, 항목들의 컬럼이다.

${\displaystyle {\bmatrix}x_{1}\\\x_{2}\\\vdots \x_{m}\end{bmatrix}}\, .}$

마찬가지로^[1] 행 벡터는 항목 행이다.

${\displaystyle {\bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{n}\end{bmatrix}\,}$

전체적으로 볼드페이스는 행 벡터와 열 벡터 모두에 사용된다. 행 벡터의 전치(T로 표시)는 열 벡터다.

${\displaystyle {\begin}x_{1}x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm{T}}}={\\begin{bmatrix}x_{1}\2}\vdots\x_{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 기둥 벡터의 전치점은 행 벡터다.

${\dotsyle {\begin}x_{1}\x_{2}\\\\vdots \\\x_{m}\end{bmatrix}^{\rm{T}}}={\gin{bmatrix}x_{1}x_{2}\dots \x_{bm}}}}}}}}}}}}},\,\,\,\,\,\,\,},\,},},},},},\,\.}$

엔트리가 n개인 모든 행 벡터 집합은 n차원 벡터 공간을 형성한다. 마찬가지로 m 항목이 있는 모든 컬럼 벡터 집합은 m차원 벡터 공간을 형성한다.

컬럼 벡터의 공간에 대한 선형 기능은 고유 행 벡터의 왼쪽 곱으로 나타낼 수 있기 때문에 엔트리가 있는 행 벡터의 공간은 엔트리가 있는 컬럼 벡터 공간의 이중 공간으로 간주할 수 있다.

표기법

다른 텍스트와 일직선으로 열 벡터 쓰기를 단순화하기 위해, 열 벡터 쓰기 작업을 적용하여 행 벡터로 쓰기도 한다.

${\displaystyle {\boldsymbol {x}={\bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}^{\rm {T}}}}}}}}$

또는

${\displaystyle {\boldsymbol{x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}}}}}$

일부 저자는 또한 열 벡터와 행 벡터를 모두 행으로 쓰되, 콤마로 행 벡터 원소와 세미콜론으로 열 벡터 원소를 구분하는 관례를 사용한다(아래 표의 대안 표기법 2 참조).^{[citation needed]}

	행 벡터	컬럼 벡터
표준행렬표기법 (배열 공간, 쉼표 없음, 전치 기호)	${\displaystyle {\bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\nd\;x_{m}\end{bmatrix}}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ or }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$
대체 표기법 1 (콤마, 전치 기호)	${\displaystyle {\displaysty}x_{1}x_{1},x_{2},\display,x_{m}\end{bmatrix}}}}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}x_{2},\dots,x_{m}\end{bmatrix}^{\rm{T}}}}}$
대체 표기법 2 (콤마 및 세미콜론, 전치 기호 없음)	${\displaystyle {\displaysty}x_{1}x_{1},x_{2},\display,x_{m}\end{bmatrix}}}}}}$	${\displaystyle {\bmatrix}x_{1};x_{2};\display ;x_{m}\end{bmatrix}}}}$

운영

행렬 곱셈은 한 행렬의 각 행 벡터에 다른 행렬의 각 열 벡터를 곱하는 작용을 포함한다.

두 개의 열 벡터 a와 b의 도트 곱은 a와 b의 전치 행렬 곱과 같다.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,}$

도트 곱의 대칭에 의해, 두 개의 열 벡터 a와 b의 도트 곱은 또한 a와 함께 b의 전치 산물의 매트릭스 곱과 같다.

${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\intercal }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.}$

열과 행 벡터의 행렬 제품은 두 벡터 a와 b의 외부 생산물을 제공하는데, 이는 보다 일반적인 텐서 생산물의 예다. a의 column vector 표현 매트릭스 제품과 b의 행 벡터 표현은 diadic 제품의 성분을 제공한다.

${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,}$

는 b의 열 벡터 표현 매트릭스 곱의 전치 및 a의 행 벡터 표현이다.

${\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}$

행렬 변환

n × n 행렬 M은 선형 지도를 나타낼 수 있으며 선형 지도의 변환 행렬로서 행과 열 벡터에 작용한다. 행 벡터 v의 경우 vM 제품은 또 다른 행 벡터 p:

$vM=p\, displaystyle vM=p\,}$

또 다른 n × n 매트릭스 Q는 p에 작용할 수 있다.

$pQ=t\, displaystyle pQ=t\,}$

그런 다음 t = p Q = v MQ를 쓸 수 있으므로 MQ 매트릭스 제품 변환 MQ는 v를 t에 직접 매핑한다. 행 벡터를 계속 사용하면 n-공간을 추가로 재구성하는 매트릭스 변환을 이전 출력의 오른쪽에 적용할 수 있다.

column vector가 n × n matrix action에 따라 다른 column vector로 변환될 때, 조작은 왼쪽으로 발생한다.

${\displaystyle p^{}}$= ${\displaystyle M}$ v ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{},{}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {p\mathrm{}}^{}}$ ${\$ p$^{\mathrm {T}}=Mv^{\mathrm {T}}\mathrm$ {T$}\quad$ t$^{\mathrm {T}}=Qp^{\$mathrmatrmatrm {T$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

v^T 입력에서 합성된 출력에 대한 대수식 QM^T v로 유도한다. 행렬 변환은 행렬 변환에 대한 입력을 위한 열 벡터의 이 사용에서 왼쪽으로 마운트된다.

참고 항목

• 벡터의 공분산 및 왜곡
• 색인 표기법
• 원소 벡터
• 단일 입력 벡터
• 표준 단위 벡터
• 단위 벡터

메모들

참조

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on March 1, 2001
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall