칼레만 행렬

수학에서 칼레만 행렬은 함수 구성을 행렬 곱셈으로 변환하는 데 사용되는 행렬이다. 패턴 인식만으로는 반복할 수 없는 기능의 연속적인 반복을 찾기 위해 반복 이론에 자주 사용된다. 칼레만 행렬의 다른 용도는 확률 생성 함수 이론과 마르코프 체인에 있다.

정의

무한히 다른 기능 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$의 칼레만 행렬은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle M[f]_{jk}={\frac {1}{k!}}}\왼쪽[{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(f(x))^{j}\right]_{x=0}~,}$

(테일러 시리즈) 방정식을 만족시키기 위해:

${\displaystyle(f(x)))^{j}=\sum _{k=0}^{\infit }M[f]_{jk}x^{k}.}$

---

예를 들어, $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$의 연산 기준

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infit }M[f]_{1,k}x^{k}.~}$

간단히$$ 열 벡터$[{\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$x${\displaystyle {,}^{}}$ ${\displaystyle {{x\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$,${\displaystyle {{}^{}{x\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$, ${\displaystyle {.]}^{}}$ ${\$ $M[f]}$의 1행의 도트-제품에 해당되며, $왼쪽[1,x,x^{2},x^{3}...$$\right]^{\tau$ $\}\}.$

다음 행에$$ $있는{\displaystyle }$M [ ${\displaystyle f}$]$${\$displaystyle$M[$f]}$의 항목은 다음과 $같은{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )$${\$displaystyle$ f$(x$)}의 두 번째 전원을 공급한다$.$

${\displaystyle f(x)^{2}=\sum _{k=0}^{\infit }M[f]_{2,k}x^{k},},}$

또한, $M{\displaystyle }$[ ${\displaystyle f}$${\displaystyle }$${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle M[f]}$에서${\displaystyle }$f (x ) {\displaystyle $f(x)}$의 제로스파워를 가지기 위해$,$ 0을 포함하는 행 0을 첫 번째 위치를 제외한 모든 곳에 채택한다.

${\displaystyle f(x)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0,k}x^{k}=1+\sum _{k=1}{k=1}^{0*x^{k}.}$

따라서 열 벡터$$${\displaystyle {}^{}}$[${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle ,}$${\displaystyle {x,}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$. .${\displaystyle {}^{}}$] ${$ {\$displaystyle$ $M[f]}$의 도트 곱은$왼쪽[1$,$,x^{2},...$$\right]^{\tau }}}$ 열$$ 벡터${\displaystyle {}^{}}$[${\displaystyle 1^{}}$,${\displaystyle f^{}}$( x${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {{f\mathrm{}}^{}}^{}}$( x${\displaystyle {{}^{}}^{}}$) 2${\displaystyle {{}^{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle {]}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$}, $...$$\right]^{\tau }}$

${\displaystyle M[f]*\왼쪽[1,x,x^{2},x^{3},...\right]^{\tau }=\왼쪽[1,f(x),(f(x))^{2},(f(x)^{3},...\right]^{\tau }}$

벨 매트릭스

함수 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$의 Bell 행렬은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle B[f]_{jk}={\frac {1}{j!}}}\왼쪽[{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}(f(x))^{k}\right]_{x=0}~,}$

그 방정식을 만족시키기 위해.

${\displaystyle(f(x)))^{k}=\sum _{j=0}^{\infit }B[f]_{jk}x^{j},}$

그래서 위 Carleman 매트릭스의 전치물이다.

