레머 행렬

수학, 특히 행렬 이론에서, n×n Lehmer 행렬(Derrick Henry Lehmer의 이름을 따서 명명)은 다음과 같이 정의되는 일정한 대칭 행렬이다.

${\displaystyle A_{ij}={\begin}i/j,&j\geq i\j/i,&j.\end{case}}}$

또는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle A_{ij}={\frac {{\mbox{min}(i,j)}{{\mbox{max}}}}.}$

특성.

예제에서 볼 수 있듯이, A가 n×n Lehmer 행렬이고 B가 m×m Lehmer 행렬이라면, A는 m>n이 있을 때마다 B의 하위 거주자다. 원소의 값은 대각선으로부터 0으로 떨어지며, 여기서 모든 원소는 값 1을 갖는다.

Lehmer 행렬의 역행렬은 삼지각 행렬로, 초대각과 소각은 엄격히 음의 입력을 가진다. n×n A와 m×m B Lehmer 행렬(여기서 m>n)을 다시 고려한다. 그들의 상반된 다소 특이한 속성은 A 요소가⁻¹_n,n B와⁻¹_n,n 같지 않다는 것을 제외하고는 A가⁻¹ B의⁻¹ 거의 하위 거주자라는 것이다.

순서 n의 Lehmer 행렬에는 추적 n이 있다.

예

2×2, 3×3, 4×4 Lehmer 행렬과 그 교차점은 다음과 같다.

${\displaystyle {\display{array}{lll}A_{2}={\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix};&A_{2}^{1}^{\begin{pmatrix}4/3&-2/3\\\-2/3\\-3\\\color {Brown}{\mathbf{4/3}}}{}}}}{pmatrix}}}}\\\\\A_{3}={\begin{pmatrix}1&1/2/3\\1/2&1/3\1/3\1/3\1/3\nd{pmatrix};;&A_{3}^{1}^{\begin{pmatrix}4/3&-2/3/3&\\\\-2/3/32/15&-6/5\\\\color {Brown}{\mathbf{9/5}}}}}{pmatrix}}}}\\\\\\\\\\A_{4}={\begin{pmatrix}1&/2&1/3/4\\1/2&1/3&1/2\\1/3&3/3&1/4\1/4&1&1\pmatrix};&A_{4}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&&\\-2/3&32/15&-6/5&\\&-6/5&108/35&-12/7\\&&-12/7&{\color {Brown}{\mathbf {16/7} }}\end{pmatrix}}.\\end{array}}}$

참고 항목

• 데릭 헨리 레머
• 힐버트 행렬

참조

• M. 뉴먼과 J. 토드, 매트릭스 반전 프로그램의 평가, 산업 및 응용 수학 협회 저널, 제6권 1958, 페이지 466-476.