이중 확률 매트릭스

수학, 특히 확률과 결합학에서 이중 확률 행렬(bistochastic matrix라고도 함)은 비음수 실수의 제곱 $행렬{\displaystyle }$X =${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle$ X$=(x_{ij})$이며, 각 행과 열이 1에 합치한다.^[1]

${\displaystyle \sum _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ j ${\displaystyle \underset{}{x}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{j}{}_{}}$= 1 ${\displaystyle \sum _{i}x_{ij}=\sum _{j}x_{ij}=1$

따라서 이중 확률적 매트릭스는 왼쪽 확률적 매트릭스와 오른쪽 확률적 매트릭스 둘 다이다.^[1][2]

실제로 왼쪽과 오른쪽 확률형 행렬 모두 정사각형이어야 한다. 각 행이 한 행에 합치면 행렬의 모든 항목의 합은 행 수와 같아야 하며, 열에 대해서도 동일하기 때문에 행과 열의 수는 같아야 한다.^[1]

비르코프 폴리토프

The class of ${\displaystyle n\times n}$ doubly stochastic matrices is a convex polytope known as the Birkhoff polytope ${\displaystyle B_{n}}$. Using the matrix entries as Cartesian coordinates, it lies in an ${\displaystyle (n-1)^{2}}$-dimensional affine subspace of ${\displaystyle n^{2$$}}}$ - $2n{\displaystyle \mathrm{}}$ -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2n-1}$개의$$ 독립 선형 제약조건에 의해 정의되는$$ 유클리드 공간은 행과 열의 합계가 모두 동일한 것을 명시한다. (이러한 제약조건 중 하나가 종속적이기 때문에$$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle 2n-1}$ 제약조건이$$ 있다. 행의 합계는 en이어야 하므로열 합계의 합계를 구한다. 또한, 모든 입력 항목은 음수가 아니며 1보다 작거나 같도록 제한된다.

비르호프-본 노이만 정리

그 Birkhoff–von 노이만(보통 버코프의 theorem[3][4][5]로 알려진)주 n×n{\displaystyle n\times의 스녀}순열 매트릭스의 집합의 다면체 Bn{\displaystyle B_{n}}은 볼록 선체고 더구나는 Bn{\displaystyle B_{n}의 vertices}이 바로가 순열 정리.매트릭스. In other words, if ${\displaystyle X}$ is a doubly stochastic matrix, then there exist ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}\geq 0,\sum _{i=1}^{k}\theta _{i}=1}$ and permutation matrices ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$ such that

${\displaystyle X=\theta _{1}P_{1}+\cdots +\theta _{k}P_{k}.}$

(X의 이러한 분해는 '콘벡스 조합'이라고 알려져 있다.) 홀의 결혼 정리에 근거한 정리의 증명서는 아래와 같다.

이 표현은 비르코프-본 노이만 분해라고 알려져 있으며, 독특하지는 않을 수 있다. 흔히 그래프의 인접 매트릭스를 통해 대응성이 확립되는 Kőnig의 정리를 실제 가치로 일반화한 것으로 기술된다.

기타 속성

• 두 개의 이중 확률 매트릭스의 생산은 이중 확률적이다. 단, 비정렬 이중 확률행렬의 역행렬은 이중 확률적일 필요가 없다(사실, 비음극성 입력이 있는 경우 역행렬은 이중 확률적이다).
• 불가해한 주기적 유한 마코프 체인의 고정 분포는 전환 매트릭스가 이중 확률적일 경우에만 균일하다.
• 싱크혼의 정리에는 엄격히 긍정적인 엔트리를 가진 어떤 매트릭스라도 대각 행렬에 의해 사전과 사후 곱셈에 의해 이중 확률적으로 만들어질 수 있다고 명시되어 있다.
• $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n=2}$의$$경우 모든 이istochastic 매트릭스는 비istochastic 및 Orthostochastic이지만, 더 큰 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$의 경우에는 그렇지$$ 않다.
• Van der Waerden은 모든 n${\displaystyle }$×${\displaystyle }$n ${\displaystyle {이중}^{}}$ 확률 매트릭스 중 최소 영구적인 것이 $모든{\displaystyle }$ 항목이 1/${\displaystyle n$$!/n$$^{n}}$인 매트릭스에 의해 달성된다고 추측했다$.$^[6] 이러한 추측의 증거는 1980년에 B에 의해 발표되었다. Gyires와^[7] 1981년 G. P. Egorychev와^[8] D. I. 팔릭만;^[9] 이 작품으로 에고리체프와 팔릭만은 1982년 풀커슨상을 수상하였다.^[10]