자보틴스키 매트릭스

Eri Jabotinsky는 다항식의 경련을 표현하기 위한 목적으로 1947년 행렬의 개념을 개발했다. 1963년에 그는 "표현 매트릭스"라는 용어를 도입했고, 그 개념을 양방향 무한 매트릭스로 일반화했다.^[1] 이$$ 글에서는 $f{\displaystyle ({}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ x +${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{2}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ a ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ k ${\$k=}\$inflt }a_{k}x^{k}}}{$k}}}}{k}}}}}}} 유형의 기능만 논의한다. 몇몇 저자들은 벨 행렬을 (D. Knuth 1992, W.D. Lang 2000) 이후 "자보틴스키 행렬"이라고 부르는데,^{[full citation needed]} 아마도 이것은 좀 더 표준적인 이름으로 커질 것이다.

일반화

함수의 칼레만 행렬의 일반화는 다음과 같은 모든 점을 중심으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle M[f]_{x_{0}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]M_{x}[x+x_{0}]}}$

또는 $M{\displaystyle }$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$= M${\displaystyle }$[ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle M[f]_{x_{0}}=M[g]}$ 여기서$$ $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= $x$+ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$- x $($)_${0$ 이를 통해 매트릭스 검정력은 다음과 같이 연관될 수 있다.

${\displaystyle (M[f]_{x_{0})^{n}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]^{n}M_{x}[x+x_{0}]}$

제너럴 시리즈

그것을 더욱 일반화하는 또 다른 방법은 다음과 같은 방법으로 일반 시리즈를 생각해 보는 것이다.

Let ${\displaystyle f(x)=\sum _{n}c_{n}(f)\cdot \psi _{n}(x)}$ be a series approximation of ${\displaystyle f(x)}$, where ${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}}$ is a basis of the space containing ${\displaystyle f(x)}$

We can define ${\displaystyle G[f]_{mn}=c_{n}(\psi _{m}\circ f)}$, therefore we have ${\displaystyle \psi _{m}\circ f=\sum _{n}c_{n}(\psi _{m}\circ f)\cdot \psi _{n}=\sum _{n}G[f]_{mn}\cdot \psi _{n}}$, nou 우리는 $G{\displaystyle }$[ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle G}$[ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle ]G}$[ ${\displaystyle f}$ [\$displaystyle G[g\circle$ f$]=$라는 것을 증명할 수 있다.$G[g]\cdot G[f$ { $\{{\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}x}$) ${\displaystyle {}_n}$ ${\$의 기본도 $g{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) ${\displaysty g($$x$ 및$$ $g{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) ${\displaystystyleg(f)(x$

Let ${\displaystyle g(x)}$ be such that ${\displaystyle \psi _{l}\circ g=\sum _{m}G[g]_{lm}\cdot \psi _{m}}$ where ${\displaystyle G[g]_{lm}=c_{m}(\psi _{l}\circ g)}$.

Now ${\displaystyle \sum _{n}G[g\circ f]_{mn}\psi$$_{n}=\psi _{l}\circ (g\circ f)=(\psi _{l}\circ g)\circ f=\sum _{m}G[g]_{lm}(\psi _{m}\circ f)=\sum _{m}G[g]_{lm}\sum _{n}G[f]_{mn}\psi _{n}=\sum _{n,m}G[g]_{lm}G[f]_{mn}\psi _{n}=\sum _{n}(\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]_{mn})\psi _{n}}$

Comparing the first and the last term, and from ${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}}$ being a base for ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle g(x)}$ and ${\displaystyle g(f(x))}$ it follows that ${\displaystyle G[g\circ f]=\sum _{m}G[g{]}_{lm}G[f{]}_{mn}=G[g]\cdot G[f}$${\displaystyle G[g\circf]=\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]=G[g]\cdot G[f]}$

예

${\displaystyle {\psi n}_{}x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$을 설정하면 칼레만 행렬이 있다.

If ${\displaystyle \{e_{n}(x)\}_{n}}$ is an ortonormal basis for a Hilbert Space with a defined inner product ${\displaystyle \langle f,g\rangle }$, we can set ${\displaystyle \psi _{n}=e_{n}}$ and ${\displaystyle c_{n}(f)}$ will be ${$$\displaystyle {\displaystyle \langle f,e_{n}\rangle }}$. If ${\displaystyle e_{n}(x)=e^{{\sqrt {-1}}nx}}$ we have the analogous for Fourier Series, namely ${\displaystyle c_{n}(f)={\cfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi$$}^{\pi }\displaystyle f(x)\cdot e^{-{\sqrt{-1}nx}dx}$

행렬 속성

이러한 행렬은 다음과 같은 기본적인 관계를 만족시킨다.

