상태 변환 매트릭스

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2018년 12월) (이 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 학습)

제어 이론에서 상태 변환 매트릭스는 초기 ${\displaystyle {시간}_{}}$ t 0 ${\$에 상태 벡터 x ${\displaystyle$ x$}$을(를) 가진 제품이 나중에 t ${\displaystyle t}$에 x ${\displaystyle x}$을(를) 제공하는 행렬이다$.$ 상태 변환 매트릭스는 선형 역학 시스템의 일반적인 용액을 얻기 위해 사용될 수 있다.

선형 시스템 솔루션

상태 변환 매트릭스는 다음과 같은 형태로 선형 시스템의 일반적인 상태-공간 표현에 대한 해결책을 찾는 데 사용된다.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\;\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}}$,

where ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ are the states of the system, ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ is the input signal, ${\displaystyle \mathbf {A} (t)}$ and ${\displaystyle \mathbf {B} (t)}$ are matrix functions, and ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ is the initi$t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 조건$.$ 상태 변환 매트릭스 $\phi {\displaystyle \mathbf{}(t,}$ $){\displaystyle \mathbf {\Phi }(t,\tau$ $)\}$을 사용하여 다음과 같은 방법으로 해결 방법을 제공한다.^[1][2]

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }$

첫 번째 용어는 제로 입력 응답으로 알려져 있으며, 어떤 입력도 없을 때 시스템 상태가 어떻게 진화할 것인지를 나타낸다. 두 번째 용어는 제로 상태 응답으로 알려져 있으며 입력 내용이 시스템에 어떤 영향을 미치는지 정의한다.

피아노베이커 시리즈

가장 일반적인 전환 매트릭스는 Peano-Baker 시리즈에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf{A} (\sigma _{3}\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...}$

$여기$서 I ${\$은$($는) ID 행렬이다. 이 행렬은 존재하고 고유한 솔루션으로 균일하고 절대적으로 수렴된다.^[2]

기타 속성

상태 전환 매트릭스 $\phi {\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) 다음 관계를 만족한다$$.

1. 지속적이고 파생상품이 연속적이다.

2, It is never singular; in fact ${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)}$ and ${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=$$I$ 여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ I$}$은(는) ID 행렬이다.

3. ${\displaystyle \phi }$( t${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi }(t,t)=$$모든{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$에 $대해$ I$}.$$$^[3]

4. ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})}$ for all ${\displaystyle t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}}$.

5. It satisfies the differential equation ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ with initial conditions ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{0},t_{0})=$$I}$ $.$

6. 상태 변환 매트릭스 $\phi {\displaystyle \mathbf{}(t}$ ,${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle \mathbf {\Phi }(t,\tau )}$이$($가) 제공됨

${\displaystyle \mathbf {\Phi }(t,\tau )\equiv \mathbf {U} ^{-1}(\tau )}$

여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ n$\times$ n$}$ $행렬$ U${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {U}(t)}$은(는) 충족되는 기본 솔루션 행렬이다.

${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{초기}}}$ 조건 $U{\displaystyle \mathbf{}{}_{}}$${\displaystyle }$${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle A\mathbf{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle U\mathbf{}}$( t${\displaystyle }$) ${\dot {\mathbf {U}}}}}}}}}}}}}}}}}(t)=\mathbf {A}(t)\mathbf {U}($$t$)}($t$ = I ${\displaystyle \mathbf {U}=$$I}$ $.$

7. $언제$든지 상태$$ $x{\displaystyle \mathbf{}}$ (${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}$을$($를) 지정하면 다른 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$tau}$의 상태는 매핑에 의해 지정된다$$.

${\displaystyle \mathbf {x}(t)=\mathbf {\Phi }(t,\tau )\mathbf {x}(\tau )}$

상태 변환 매트릭스 추정

In the time-invariant case, we can define ${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$, using the matrix exponential, as ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}}$. ^[4]

In the time-variant case, the state-transition matrix ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ can be estimated from the solutions of the differential equation ${\displaystyle {\dot {\mathbf {u} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {u} (t)}$ with initial conditions ${\displaystyle \mathbf{u}(t_0}$${\displaystyle }$$){\displaystyle }$ [${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \text{0}\mathrm{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ T ${\$0$,$ $\ldots ,\$ 0$]^{{}$가 제공하는$$ ${\displaystyle \mathbf {u}(t_{0}).$${\displaystyle T^{}}$$\},$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \text{1}\mathrm{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle \text{0}\mathrm{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ T ${\$1$, \ldots,\ 0]^{$$T}}$, ..., ${\displaystyle [0,\ 0,\ \ldots ,\ 1]^{T}}$. The corresponding solutions provide the ${\displaystyle n}$ columns of matrix ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$. Now, from property 4, ${\displ$$aystyle \mathbf {\Phi }(t,\tau )=\mathbf {\Phi }(t,t_{0})\mathbf {\Phi }(\tau,t_{0}})^{-1}$ 모든 ${\displaystyle t}$에 대해$$$$$\displaystyle t_{0}.$ 시간변환 매트릭스는 시간변환 솔루션에 대한 분석이 계속되기 전에 결정되어야 한다.

참고 항목

• 마그너스 팽창
• 리우빌 공식

참조

추가 읽기

• Baake, M.; Schlaegel, U. (2011). "The Peano Baker Series". Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 275: 155–159. doi:10.1134/S0081543811080098. S2CID 119133539.
• Brogan, W.L. (1991). Modern Control Theory. Prentice Hall. ISBN 0-13-589763-7.

Wikibooks에는 제어 시스템/시간 변종 시스템 솔루션이라는 주제의 책이 있다.