비르코프-본 노이만 정리 증명

X를 두 배로 확률적인 매트릭스가 되게 하라. 그러면 우리는_ij p ≠ 0마다 x_ij ≠ 0과 같은 순열 매트릭스 P가 존재한다는 것을 보여줄 것이다. 따라서 만약 우리가 λ을 0이 아닌 p에_ij 해당하는 가장 작은 x가_ij 되게 한다면, X – λP의 차이는 이중 확률적 매트릭스의 스칼라 배수가 될 것이고 X보다 적어도 하나 이상의 0셀을 갖게 될 것이다. 따라서 우리는 영 행렬에 도달할 때까지 순열 매트릭스의 스칼라 배수를 제거함으로써 X에서 비 영점 셀의 수를 연속적으로 줄일 수 있다. 그 시점에서 우리는 원래의 X와 동일한 순열 매트릭스의 볼록한 조합을 구성하게 될 것이다.^[3]

예를 들어 만약 X=112(705264363){\displaystyle X={\frac{1}{12}}{\begin{pmatrix}7&, 0&, 5\\2&, 6&, 4\\3&, 6&, 3\end{pmatrix}}} 다음 P는(001100010){\displaystyle P={\begin{pmatrix}0&, 0&, 1\\1&, 0&, 0\\0&, 1&, 0\end{pmatr.Ix}}},λ=212{\displaystyle \lamb.$da ={\frac$ {$2}{12$ 및 X- = 1 ( 0 4 3 $){\$\$0&6$\\&$4\3\end{pmatrix$

증명: X의 행이 한 부분에 나열되고 다른 부분에 열이 있고, i 행이 j ifff x_ij ≠ 0 열에 연결되는 양분 그래프를 생성한다. A를 행 집합으로 하고, 그래프에서 A의 행에 결합된 열 집합으로 정의한다. 우리는 두 세트의 A와 A' 사이즈를 x 단위로_ij 표현하고 싶다.

모든_ij 컬럼 j가 A'에 포함되고 X가 이중으로 확률적이기 때문에, A의 모든 i에 대한 합은 1이다_ij. 따라서 A는 x의_ij 모든 i ; A, j x A , j ; A'에 대한 합이다.

한편 'A'는 모든 i(A에 있든 없든 간에)와 x의_ij A'에 있는 모든 j에 대한 합이며, 이것은 ≥의 해당 합으로 i가 A의 행에 제한된다. 따라서 A' ≥ A.

홀의 결혼 정리의 조건이 충족되고, 따라서 우리는 그래프에서 각 행을 정확히 하나의 (간결함) 열에 결합하는 일련의 가장자리를 찾을 수 있다. 이러한 가장자리는 X에서 0이 아닌 셀이 0이 아닌 셀과 일치하는 순열 매트릭스를 정의한다. ∎

일반화

i행 ^th 합계가 r_i(양수 정수)이고, 열 합계가 1이며, 모든 셀이 음수(행 합계가 열 수와 같음)가 아닌 열과 행이 더 많은 행렬에 단순 일반화가 있다. 이 형태의 어떤 행렬도 0과 1로 이루어진 동일한 형태의 행렬의 볼록한 조합으로 표현할 수 있다. 증명서는 원래 행렬의 i ^th 행을 r로_ii 나눈 원래 행과 동일한 r 행으로 대체하여 결과 제곱 행렬에 Birkhoff의 정리를 적용하고, 마지막에 r_i 행을 하나의 i ^th 행으로 추가적으로 재결합하는 것이다.

같은 방법으로 행뿐만 아니라 열도 복제할 수 있지만, 재조합의 결과가 반드시 0초와 1초로 제한되는 것은 아니다. R. M. 카론 외 연구진은 다른 일반화(현저히 더 단단한 증거 포함)를 제시했다.^[4]

참고 항목

• 확률 매트릭스
• 비istochastic 행렬

참조

• Brualdi, Richard A. (2006). Combinatorial matrix classes. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 108. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86565-4. Zbl 1106.05001.

외부 링크

• 버크호프-본 노이만 정리 플래닛매스 페이지
• 버크호프-본 노이만 정리 증빙에 있는 플래닛매스 페이지