• $M[f\circle g]=M[f]M[g]~,}$
• $B[F\circle g]=B[g]B[f]~,}$

which makes the Carleman matrix M a (direct) representation of ${\displaystyle f(x)}$, and the Bell matrix B an anti-representation of ${\displaystyle f(x)}$. Here the term ${\displaystyle f\circ g}$ denotes the composition of functions ${\displaystyle f(g(x))}$.

기타 속성에는 다음이 포함된다.

• ${\$${\displaystyle M^{}}$$[f]^{n$ 여기서 ${\displaystyle f{}^{}}$ ${\$은(는) 반복 함수로서
• ${\$${\displaystyle {\mathrm{M}}^{}}$$[f]^{-1$ 여기서 ${\displaystyle f{}^{}}$- 1 ${\$은 역함수(Carleman 매트릭스가 반전 가능한 경우)이다$$.

예

상수의 칼레만 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle M[a]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&\cdots \\a&0&0&\cdots \\\\a^{2}&0&\cdots \\\\vdots \end{array}\rig}\rig}}}}}오른쪽)$

ID 함수의 칼레만 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle M_{x}=\좌({\begin{array}{cccc}1&0&#0&#0&#0&#0&\cdots \\\0&#0&#0&#0&#\vdots &\end{array}\오른쪽)$

Carleman 매트릭스는 다음과 같다.

${\displaystyle M_{x}[a+x]=\좌측({\begin{array}{cccc}1&0&\cdots \\\a&0&\cdots \\\2a&1&\cdots\\\vdots \end{array\오른쪽)}$

후속 함수의 칼레만 행렬은 이항계수와 동일하다.

${\displaystyle M_{x}[1+x]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&1&0&0&\cdots \\1&2&1&0&\cdots \\1&3&3&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[1+x]_{jk}={\binom {j}{k}}}}$

로그의 칼레만 행렬은 요인별로 크기가 조정된 첫 번째 유형의 스털링(서명) 숫자와 관련이 있다.

${\displaystyle M_{x}[\log(1+x)]=\left({\begin{배열}{cccccc}1&, 0&, 0&, 0&, 0&, \cdots \\0&, 1&, -{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{3}}&-{\frac{1}{4}}&\cdots \\0&, 0&, 1&, -1&,{\frac{11}{12}}&\cdots \\0&, 0&, 0&, 1&, -{\frac{3}{2}}&\cdots \\0&, 0&, 0&, 0&, 1&, \cdots \\\vdots &, \vdots &, \vdots &, \vdots &, \vdots&.앰프, \ddots}\right \end{배열})}$

${\displaystyle M_{x}[\log(1+x)]_{jk}=s(k,j){\frac {j!}}{k!}}}$

로그의 칼레만 행렬은 요인별로 크기가 조정된 첫 번째 유형의 스털링(서명되지 않은) 숫자와 관련이 있다.

${\displaystyle M_{)}[-\log(1-x)]=\left({\begin{배열}{cccccc}1&, 0&, 0&, 0&, 0&, \cdots \\0&, 1&,{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{3}}&{\frac{1}{4}}&\cdots \\0&, 0&, 1&, 1&,{\frac{11}{12}}&\cdots \\0&, 0&, 0&, 1&,{\frac{3}{2}}&\cdots \\0&, 0&, 0&, 0&, 1&, \cdots \\\vdots, \vdots &, \vd &.Ots&\vdots, \vdots &, \ddots)}\right \end{배열}}&.$

${\displaystyle M_{x}[-\log(1-x)]_{jk}=s(k,j) {\frac {j!}}{k!}}}$

지수함수의 칼레만 행렬은 요인들에 의해 크기가 조정되는 두 번째 종류의 스털링 숫자와 관련이 있다.

