불량 행렬

선형대수학에서 결점 행렬은 고유 벡터의 완전한 기초를 가지지 않는 정사각형 행렬이므로 대각선이 가능하지 않다. 특히 n × n 행렬이 n개의 선형 독립 고유 벡터를 가지고 있지 않은 경우에만 결함이 있다.^[1] 일반 미분방정식 및 기타 문제의 결함계통을 해결하는 데 필요한 일반화된 고유벡터로 고유벡터를 증강함으로써 완전한 기초를 형성한다.

구별되는 고유값은 항상 선형 독립 고유 벡터를 가지기 때문에 n × n 불량 행렬은 항상 n 구별되는 고유값보다 작다. 특히 불량 행렬은 대수적 다항성 m > 1(특성 다항식의 다중 루트)을 가진 하나 이상의 고유값을 가지지만, with과 연관된 m 선형 독립 고유 벡터보다 작다. λ의 대수적 곱셈이 기하학적 곱셈(즉, λ과 연관된 선형 독립 고유 벡터의 수)을 초과하면 λ은 결함 있는 고유값이라고 한다.^[1] 그러나 대수적 다중성 m이 있는 모든 고유값은 항상 m 선형 독립 일반화된 고유 벡터를 가지고 있다.

은둔자 행렬(또는 실제 대칭 행렬의 특수한 경우)이나 단일 행렬은 결코 결함이 없으며, 보다 일반적으로 일반 행렬(특수 사례로 은둔자와 단일 행렬을 포함한다)은 결코 결함이 없다.

요르단 블록

크기가 2×2 이상인 (완전히 대각선이 아닌) 조던 블록은 결함이 있다. (대각 행렬은 조던 정상 형태의 특수한 경우로서 결함이 없다.) 예를 들어, n × n Jordan 블록

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&\;&\\\\\\\\\&\ddots &\1\\\&\&\&\dddots &1\\\\\&\&\lambda \end{bmatrix},},},}$

고유값인 λ을 가지며 대수적 다중성 n을 가지지만, 단 하나의 고유 벡터만 있다.

${\displaystyle v={\bmatrix}1\\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}.}$

사실 어떤 결함 있는 매트릭스라도 그러한 매트릭스의 대각선에 도달할 수 있는 만큼 가까운 비교형 요르단 정규 형태를 가지고 있다.

예

결점 행렬의 간단한 예는 다음과 같다.

${\displaystyle {\bmatrix}3&#1\\0&3\end{bmatrix},}$

이중 고유값이 3이지만 단 하나의 고유 벡터만 있는 경우

${\displaystyle {\bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

(그리고 그것의 지속적인 배수).

참고 항목

• 요르단 정상 형태

메모들

참조

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
• Strang, Gilbert (1988). Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.). San Diego: Harcourt. ISBN 978-970-686-609-7.