${\displaystyle M_{)}[\exp(x))]=\left({\begin{배열}{cccccc}1&, 0&, 0&, 0&, 0&, \cdots \\0&, 1&,{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{6}}&{\frac{1}{24}}&\cdots \\0&, 0&, 1&, 1&,{\frac{7}{12}}&\cdots \\0&, 0&, 0&, 1&,{\frac{3}{2}}&\cdots \\0&, 0&, 0&, 0&, 1&, \cdots \\\vdots, \vdots &, \vdo &.술,&\vdots, \vdots &, \ddots}\right \end{배열})&}.$

${\displaystyle M_{x}[\exp(x)-1]_{jk}=S(k,j){\frac {j!}}{k!}}}$

지수함수의 칼레만 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle M_{x}[\exp(ax)]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&a&{\frac {a^{2}}{2}}&{\frac {a^{3}}{6}}&\cdots \\1&2a&2a^{2}&{\frac {4a^{3}}{3}}&\cdots \\1&3a&{\frac {9a^{2}}{2}}&{\frac {9a^{3}}{2}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[\exp(ax)]_{jk}={\frac {(ja)^{k}}{k!}}}$

상수 배수의 칼레만 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle M_{x}=\좌측({\begin{array}{cccc}1&0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&c^{2}&#\cdots \\\\vdots &\end{array\}오른쪽)}$

선형 함수의 칼레만 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle M_{x}[a+cx]=\left\vdots{cccc}1&0&\cdots \\\a&c&0&\cdots \\\a^{2}&\vdots &\vdots &\end{array}\오른쪽)$

${\displaystyle \mathrm{함수}}$ $f{\displaystyle (}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ k${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ k ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\$^{$k}}}}}}의 칼레$만 행렬은$$ 다음과 같다$.$

${\displaystyle M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&f_{1}&f_{2}&\cdots \\0&0&f_{1}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

함수 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ f ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$x^{$k}}}}}}}$의 칼레만 행렬은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\f_{0}&f_{1}&f_{2}&\cdots \\f_{0}^{2}&2f_{0}f_{1}&f_{1}^{2}+2f_{0}f_{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

칼레만 근사

다음과 같은 자율 비선형 시스템을 고려하십시오.

${\dotyle {\x}=f(x)+\sum _{j=1}^{j=1}g_{j}d_{j}(t)}$

여기서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {Rn}^{}}$ ${\$는 시스템$$ 상태 벡터를 나타낸다. 또한 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및$$ ${\displaystyle g_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$s는 분석 벡터 함수로 알려져 있으며, ${\displaystyle d_{}}$ j ${\$은 시스템에$$ 대한 알 수 없는 교란 ${\displaystyle {요인}^{}}$의 j ${\displaystyle t^{}}$h {\$displaystyle$j^{th$}}$이다.

원하는 공칭 지점에서 위 시스템의 비선형 함수는 Taylor 확장에 의해 근사치를 구할 수 있다.

${\displaystyle f(x)\simeq f(x_{0})+\sum _{k=1}^{\eta }{\frac {1}{k!}}}\mid _{x=x_{0}(x-x_{0})^{[k]}}}}}$

where ${\displaystyle \partial f_{[k]}\mid _{x=x_{0}}}$ is the ${\displaystyle k^{th}}$ partial derivative of ${\displaystyle f(x)}$ with respect to ${\displaystyle x}$ at ${\displaystyle x=x_{0}}$ and ${\displaystyle x^{[k]}}$ denotes tHe $k{\displaystyle {}^{}}$ t ${\displaystyle h^{}}$ ${\$크론커$$ 제품.

일반성의 상실 없이 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 원점에 있다고$$ 가정한다.

테일러 근사치를 시스템에 적용하면

${\dot스타일 {\x}\simeq \sum _{k=0}^{\eta }^{{k]++{{j=1}^{m}\sum _{k=0}^{k=0}^{b_{jk}x^{[k]dj}}$

여기서 a ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{k}{}}$ !${\displaystyle \frac{}{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {]}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$= ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$$}}}\partial f_{[k]}\mid _{$${\displaystyle x_{}}$$=$${\displaystyle 0_{}}$$}$ 및$$ $Bj{\displaystyle {}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \frac{1k}{}}$ !${\displaystyle \frac{}{}\mathrm{}{}_{}}$ g${\displaystyle j_{}}$ [ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {]}_{}{x}_{}}$ = ${\displaystyle 0_{}}$ ${\${1$}{1$}{$k!$$}}}\{j[k]}\mid _{x=0$

따라서 원래 상태의 높은 순서에 대해 다음과 같은 선형 시스템을 얻는다.

${\d(x^{[i]}}}{dt}}\simeq \sum _{k=0}^{\eta -i+1}A_{i,k}x^{[k+i-1]}+\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=0}^{k=0}^{k=0}B_{j,i,k}x^{[k+i-1]}d_{j}}}}}$

${\displaystyle {\mathrm{여기}}_{}}$서 ${\displaystyle {A,}_{}}$ k =${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{l}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$- 1 ${\displaystyle I_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ [${\displaystyle {]}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$[${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$- ${\displaystyle l_{}^{}}$ ${\displaystyle {]}_{}^{}}$ ${\$$I_{n}^{[l]}\otimes A_{k}\otimes I_{n}^{[i-1-l]}}$, and similarly ${\displaystyle B_{j,i,\kappa }=\sum _{l=0}^{i-1}$$I_{n}^{{$n}^{[$l]}\time B_{j,\kappa }\time I_{n}^{n$

Kronecker 제품 운영자를 채용하여 근사치 시스템을 다음과 같은 형태로 제시한다.

${\dot}{\dot}_{\otimes }\simeq Ax_{\otimes }+\sum _{j=1}^{m}[B_{j}x_{\otimes }d_{j}}}}+]B_{j0}d_{j}]+A_{r}}$

여기서 =[ x[ . . . x ${\$$T}&x^{{[2]}^{T}}&...$$&x^{[\eta ]}^{$$T}}\end{bmatrix}}^{{$$T}$, $및{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$, ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle A_{}}$ r ${\$ 및 ${\displaystyle {\mathrm{B<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; A,B\_\{j\},A\_\{r\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/e635f99214481af715597e97c6b5d494e1cc1a09"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:9.202ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="216">}}_{}}$ ${\displaystyle {j,}_{}}$ 0 ${\$ 행렬은$$ (Hashemian 및 Armaou 2015)에 정의되어 있다.^[2]

참고 항목

• 벨 다항식
• 함수구성
• 슈뢰더 방정식
• 구성 연산자

참조

• R 알드로반디, 수학물리학 특별매트릭스: Stochastic, Circulant and Bell Matrix, World Scientific, 2001. (프리뷰)
• R. 알드로반디, L. P. 프리타스, Dynamic Maps의 Continuous Iteration of Dynamic Maps, 온라인 사전 인쇄, 1997.
• P. Graalwicz, K. Kowalski, 반복 지도 및 Carleman 선형화로부터 지속적인 시간 진화, 온라인 사전 인쇄, 2000.
• K Kowalski와 W-H Steeb, 비선형 동적 시스템 및 칼레만 선형화, 세계 과학, 1991. (사전)
• D. Knuth, Convolution Polyomials arXiv 온라인 프린트, 1992년
• 자보틴스키, 에리: 매트릭스에 의한 기능 표현. Faber Polyomials 적용: 미국수학회의 절차, 제4권, 제4권 (1953년 8월), 페이지 546–553 안정 jstor-URL